均线指标公式高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和练习文

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§6.2 等差数列及其前n项和
考纲解读

预测热
考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型
度
2016课标全国
1.理解等差数列的概念
1.等差数列的定义及
2.掌握等差数列的通项公式
通项公式
3.了解等差数列与一次函数的关系
Ⅱ 2015北京,16]
2015陕西,13;
2.等差数列的性质 能利用等差数列的性质解决相应的问题 2014重庆,2;
2013辽宁,4
2017浙江,6;
3.等差数列的前n项
掌握等差数列的前n项和公式
和公式
Ⅲ
2015课标Ⅰ,7;
2014课标Ⅱ,5


分析解读 等差数列是高考考查的重点内容,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相
关内容.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.
五年高考
考点一 等差数列的定义及通项公式
2015安徽,13;
选择题、
★★★
填空题、
[]
解答题
2016浙江,8;
Ⅱ,17;
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1 .(2016浙江,8,5分)如图,点列{A
n
},{B
n
}分别在某锐角 的两边上,且|A
n
A
n+1
|=|A
n+1
A
n +2
|,A
n
≠A
n+2
,n∈N
*
,
|B
n
B
n+1
|=|B
n+1
B
n+2
|,B
n
≠B
n+2
,n∈N
*
.(P≠Q表示点P与Q不 重合)若d
n
=|A
n
B
n
|,S
n
为△ A
n
B
n
B
n+1
的面积,则( )

A.{S
n
}是等差数列
C.{d
n
}是等差数列
答案 A
2.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{a
n
}的公差为 d.若数列{
A.d>0
答案 D
3.(2016课标全国Ⅱ,17,12分) 等差数列{a
n
}中,a
3
+a
4
=4,a
5+a
7
=6.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2 )设b
n
=[a
n
],求数列{b
n
}的前10项和,其中 [x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
解析 (1)设数列{an
}的公差为d,由题意有2a
1
+5d=4,a
1
+5d=3 .
B.d<0 C.a
1
d>0
}为递减数列,则( )
D.a
1
d<0


B.{}是等差数列
D.{}是等差数列
解得a
1
=1,d=.(3分)
所以{a
n
}的通项公式为a
n
=.(5分)
(2)由(1)知,b
n
=.(6分)
当n=1,2,3时,1≤<2,b
n
=1;
当n=4,5时,2<<3,b
n
=2;
当n=6,7,8时,3≤<4,b
n
=3;
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当n=9,10时,4<<5,b
n
=4.(10分)
所以数列{b
n
}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)
4.(2015 北京,16,13分)已知等差数列{a
n
}满足a
1
+a
2
=10,a
4
-a
3
=2.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)设等比数列{b
n
}满足b
2
=a
3
,b
3
=a
7
.问:b
6
与数列{a
n
}的第几项相等?
解析 (1)设等差数列{a
n
}的公差为d.
因为a
4
-a
3
=2,所以d=2.
又因为a
1
+a
2
=10,所以2a
1
+d=10,故a
1
= 4.
所以a
n
=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).
(2)设等比数列{b
n
}的公比为q.
因为b
2
=a< br>3
=8,b
3
=a
7
=16,
所以q=2,b
1
=4.
所以b
6
=4×2
6-1
=128.
由128=2n+2得n=63.
所以b
6
与数列{a
n
}的第63项相等.
5.(201 4浙江,19,14分)已知等差数列{a
n
}的公差d>0.设{a
n
}的 前n项和为S
n
,a
1
=1,S
2
·S
3
=36.
(1)求d及S
n
;
(2)求m,k(m,k∈N
*< br>)的值,使得a
m
+a
m+1
+a
m+2
+…+a< br>m+k
=65.
解析 (1)由题意知(2a
1
+d)(3a
1
+3d)=36,
将a
1
=1代入上式解得d=2或d=-5.
因为d>0,所以d=2.从 而a
n
=2n-1,S
n
=n
2
(n∈N
*
).
(2)由(1)得a
m
+a
m+1
+a
m+2+…+a
m+k
=(2m+k-1)(k+1),
所以(2m+k-1)(k+1)=65.
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由m,k∈N
*
知2m+k-1≥k+1>1,故
所以


