透视表公式等比数列前n项和性质的证明及应用

一个等比数列前n项和性质的完善及应用
黄文宪 福建省南安市新营中学
摘要：本文所指等比数列的前n项和性质是指

,



,



之间的关系，这也是中学数学中常用 又常错的命
题。很多的课外辅导材料中所给的相关性质都是不完善的，应用该性质解题存在着逻辑上的缺 陷，但又不易察觉。本文
对该性质进行了完善与发展，使得利用该性质解题能完整无误。
关键词：等比数列 前项和 性质 完善 应用
在很多的高中数学辅导材料中，都有关于等比数列前n项和一个性质：
在等比数列




中，若其前n项和为

，

,则

,



,



也成等比
数列，公比为

。
由于等差 数列前n项和有相类似性质的存在，虽然没有严格的证明，但在惯性思维作
用下，这个性质得到广大师生 的认同。
其实，这是一个假命题，比如有穷等比数列1 ,-1 ,1 ,-1 ,1 ,-1的前两项和、中两
项和及后两项和,组成的数列为 0 ,0 ,0 ，显然不成等比数列。这说明，至少在公比
时，命题是不成立的。那么，该性质应如何表述才恰当呢？
1.1等比数列前n项和性质及其证明
等比数列前n项和性质：在等比数列




中，其前n项和为

，

，则












。
证明：在等比数列




中，前n项和为

，设公比为 ,则








①










=







②










=







③
当 时，







，
由得
①
③
②
②










由得




































是等比数列，即有











。
当 时
若 为偶数，则







，










=







=0










=







=0
此时，









不成等比数列，但有












若 为奇数，则















，








































,










成等比数列，即有












综上所述，在等比数列




中，其前n项和为

，

则











。
1.2等比数列前n项和性质应用错析
有了等比数列前n项和性 质，可以直接用它来解题了吗？先看以下一道试题几个学生
的不同解法：
人教A版教辅《优化设计》P42，试题7：等比数列




的前n项和为

，


，

，则

________________
学生甲：由等比数列前n项和的性质有： （



）


（



）
所以（

） （

）








或


学生乙：显然公比 ，由等比数列的前n项和公式得





①









②





② ①得




解得

或

（舍去）
或






或











当 时，













当 时，



=15

综上所述，

.
学生丙：由已知

，

得




①














②
② ①得




解得

或

（舍去）










=











所以

.
观察对比几位同学的解法会发现，直接利用等比数列前 n项和性质解题，可能会产生
增根，从而得出错误结果。甲同学的解答得出的

对应于乙同学和丙同学解答时得
到的

，等比数列不存在。所以性质“在等比数列




中，其前n项和为

，

则











”的题设是结论的充分不必要条件，即在等比数列中，
其前n项和为

，

则











一定成立，但满足












的

，

，

不一定是一等比数列的前 ， ， 项和。所以
探究等比数列中前 ， ， 项和的内在联系成为该性质应用的必然。
1.3等比数列前n项和性质分析完善
因为






















（

）
































（



）




,
所以 为偶数时，

，则

，

同号且｜

｜ ｜

｜，
不论 为何整数时，

与

同号。
又因为满足











时，


















，















所以

与

必同号。
因此，等比数列前n项和性质应表述为：
在等比数列




中，其前n项和为

，

则











，（当
为偶数时，

，

同号且｜

｜ ｜

｜）。
1.4等比数列前n项和性质解题应用
例1、若某等比数列中前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为_____.



解： 为奇数，

，

，由关系式











可得
144=48

，所以

.
例2、在等比数列




中，

，

，求


解：由











得





解得

或


因为 为偶数，

、

同号且｜

｜ ｜

｜，所以

。
例3、已知等比数列




中，前20项和

，前30项和

，求前10项

。
解：由











得





解得

或


因为 为偶数，

、

同号且｜

｜ ｜

｜，所以

。
例4：已知等比数列




中，

，前 项和

，前 项和

，求前
项

。
解：由











得





解得

或


当 为偶数时，

、

同号且｜

｜ ｜

｜，

不合题意，舍去，所以


。
当 为奇数时，

或


1.5反思感悟
在中学数学课程中，有很多知识之间联系很 紧密，知识的生成过程中经常可进行类比，
这种推理因其“合乎情理”而有利于学生的接受，促进了学生 的学习发展。等差数列和等
比数列关系紧密，两者之间在定义、通项公式、性质等各方面进行类比是教学 过程中常态。
由“等差数列




中，其前n项和为

，

则

，



，



也成等差数列”
类比得出“等比数列




中，其前n项和为

，

则

，



，



也成等比数列”是一个很自然的过程。但合情推理不是逻辑推理，其所得结论并不一定为真。类
比所得结果 必须进行逻辑证明是克服学生惯性思维引起错误的有效方法。
在中学数学课程中，有很多的性质、定理 、推论。这些性质、定理、推论中，有一些
的题设与结论是不等价的，或者说题设是结论的充分不必要条 件。除了本文研究的等比数
列前 项和性质外，还有很多，比如：
①函数单调性与函数导数符号关系
②函数的极值点与函数导数值关系
③不等式的同向可加性、同向可积性
在利用这些性质、定理、推论、解题变形时，要注意解题的等价性，防止可能产生
的错误。 < br>数学是严密的，在利用有关的数学知识解题时，一定要注意逻辑关系的等价性，思维
过程的严密性 。培养学生逻辑思维的严密性，是每一个数学教师的光荣使命。





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