哈佛大学的入学要求-fell什么意思
第三讲
等比数列及其前
n
项和
题组1
等比数列及其前
n
项和
1.[2015新课标全 国Ⅱ,4,5分][理]已知等比数列{a
n
}满足a
1
=3,a
1
+a
3
+a
5
=21,则a
3
+a
5+a
7
=
(
)
A.21 B.42 C.63 D.84
2.[2013新课标全国Ⅱ,3,5分][理]等比 数列{a
n
}的前n项和为S
n
.已知S
3
=a
2
+10a
1
,a
5
=9,则a
1
=
(
)
A.
B.-
C.
D.-
3.[2017 江苏,9,5分][理]等比数列{a
n
}的各项均为实数,其前n 项和为S
n
.已知S
3
=
,S
6
=
,则
a
8
=
.
4.[2015新课标全国
Ⅰ
,13,5分]在数列{a
n< br>}中,a
1
=2,a
n+1
=2a
n
,S
n
为{a
n
}的前n项和.若S
n
=126,则
n=
.
5.[2013辽宁,14,5分][理]已知等比数列{a
n
}是递 增数列,S
n
是{a
n
}的前n项和.若a
1
,a
3
是方程
x
2
-5x+4=0的两个根,则S
6
=
.
6.[2017 山东,19, 12分][理]已知{x
n
}是各项 均为正数的等比数列,且x
1
+x
2
=3,x
3
-x
2
=2.
(Ⅰ)求数列{x
n
}的通项公式;
(Ⅱ)如图6- 3-1,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P
1
(x
1
,1),P2
(x
2
,2),…,P
n+1
(x
n+1
, n+1)得到折
线P
1
P
2
…P
n+1
,求由该折 线与直线y=0,x=x
1
,x=x
n+1
所围成的区域的面积T
n
.
图6-3-1
7.[2016全国卷Ⅲ,17,12 分][理]已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=1+λa
n
,其中λ≠0.
(Ⅰ)证明{a
n
}是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若S
5
=,求λ.
题组2
等比数列的性质
8.[2014重庆,2,5分][理]对任意等 比数列{a
n
},下列说法一定正确的是
A.a
1
,a
3
,a
9
成等比数列 B.a
2
,a
3
,a
6
成等比数列
C.a
2
,a
4
,a
8
成等比数列 D.a
3
,a
6
,a
9
成等比数列
9.[201 4广东,13,5分][理]若等比数列{a
n
}的各项均为正数,且a
10
a
11
+a
9
a
12
=2e
5
,则ln a
1
+ln
a
2
+…+ln a
20
=
.
10.[2016天津,18,13分]已知{a
n
}是等比数列,前 n项和为S
n
(n∈N
*
),且
-
=
,S
6
=63.
(
)
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
( Ⅱ)若对任意的n∈N
*
,b
n
是log
2
a
n< br>和log
2
a
n+1
的等差中项,求数列{(-1)
n
}的前2n项和.
A组基础题
1.[2018河北衡水 中学二调,3]设正项等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且
a< br>3
+a
5
=20,a
3
a
5
=64,则S< br>4
=
A.63或120 B.256 C.120 D.63
2.[2018益阳市、湘潭市高三调研,4]已知等比数列{a
n
}中, a
5
=3,a
4
a
7
=45,则
-
的值为
(
)
<1,若
(
)
-
A.3 B.5 C.9 D.25
3.[201 8洛阳市尖子生高三第一次联考,7]在等比数列{a
n
}中,a
3
,a15
是方程x
2
+6x+2=0的根,则
的值为
(
)
A.-
B.-
C.
D.-
或
4.[201 7吉林省部分学校高三仿真考试,7][数学文化题]《张丘建算经》中“今有马行转迟,次日
减半,疾 七日,行七百里.问日行几何?”意思是:“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里
数是前一天的 一半,连续行走7天,共走了700里路,问每天走的里数为多少?”则该匹马第一天
走的里数为
(
)
A.
B.
C.
D.
5.[2018 广州市高三调研测试,14]在各项都为正数的等比数列{a
n
}中,若a
2 018
=
,则
的最小值为
.
6.[2018惠州市一调,15]已知等比数列{a
n
}的公比为正数, 且a
3
a
9
= 2
,a
2
= 1,则a
1
+
=
.
7.[2017昆明市高三适应性检测,17]数列{a
n
}满足a
1
=-1,a
n+1
+2a
n
=3.