教师用书专用(6—9)
6.(2013安徽,7,5分)设S
n
为等差数 列{a
n
}的前n项和,S
8
=4a
3
,a
7=-2,则a
9
=( )
A.-6
答案 A
B.-4 C.-2 D.2
7.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=
为 .
,x≥0,若f
1
(x)=f(x),f
n+1
(x)=f(f
n
(x)),n∈N
+
,则f
2014
(x)的表达式答案 f
2014
(x)=
8.(2013课标全国Ⅰ,17,12分)已知等 差数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
3
=0,S
5
=-5.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
解析 (1)设{a
n
}的公差为d,则S
n
=na
1
+d.
由已知可得解得a
1
=1,d=-1.
故{a
n
}的通项公式为a
n
=2-n.
(2)由(1)知==,
从而数列的前n项和为
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（-+-+…+-）=.
9.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
(1)求证:a,b,c成等差数列;
(2)若C=,求的值.

考点二 等差数列的性质
1.(2014重庆,2,5分)在等差数列{a
n
}中,a
1
=2,a
3
+a
5
=10,则a
7
=( )
A.5
答案 B
2.(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差 数列{a
n
}的四个命题:
p
1
:数列{a
n
}是递增数列; p
2
:数列{na
n
}是递增数列;
B.8 C.10 D.14
p
3
:数列是递增数列; p
4
:数列{a
n
+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( )
A.p
1
,p
2

C.p
2
,p
3

答案 D
3.(2015陕 西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 .
答案 5
考点三 等差数列的前n项和公式
B.p
3
,p
4

D.p
1
,p
4

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1 .(2017浙江,6,5分)已知等差数列{a
n
}的公差为d,前n项和为S
n< br>,则“d>0”是“S
4
+S
6
>2S
5
”的( )
A.充分不必要条件
C.充分必要条件
答案 C
2.(2015 课标Ⅰ,7,5分)已知{a
n
}是公差为1的等差数列,S
n
为{a
n
}的前n项和.若S
8
=4S
4
,则a
10
= ( )
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
A.
答案 B
B. C.10 D.12
3.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{a
n
}的公差为2,若a
2
,a
4
,a
8
成等比数列 ,则{a
n
}的前n项和S
n
=( )
A.n(n+1) B.n(n-1)
C. D.
答案 A
4.(2015安徽,13,5分)已 知数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n
=a
n-1< br>+(n≥2),则数列{a
n
}的前9项和等于 .
答案 27 5.(2015福建,17,12分)等差数列{a
n
}中,a
2
=4, a
4
+a
7
=15.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=+n ,求b
1
+b
2
+b
3
+…+b
10
的值 .
解析 (1)设等差数列{a
n
}的公差为d.
由已知得
解得
所以a
n
=a
1
+(n-1)d=n+2.
(2)由(1)可得b
n
=2
n
+n.
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所 以b
1
+b
2
+b
3
+…+b
10
=(2+1)+(2
2
+2)+(2
3
+3)+…+(2
10< br>+10)
=(2+2
2
+2
3
+…+2
10
)+(1+2+3+…+10)
=+
=(2
11
-2)+55=2
11
+53=2101.

