魔方三层公式等差数列及其前n项和习题与参考答案

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第六章 第二节
1．{a
n
}为等差数列，a
10
＝33，a
2
＝1，S
n
为数列{a
n
}的前 n项和，则S
20
－2S
10
等于( )
A．40
C．400
B．200
D．20
解析：选C S
20
－2S
10
＝－2×
＝10(a
20
－a
10
)＝100d.又a
10
＝a
2
＋8d，∴33＝1＋ 8d.
∴d＝4.∴S
20
－2S
10
＝400.故选C. 2．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足－＝1，则数列{ a
n
}的公差是( )
A.
C．2
B．1
D．3
解析：选C 因为S
n
＝，所以＝.由－＝1，得－＝1，即a3
－a
2
＝2，所以数列{a
n
}的公差为2.
故选C .
3．(2014·临川一中质检)已知数列{a
n
}，{b
n
} 都是公差为1的等差数列，其首项分别为a
1
，b
1
，
且a
1
＋b
1
＝5，a
1
，b
1
∈N
*
.设c
n
＝a
b
n
(n∈N
*
)，则数列{c< br>n
}的前10项和等于( )
A．55
C．85
B．70
D．100
解析：选C 由题知a
1
＋b1
＝5，a
1
，b
1
∈N
*
.设c
n
＝a
b
n
(n∈N
*
)，则数列{c
n
} 的前10项和等于
a
b
1
＋a
b
2
＋…＋a
b
10
＝a
b
1
＋a
b
1
＋
1
＋…＋a
b
1
＋
9
，a
b
1
＝a
1
＋(b
1
－1)＝4，∴a
b
1
＋a
b
1
＋
1
＋…＋a
b
1
＋
9
＝4＋ 5
＋6＋…＋13＝85，选C.
4．(2014·中原名校联盟摸底考试)若数列{an
}通项为a
n
＝an，则“数列{a
n
}为递增数列”的一< br>个充分不必要条件是( )
A．a≥0
C．a＞0
B．a＞1
D．a＜0
解析：选B 数列{a
n
}为递增数列， 则a＞0，反之a＞0，则数列{a
n
}为递增数列，a＞0是数
列{a
n< br>}为递增数列的充要条件，“数列{a
n
}为递增数列的一个充分不必要条件是a的范围 比a＞0
小，即包含于a＞0中，故选B.

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5．(2012· 浙江高考)设S
n
是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a
n
}的前n项和 ，则下列命题错误的
是( )
A．若d<0，则数列{S
n
}有最大项
B．若数列{S
n
}有最大项，则d<0
C．若数列{S
n
}是递增数列，则对任意n∈N
*
，均有S
n
>0
D．若对任意 n∈N
*
，均有S
n
>0，则数列{S
n
}是递增数列
解析：选C 设数列{a
n
}的首项为a
1
，则S
n
＝na
1
＋n(n－1)d＝n
2
＋n.由二次函数性质知S
n< br>有最
大值时，则d<0，故A、B正确；因为{S
n
}为递增数列，但d>0， 不妨设a
1
＝－1，d＝2，显然{S
n
}
是递增数列，但S
1
＝－1<0，故C错误；对任意n∈N
*
，S
n
均大于0时，a
1
>0，d>0，{S
n
}必是递增
数列，D正确．
6． 设等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和分别为S
n
，T
n
，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为( )
A.
C.
B.
D.
解析：选A ∵{a
n
}，{b
n
}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，
∴＝.故选A.
7．(2011·广东高考)等差数列{a
n
}前9项的和等于前4项的和．若a
1
＝1，a
k
＋a
4
＝0，则k＝
________.
解析：10 由题意S