(1)证明{a
n
-1}是等比数列,并求数列{a
n
}的通项公式 ;
, ,
(2)已知符号函数sgn(x)=
, ,
设b< br>n
=a
n
·sgn(a
n
),求数列{b
n
}的前100项和.
- , ,
B组提升题
8.[2018石家庄市重点高中 摸底考试,9]已知等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
3< br>=7,S
6
=63,则数
列{na
n
}的前n项和为
A.-3+(n+1)×2
n
B.3+(n+1)×2
n
C.1+(n+1)×2
n
D.1+(n-1)×2
n
(
)
9.[2017重庆市名校联盟二诊,10分]设T< br>n
为等比数列{a
n
}的前n项之积,且a
1
=-6,a4
=-
,则当
T
n
最大时,n的值为
A.4 B.6 C.8 D.10
10.[2017天星 第二次大联考,7]已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若4nS
n
-(6n-3)a
n
=3n,则下列说法
正确的是
A.数列{a
n
}是以3为首项的等比数列
B.数列{a
n
}的通项公式为a
n
=
(
)
(
)
C.数列{
}是等比数列,且公比为3
D.数列{
}是等比数列,且公比为
11.[201 7郑州市第三次质量预测,8]已知等比数列{a
n
},且a
6
+a
8
=
-
dx,则
a
8
(a
4
+2a
6
+a
8
)的值为< br>
(
)
A.π
2
B.4π
2
C.8π
2
D.16π
2
12.[2017太原市高三三模,9]已知数列{a
n
}的前n项和为S
n,点(n,S
n
+3)(n∈N
*
)在函数y=3×2
x
的图象上,等比数列{b
n
}满足b
n
+b
n+1
=a< br>n
(n∈N
*
),其前n项和为T
n
,则下列结论正确的是< br>
(
)
A.S
n
=2T
n
B.T
n
=2b
n
+1
C.T
n
>a
n
D.T
n
13.[2018河北省“五个一名校联盟” 高三第二次考试,17]已知数列{a
n
}是等差数列,a
2
=6,前n项< br>和为S
n
,数列{b
n
}是等比数列,b
2
=2,a
1
b
3
=12,S
3
+b
1
=19.
(1)求{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)求数列 {b
n
cos(a
n
π)}的前n项和T
n
.
答案
1.B
设等比数列{a
n
}的公比为q ,则a
1
(1+q
2
+q
4
)=21,又a
1=3,所以q
4
+q
2
-6=0,所以q
2
=2(q< br>2
=-3
舍去),所以a
3
=6,a
5
=12,a< br>7
=24,所以a
3
+a
5
+a
7
=42. 故选B.
2.C
由题知q≠1,所以S
3
=
-
)
-
=a
1
q+10a
1
,解得q
2
=9,又a
5
=a
1
q
4=9,则a
1
=,故选C.
-
)
-
-
)
-
3.32
设等比数列{a
n
}的公比为 q,由S
6
≠2S
3
得q≠1,则S
3
=
q=2, a
1
=
,则a
8
=a
1
q
7
=
×2
7
=32.
=
,S
6
==
,解得
4.6
因为a
1
=2,a
n+1
=2a
n
,所以数列{ a
n
}是首项为2,公比为2的等比数列,因为S
n
=126,所以
-
-
=126,解得2
n+1
=128,所以n=6.
5.63
因为a
1
,a
3
是方程x
2< br>-5x+4=0的两个根,且数列是递增数列,所以a
1
=1,a
3
= 4,所以q=2,代
入等比数列的求和公式得S
6
=
-
-
=63.
6.(Ⅰ)设数列{x
n
}的公比为q,由已知知q>0.
,
由题意得
-
.
所以3q
2
-5q-2=0.
因为q>0,所以q=2,x
1
=1,
因此数列{x
n
}的通项公式为x
n
=2
n-1
.
(Ⅱ)过P
1
,P
2
,…,P
n+1
向x轴作垂线 ,垂足分别为Q
1
,Q
2
,…,Q
n+1
.
由(
Ⅰ
)得x
n+1
-x
n
=2
n
-2
n-1
=2
n-1
,
记梯形P
n
P
n+1Q
n+1
Q
n
的面积为b
n
,
由题意得b
n
=
)
×2
n-1
=(2n+1)×2
n-2
,
所以T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=3×2
-1
+5×2
0
+7×2
1
+…+(2n-1)×2
n-3+(2n+1)×2
n-2
①
,
则2T
n
=3×2
0
+5×2
1
+7×2
2
+…+(2n-1)×2
n-2
+(2n+1)×2
n-1
②
,
①
-
②
,得-T
n
=3×2
-1
+(2+2
2
+…+2< br>n-1
)-(2n+1)×2
n-1
=
+
所以T
n
=
- )
-
-
)
-
-(2n+1)×2
n-1
,
.