教师用书专用(6—9)
6.(2014天津,5,5分)设{a
n
}是首 项为a
1
,公差为-1的等差数列,S
n
为其前n项和.若S
1,S
2
,S
4
成等比数列,则
a
1
=( )
A.2
答案 D
B.-2 C. D.-
7.(2014江西,13 ,5分)在等差数列{a
n
}中,a
1
=7,公差为d,前n项和为S
n
,当且仅当n=8时S
n
取得最大值,则d的
取值范围为 .
答案
8.(2014重庆,16,13分)已知{a
n
}是首项为1,公 差为2的等差数列,S
n
表示{a
n
}的前n项和.
(1)求a
n
及S
n
;
(2)设{b
n
}是首项为2的等比数列,公比q满足q
2
-(a
4
+1)q+S
4
=0.求{b
n
}的通项公式及其前n项和T
n
.
解析 (1)因为{a
n
}是首项a
1
=1,公差d=2的等差数列,所以a
n
=a
1
+(n-1)d=2n-1.
故S
n
=1+3+…+(2n-1)===n
2
.
(2) 由(1)得a
4
=7,S
4
=16.因为q
2
-(a
4
+1)q+S
4
=0,即q
2
-8q+16=0,所以(q-4 )
2
=0,从而q=4.
又因为b
1
=2,{b
n
}是公比q=4的等比数列,
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所以b
n
=b
1
q
n-1
=2×4n-1
=2
2n-1
.
从而{b
n
}的前n项和T
n
==(4
n
-1).
9.(2013浙江,19,14分)在公差为d的等差数列{a
n
}中,已知a1
=10,且a
1
,2a
2
+2,5a
3
成等 比数列.
(1)求d,a
n
;
(2)若d<0,求|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+…+|a
n
|.
解析 (1)由题意得5a
3
·a
1
=(2a
2
+ 2)
2
,即d
2
-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以a< br>n
=-n+11,n∈N
*
或a
n
=4n+6,n∈N
*
.
(2)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.因为d <0,由(1)得d=-1,a
n
=-n+11,所以当n≤11时,
|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+…+|a
n
|=S< br>n
=-n
2
+n.
当n≥12时,|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+…+|a
n
|=-S
n
+2S
11
=n
2
-n+110.
综上所述,|a
1|+|a
2
|+|a
3
|+…+|a
n
|
=
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 等差数列的定义及通项公式
1.(2018河南开封定位考试,5)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
+a
5
=10,S
4
=16,则数列{a
n
}的公差为(
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
2.(2018四川德阳模拟,4)在等差数列{a
n
}中,a
3
+a
7
-a
10
=-1,a
11
-a< br>4
=21,则a
7
=( )
A.7 B.10 C.20 D.30
答案 C
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)
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3 .(2017湖南娄底二模,4)已知数列{a
n
}是首项为1,公差为d(d∈N
*
)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公
差不可能是( )
A.2
答案 B
4.(2017北师大附中期中,4)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,
上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节 的容积为( )
B.3 C.4 D.5
A.1升
答案 B
B.升 C.升 D.升
5.(2017江西六校期中联考,18)在等差数列{a
n
}中,+a
3
=4,且a
5
+a
6
+a
7
=18.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若a1
,a
2
,a
4
成等比数列,求数列
解析 (1)设等差数列{a
n
}的公差为d,
∵+a
3
=4,且a5
+a
6
+a
7
=18,
的前n项和S
n
.
∴+a
1
+2d=4,a
5< br>+a
6
+a
7
=3a
6
=3(a
1
+5d)=18,
联立解得a
1
=d=1或a
1
=-,d=.
∴a
n
=1+(n-1)=n,或a
n
=-+(n-1)=. (2)∵a
1
,a
2
,a
4
成等比数列,∴=a
1
·a
4
.∴a
n
=n.
∴==.
∴数列

的前n项和S
n
=[++…+]==.
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考点二 等差数列的性质
6.(2018湖北荆州一模,3)在等差数列{a
n}中,若a
3
+a
4
+a
5
=3,a
8
=8,则a
12
的值是( )
A.15
答案 A
7.( 2017河北石家庄一模,8)已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于 直线x=1对称,若数列
{a
n
}是公差不为0的等差数列,且f(a
50< br>)=f(a
51
),则{a
n
}的前100项的和为( )
A.-200
答案 B
8.(2017湖北孝感六校联考,14)已知两个等差 数列{a
n
}和{b
n
}的前n项和分别是S
n
和T
n
,且对任意正整数n都有
B.-100 C.0 D.-50
B.30 C.31 D.64
=,则= .
答案
考点三 等差数列的前n项和公式
9.(2018广东佛山一中期中,10)设等差数列{a
n
}满足3a
8
=5a
15
,且a
1
>0,S
n< br>为其前n项和,则数列{S
n
}的最大项为
( )
A.S
23