9
＝S< br>4
得a
5
＋a
6
＋a
7
＋a
8＋a
9
＝0.
∴5a
7
＝0，即a
7
＝0.
又a
k
＋a
4
＝0＝2a
7
，a
10＋a
4
＝2a
7
，∴k＝10.
8．(2014·阜宁中学调 研)在等差数列{a
n
}中，a
2
＝6，a
5
＝15，b< br>n
＝a
2n
，则数列{b
n
}的前5项和
S
5
＝________.
解析：90 在等差数列{a
n
}中，由a
2
＝6，a
5
＝15易知公差d＝＝3，
∴a
n
＝a< br>2
＋(n－2)d＝3n，∴b
n
＝a
2n
＝6n，
所以数列{b
n
}为公差为6的等差数列，
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所以前5项和S
5
＝(b
1
＋b
5
)，
又易知b
1
＝6，b
5
＝30，所以S
5
＝90.
9．(2014·江苏调研)对于数列{a
n
}，定义数列{a
n
＋
1
－a
n
}为数列{a
n
}的差数列．若a
1＝2，{a
n
}
的“差数列”的通项公式为2
n
，则数列{a< br>n
}的前n项和S
n
＝________.
解析：2
n
＋
1
－2 由已知a
n
＋
1< br>－a
n
＝2
n
，a
1
＝2得a
2
－ a
1
＝2,0＝2
2
，…，a
n
－a
n
－
1
＝2
n
－
1
，由累
加法得a
n
＝2＋2＋2
2
＋…＋2
n
－
1
＝2
n
， 从而S
n
＝＝2
n
＋
1
－2.
10．(2014 ·哈尔滨联考)已知各项为正数的等差数列{a
n
}的前20项和为100，那么a
7
a
14
的最大
值为________．
解析：25 因为{an
}为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以＝100，即a
1
＋ a
20
＝10，
所以a
7
＋a
14
＝10.所以 a
7
·a
14
≤
2
＝25，
当且仅当a
7
＝a
14
＝5时等号成立．
11．(201 3·新课标全国高考Ⅱ)已知等差数列{a
n
}的公差不为零，a
1
＝25， 且a
1
，a
11
，a
13
成等
比数列．
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)求a
1
＋a
4
＋a
7
＋…＋a
3n
－
2
.
解：(1)设{a
n
}的公差为d.
由题意得a＝a
1
a
13
，
即(a
1
＋ 10d)
2
＝a
1
(a
1
＋12d)．
于是d(2a
1
＋25d)＝0.
又a
1
＝25，所以d＝－2或d＝0(舍去)．
故a
n
＝－2n＋27.
(2)令S
n
＝a
1< br>＋a
4
＋a
7
＋…＋a
3n
－
2
.
由(1)知a
3n
－
2
＝－6n＋31，
所以数列{a
3n
－
2
}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而S
n
＝(a
1
＋a
3n
－
2
)＝(－6n＋56)＝－3n
2
＋28n.
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12．(2014 ·黑龙江联考)已知各项都不相等的等差数列{a
n
}的前6项和为60，且a
6为a
1
和a
21
的等比中项．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若数列{b
n
}满足b
n
＋
1
－b
n
＝a
n
(n∈N< br>*
)，且b
1
＝3，求数列的前n项和T
n
.
解：(1)设等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0)，
则解得
∴a
n
＝2n＋3.
(2)由b
n
＋
1
－b
n
＝a
n
，得b
n
－b
n
－
1
＝a
n
－
1
(n≥2，n∈N
*
)，
b
n
＝(b
n
－b
n
－
1
)＋(b
n
－
1
－b
n
－
2
)＋…＋(b
2－b
1
)＋b
1