7.(Ⅰ)由题意得a
1
=S
1
=1+λa
1
,
故λ≠1,a
1
=
-
,a
1
≠0.
由S
n
=1+λa
n
,S
n+1
=1+λa
n+1
得a
n+1
=λa
n+1
-λa
n
,即a
n+1
(λ-1)=λa
n
.由a
1
≠0,λ≠0且λ≠1得a< br>n
≠0,所以
=
-
.
所以{a
n
}是首项为
-
,公比为
-
的等比数列,
故a
n
=
-
(
-
)
n-1
.
(Ⅱ)由(
Ⅰ
)得S
n
=1-(
-
)
n
.由S
5
=
得1-(
-
)
5
=
,即(
-
)
5
=
,解得λ=-1.
8.D
由等比数列的性质,得a
3
·a
9
=
≠0,因 此a
3
,a
6
,a
9
一定成等比数列,选D.
9.50
由等比数列的性质可知a
1
a
20
=a
2
a
19
=…=a
9
a
12
=a
10
a
11
=e
5
,于是a
1
a2
…a
20
=(e
5
)
10
=e
50
,ln
a
1
+ln a
2
+…+ln a
20< br>=ln(a
1
a
2
…a
20
)=ln e
50
=50.
10.(Ⅰ)设数列{a
n
}的公比为q.由已知,得
-
=
,解得q=2或q=-1.
又由S
6
=a
1
·=63,知q≠-1,
-
-
-
n-1
所以a
1·=63,得a
1
=1.所以a
n
=2.
-
(Ⅱ )由题意,得b
n
=(log
2
a
n
+log
2< br>a
n+1
)=(log
2
2
n-1
+log
2
2
n
)=n-,即{b
n
}是首项为,公差为1的等差
数列.
设数列{(-1)
n
}的前n项和为T
n
,则
T
2n
=(-
+
)+(-
+
)+…+(-
+
)
-
=b
1
+b
2
+b
3
+b
4
+…+b
2n-1
+b
2n
=
)
=2n
2
.
A组基础题
, ,
,
1.C
由题意得
解得
或 又<1,所以数列{a
n
}为递减数列,
,
.
,
故
设等比数列{a
n
}的公比为q,则q
2
=
=,因为数列为正项等比数列,所以q=,从而
.
a
1
=64,所以S
4
=
-
)
-
=120.选C.
2.D
设等比数列{a
n
}的公比为q,则a
4
a
7
=
·a
5
q
2
=9q=45,
-
-
-
所以q=5,所以=
-
=q
2
=25.故选D.
3.B
设等比数列{a
n
}的公比为q,因为a
3
,a
15
是方 程x
2
+6x+2=0的根,所以
a
3
·a
15
=
=2,a
3
+a
15
=-6,所以a
3
<0,a
15
<0,则a
9
=-
,所以
=
=a
9
=-
,故选B.
4.B
由题意知该匹马每日所走的路程成等比数列{a
n
},且公比q=,S
7=700,由等比数列的求
和公式得S
n
=
-
)
-
=700,解得a
1
=
,故选B.
5.4
设公比为q(q>0),因为a
2 018
=
,所以a
2 017
=
=,a
2 019
=a
2 018
q=q,则有
+
=
q+
=
q+
≥2
·
=4,当且仅当q
2
=2,即q=
时取等号,故所求最小
值为4.
6.
∵a
3
a
9
=
,∴
=2
,设等比数列{a
n
}的公比为q,∴q
2
=2,由于q>0,解得q=
,∴
a
1
=
=.
7.(1)因为a
n+1
=-2a
n
+3,a
1
=-1,
所以a
n+1
-1=-2(a
n
-1),a1
-1=-2,
所以数列{a
n
-1}是首项为-2,公比为-2的等比数列.
故a
n
-1=(-2)
n
,即a
n
=(-2)
n
+1 .
, 为偶数,
(2)b
n
=a
n
·sgn(a
n
)=
- , 为奇数,
设数列{b
n
}的前n项和为Sn
,则
S
100
=(2-1)+(2
2
+1)+(2< br>3
-1)+…+(2
99
-1)+(2
100
+1)=2+2
2
+2
3
+…+2
100
=2
101
-2 .