答案 C
B.S
24
C.S
25
D.S
26

10.(2017湖南长沙长郡中学模拟 ,8)已知数列{a
n
}为等差数列,S
n
为前n项和,公差为d,若
为( )
-=100,则d的值
A.
答案 B
B. C.10 D.20
11.(2017广东湛江一模,12)若等差数列{a
n
}的前n项和S
n
有最大值,且<-1,那么使S
n
取最小正值的项数
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n=( )
A.15
答案 C
B.17 C.19 D.21 < br>12.(2016吉林长春质量检测,4)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
>0且=,则当S
n
取最大值时,n的值为
( )
A.9
答案 B
13.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著《 张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次
一人与四钱,次一人与五钱,以次与之 ,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若
干人,第一人给3钱 ,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分
给各人 ,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是 .
答案 195
14.( 2017福建龙岩五校期中,14)递增数列{a
n
}满足2a
n
=a
n-1
+a
n+1
(n∈N
*
,n>1),其前n项和为
S
n
,a
2
+a
8
=6,a
4
a
6
=8,则S
10
= .
答案 35
15.(2018广 东惠州一调,17)已知等差数列{a
n
}的公差不为0,前n项和为S
n
( n∈N
*
),S
5
=25,且S
1
,S
2
,S
4
成等比数
列.
(1)求a
n
与S
n
;
B.10 C.11 D.12
(2)设b
n
=,求证:b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
<1.
解析 (1)设等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0),
则由S
5
=2 5可得a
3
=5,即a
1
+2d=5①,
又S
1
,S
2
,S
4
成等比数列,且S
1
=a
1
,S
2
=2a
1
+d,S
4
=4a
1
+6 d,
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所 以(2a
1
+d)
2
=a
1
(4a
1
+6 d),整理得2a
1
d=d
2
,
因为d≠0,所以d=2a
1
②,
联立①②,解得a
1
=1,d=2,
所以a
n
=1+2( n-1)=2n-1,S
n
==n
2
.
(2)证明:由(1)得b
n
==-,
所以b
1
+b2
+b
3
+…+b
n
=++…+
=1-.
又∵n∈N
*
,∴1-<1.
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:55分 时间:45分钟)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.( 2018云南玉溪模拟,9)若{a
n
}是等差数列,公差d<0,a
1
>0 ,且a
2013
(a
2012
+a
2013
)<0,则使数 列{a
n
}的前n项和
S
n
>0成立的最大正整数n是( )
A.4027
答案 D
2.(2018辽宁铁东一模,4)设{a
n< br>}是首项为a
1
,公差为-2的等差数列,S
n
为其前n项和,若S< br>1
,S
2
,S
4
成等比数列,则
a
1
=( )
A.2
答案 D
3.(2018海南海口一中月考,3)等差数 列{a
n
}中,a
4
=6,前11项和S
11
=110,则 a
8
=( )
A.10 B.12 C.14 D.16
B.-2 C.1 D.-1
B.4026 C.4025 D.4024
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答案 C
4.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列{a
n
},{b
n
}的前n项和分别为S
n
,T
n
,若对于任意的 正整数n,都有
=,则+=( )
A.
答案 A
B. C. D.
5.(2016湖南岳阳平江一中期中,12)如果数列{a
n
}满足a
1< br>=2,a
2
=1,且
等于( )
=(n≥2),则这个数列的第10项
A. B. C. D.
答案 C
二、解答题(每小题15分,共30分)
6.(2017河南安阳调研,18)数列{an
}和{b
n
}都是首项为1的等差数列,设S
n
是数列{a< br>n
}的前n项和,且S
n
=.
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)求数列的前n项和A
n
.
解析 (1)设{a
n
} 的公差为d
1
,{b
n
}的公差为d
2
,
由题意得
即
所以a
n
=2n-1,b
n
=n.
解得
(2)因为==-,
所以A
n
=1-+-+…+-=1-=.
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7 .(2017广东广州一模,17)等差数列{a
n
}中,a
3
+a
4
=12,S
7
=49.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)记[x]表示不超过x的最大整 数,如[0.9]=0,[2.6]=2.令b
n
=[lga
n
],求数列{ b
n
}的前2000项和.
解析 (1)由a
3
+a
4< br>=12,S
7
=49,得
解得a
1
=1,d=2,
所以a
n
=2n-1.
(2)b
n
=[lga
n
]=[lg(2n-1)],
当1≤n≤5时,b
n
=[lg(2n-1)]=0;
当6≤n≤50时,b
n
=[lg(2n-1)]=1;
当51≤n≤500时,b
n
=[lg(2n-1)]=2;
当501≤n≤2000时,b
n
=[lg(2n-1)]=3.