＝a
n
－
1
＋a
n
－
2
＋…＋a
1
＋b
1

＝(n－1)(n－1＋4)＋3＝n(n＋2)，
∴b
n
＝n(n＋2)，n∈N
*
.
∴＝＝.
∴T
n
＝
＝＝.
13．(2014·济宁模拟)已知数列{a< br>n
}的前n项和S
n
＝－a
n
－
n
－
1
＋2(n∈N
*
)，数列{b
n
}满足b
n
＝ 2
n
·a
n
.
(1)求证：数列{b
n
}是等差 数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
(2)设c
n
＝log2
，数列的前n项和为T
n
，求满足T
n
<(n∈N
*
)的n的最大值．
(1)证明：在S
n
＝－a
n
－
n
－
1
＋2中，
令n＝1，可得S
1
＝－a
1
－1＋2＝a
1
，得a
1
＝.
当n≥2时，S
n
－
1
＝－a
n
－
1
－
n
－
2
＋2，
∴a
n
＝S
n
－S
n
－1
＝－a
n
＋a
n
－
1
＋
n
－
1
，
即2a
n
＝a
n
－
1
＋
n
－
1
.
∴2
n
·a
n
＝2< br>n
－
1
·a
n
－
1
＋1.
∵b< br>n
＝2
n
·a
n
，∴b
n
＝b
n< br>－
1
＋1.
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又b
1
＝2a
1< br>＝1，∴{b
n
}是以1为首项，1为公差的等差数列．
于是b
n
＝1＋(n－1)·1＝n，∴a
n
＝.
(2) 解∵c
n
＝log
2
＝log
2
2
n
＝n .
∴＝＝－.
∴T
n
＝＋＋…＋
＝1＋－－.
由T
n
＜，得1＋－－<，
即＋>，f(n)＝＋单调递减，
∵f(3)＝，f(4)＝，f(5)＝，
∴n的最大值为4.
1.(2014· 石家庄模拟)已知数列{a
n
}(n∈N
*
)中，a
1
＝， a
n
＝2－(n≥2，n∈N
*
)，数列{b
n
}满足b< br>n
＝(n∈N
*
)，则关于数列{b
n
}的判断正确的是( )
A．数列{b
n
}一定是等差数列
B．数列{b
n
}一定是等比数列
C．数列{b
n
}可以是等差数列，也可以是等比数列
D．数列{b
n
}既不是等差数列，也不是等比数列
解析：选A 因为a< br>n
＝2－(n≥2，n∈N
*
)，b
n
＝，所以当n≥2时， b
n
－b
n
－
1
＝－＝－＝－＝1，
又b
1
＝＝－，所以数列{b
n
}是以－为首项，1为公差的等差数列，选A.
2．已知{a
n
}是等差数列，S
n
为其前n项和，若S
21
＝S
4000
，O为坐标原点，点P(1，a
n
)，Q(2011，
a
2011
)，则·等于( )
A．2011
C．0
B．－2011
D．1
解析：选A 方法一：由已知S
21＝S
4000
，则a
22
＋a
23
＋…＋a
4 000
＝0，设数列{a
n
}的公差为d，
则＝0，又a
22
＋a
4000
＝2a
2011
，所以a
2011
＝0，
∴·＝2011＋a
n
·a
2011
＝2011
方法二： 设等差数列{a
n
}的公差为d，因为S
21
＝S
4000
，且等差数列前n项和公式可看成二次函
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数，所以由对称性可得S
1
＝S
4020
，则有a
1
＝4020a
1
＋d，整理得a
2011
＝0，所以·＝2011＋a
n
·a
2011
＝< br>2011.
3．(2014·孝感高中调研)已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函 数，数列{a
n
}是等差数
列，a
3
＞0，则f(a
1)＋f(a
3
)＋f(a
5
)的值( )
A．恒为正数
C．恒为0
B．恒为负数
D．可以为正数也可以为负数
解析：选A 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)得f(0)＝0，又f( x)是R上的单
调递增函数，所以当x＞0时有f(x)＞f(0)＝0，当x＜0时有f(x)＜f( 0)＝0，因为a
3
＞0，所以有f(a
3
)
＞0.因为数列{a< br>n
}是等差数列，所以＝a
3
＞0从而a
1
＋a
5< br>＞0，所以a
1
＞－a
5
，所以f(a
1
)＞f(－ a
5
)．又
f(－a
5
)＝－f(a
5
)，所以f (a
1
)＋f(a
5
)＞0，从而有f(a
1
)＋f(a< br>3
)＋f(a
5
)＝[f(a
1
)＋f(a
5
)]＋f(a
3
)＞0.故选A.
4．(2014·西北工大附中月考)若有穷数 列a
1
，a
2
，…，a
n
(n是正整数)满足a
1
＝a
n
，a
2
＝a
n
－
1
，…，
a
n
＝a
1
，即a
i
＝a
n
－< br>i
＋
1
(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列 {b
n
}是项数
为7的“对称数列”，且b
1
，b
2
，b
3
，b
4
成等差数列，b
1
＝2，b
4＝11，则数列{b
n
}的项为________．
解析：2,5,8,11,8,5,2 设数列b
1
，b
2
，b3
，b
4
的公差为d，则b
4
＝b
1
＋3d＝ 2＋3d＝11，解得d
＝3，所以数列{b
n
}的项为2,5,8,11,8,5, 2.
5．(2014·湛江检测)已知各项为正数的数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
，且对任意正整数n有a
2
a
n
＝
S
2< br>＋S
n
.
(1)求a
1
的值；
(2)求数列{a
n
}的通项公式；
(3)若数列的前n项和为T
n
，求T
n
的最大值．
解： (1)取n＝1，a
2
a
1
＝S
2
＋S
1
＝2a
1
＋a
2
，①
取n＝2，a＝2a
1
＋2a
2
，②
②－①得，a
2
(a
2
－a
1
)＝a
2
，a
2
>0，∴a
2
－a
1
＝1，③
由①③组成方程组解得，a
1
＝1＋或a
1
＝1－.
∵a
n
>0，∴a
1
＝1－不合题意，舍去．∴a
1
＝1＋.
(2)由(1)可得a
2
＝2＋，
当n≥2时，(2＋)a
n＝S
2
＋S
n
，(2＋)a
n
－
1
＝ S
2
＋S
n
－
1
，
精心整理
两式相减 ，得(2＋)a
n
－(2＋)a
n
－
1
＝a
n，
∴(1＋)a
n
＝(2＋)a
n
－
1
，∴ a
n
＝a
n
－
1
(n≥2)．
∴数列{a
n
}是以a
1
＝1＋为首项，公比q＝的等比数列．
∴a
n
＝(1＋)()
n
－
1
.
(3) 设b
n
＝log
8
＝1－log
8
()
n
－
1
＝1－(n－1)log
8

＝1－(n－1)．
∴数列{b
n
}为单调递减的等差数列，公差为－.
由b
n
＝1－(n－1)≥0，解得n≤7，
∴b
1
＞b
2
>…>b
6
>b
7
＝0,0>b
8
>b
9
>…，
∴当n＝6或n＝7时，T
n
有最大值．且最大值为T< br>6
＝T
7
＝＝.