B组提升题
-
)
8.D
设等比数列{a
n
}的公比为q,∵S
3
=7,S
6
=63,∴q≠1,∴
,
解得 ∴a
n
=2
n-1
,
- )
,
,
-
-
,
∴na
n
=n·2
n-1
,设数列{na
n
}的前n项和为 T
n
,∴T
n
=1+2·2+3·2
2
+4·2
3
+…+(n-1)·2
n-2
+n·2
n-1
,
2Tn
=2+2·2
2
+3·2
3
+4·2
4
+… +(n-1)·2
n-1
+n·2
n
,
两式相减得-T
n
=1+2+2
2
+2
3
+…+2
n-1
-n·2< br>n
=2
n
-1-n·2
n
=(1-n)2
n
-1,∴T
n
=1+(n-1)×2
n
,故选D.
9.A
设等比数列{a
n
}的公比为q,∵a
1
=-6,a
4=-
,∴-
=-6q
3
,解得q=
,∴a
n
=-6×(
)
n-1
.
n
∴T
n
=(-6)
0+1+2+…+(n-1)
- )
n
×(
)=(-6)×(
)
,当
k
n为奇数时,T< br>n
<0,当n为偶数时,T
n
>0,故当n为偶
数时,T< br>n
才有可能取得最大值.∵T
2k
=36
时,
=
>1;当k≥2时,
)
) )
k(2k-1)
4k+1
×(
),∴
==36×(),当
)
- )
k=1
<1.
∴T
2
,T
4
>T
6
>T
8
>…,则当T
n
最大 时,n的值为4.
10.C
解法一
由4nS
n
-(6n-3)a
n
=3n,可得4S
n
=
- )
=3+(6-)a
n
①
,
当n=1时,4S
1
-(6-3)a
1
=3,解得a1
=3,当n≥2时,4S
n-1
=3+(6-
-
)a
n-1
②
,
由
①
-
②
得 ,4a
n
=(6-)a
n
-(6-
-
)a
n-1
,整理得
-
a
n
=
-
-
a
n-1
,即
=3×
-
-
,故数列{
}是等比数列,
且公比为3,选C.
解法二
当n=1时,4S
1
-(6 -3)a
1
=3,解得a
1
=3,当n=2时,8(a
1
+ a
2
)-(6×2-3)a
2
=3×2,解得a
2
=18,
当n=3时,12(a
1
+a
2
+a
3
)-(6× 3-3)a
3
=3×3,解得a
3
=81,B错误;又
=
=6,
=
=
,故A错误;
=3,==9,=
=27,故D错误,选C.
11.D
因为a
6
+a
8
=
-
dx=
×π×4
2
=4π,所以
a
8
(a
4
+2a
6
+a
8
)=a
8
a
4
+2a
6
a
8
+
=
+2a
6
a
8
+
=
)
=16π
2
,故选D.
12.D
因为点(n,S
n
+3)(n∈N
*
)在函数y=3×2
x
的图象上,所以S
n
=3·2
n
-3,所以S
n-1
=3·2
n-1
-3,两式
相减得a
n
=3·2
n-1< br>,所以b
n
+b
n+1
=3·2
n-1
,因为数列{ b
n
}为等比数列,设公比为q,则
b
1
+b
1
q =3,b
2
+b
2
q=6,解得b
1
=1,q=2,所以b
n
=2
n-1
,T
n
=2
n
-1,所以T
n
,故选D.
13.(1)∵数列{a
n
}是等差数列,a
2
=6,
∴ S
3
+b
1
=3a
2
+b
1
=18+b< br>1
=19,
∴b
1
=1,
∵b
2
=2,数列{b
n
}是等比数列,
∴b
n
=2
n-1
.
∴b
3
=4,
∵a
1
b
3
=12,∴a
1
=3,
∵a
2
=6,数列{a
n
}是等差数列,
∴a
n
=3n.
(2)设C
n
=b
n
c os(a
n
π),由(1)得C
n
=b
n
cos(a
n
π)=(-1)
n
2
n-1
,
则C
n+1
=(-1)
n+1
2
n
,
∴=-2,
又C
1
=-1,
∴数列{b
n
cos(a
nπ)}是以-1为首项、-2为公比的等比数列.
∴T
n
=
- - - )
- - )
=
[(-2)
n
-1].
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本文更新与2020-09-09 10:23，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/390464.html