所以数列{b
n
}的前2000项和为0×5+1×45+2×450+3×1500=54 45.
C组 2016—2018年模拟·方法题组
方法1 等差数列的基本运算技巧 < br>1.(2018福建福安一中月考,3)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
3
=7-a
2
,则S
4
的值为( )
A.15
答案 B
2.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷 上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前
一天多织相同量的布,现在一月(按30 天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?( )
A.3尺
答案 C
3.(2017湖北华师一附中12月模拟,7)设S
n
为等差 数列{a
n
}的前n项和,若a
1
=1,公差d=2,S
k+2-S
k
=28,则
k=( )
B.4尺 C.5尺 D.6尺
B.14 C.13 D.12
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A.8
答案 C
B.7 C.6 D.5
4.(2017安徽淮南一 模,15)已知数列{a
n
}满足递推关系式a
n+1
=2a
n+2
n
-1(n∈N
*
),且
是 .
答案 -1
为等差数列,则λ的值
5.(2016福建厦门一中期中,14)已知等差数列{an
}中,a
3
=,则cos(a
1
+a
2
+a
6
)= .
答案 -1
6.(2018河南开封定位考试,17) 已知数列{a
n
}满足a
1
=,且a
n+1
=.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若b
n
=a
n
a< br>n+1
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
解析 (1)证明:∵a
n+1
=,∴=,
∴-=,
∴数列是以2为首项,为公差的等差数列.
(2)由(1)知a
n
=,∴b
n
==4,
∴S
n
=4
=4

=.
方法2 等差数列性质的应用策略
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7 .(2018安徽安庆调研,5)等差数列{a
n
}中,已知S
15
=90, 那么a
8
=( )
A.12
答案 D
B.4 C.3 D.6
8.(2017广东惠州二调,7)设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,若=,则=( )
A.1
答案 A
B.-1 C.2 D.
方法3 等差数列前n项和的最值问题的求解方法
9.(2018福建福州八县联考, 11)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足S
20
>0,S
21
<0,则,,…,
( )
中最大的项为
A. B. C. D.
答案 A
10.(2017河南部分重点中学二联,6)设S
n
是公差不为零的等差数列{a
n
}的前n项和,且a
1
>0,若S
5
=S
9
,则当S
n
最大时,n=( )
A.6
答案 B
B.7 C.10 D.9
11.(2016河南南 阳期中,16)已知数列{a
n
}为等差数列,若<-1,且前n项和S
n
有 最大值,则使S
n
>0的n的最大
值为 .
答案 11
1 2.(2017豫南九校2月联考,18)已知数列{a
n
}是等差数列,a
1
=1,a
2
+a
3
+…+a
10
=144.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
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( 2)若b
n
=,S
n
是数列{b
n
}的前n项和,当n≥3 时,S
n
≥m恒成立,求实数m的最大值.
解析 (1)设{a
n
}的公差为d,
∵a
1
=1,a
2
+a
3
+…+a
10
=144,
∴9+45d=144,解得d=3.
∴数列{a
n
}的通项公式为an
=3n-2(n∈N
*
).
(2)b
n
===,
∴S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n

=
==,
∵f(x)==-(x≥3)是增函数,
∴S
n
≥,即m≤,
故实数m的最大值是.
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