d的公式用裂项相消求等差乘等比数列的前n项和

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用裂项相消求等差乘等比数列的前n项和

作者：高春香

来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第03期

[摘 要] 文章采用待定系数法对等差乘等比数列进行裂项，利用“裂项相消”代 替“错位相
减”对等差乘等比数列求和，并证明了此方法的通用性. 用裂项相消对等差乘等比数列求和，运
算量小，且运算结果简洁工整.
[关键词] 等差乘等比数列;待定系数法;裂项相消;错位相减
“用错位相减法求 等差乘等比数列的前项和”是高中数列求和的一种基本类型.错位相减法求
和，针对数列类型单一，计算 过程程序化、计算烦琐且计算中存在较多的易错点，对学生的计
算水平要求较高. 在实际教学中通常存在知道求和方法，但运算结果永远算不对的情况. 笔者在
教学实践中寻找到一种代替错位相减的求和新方法，方法简单，容易推广且为通性通法. 现将
结果呈现如下.
例1：已知数列{an}的通项公式为an=（4n- 1）3n，Sn表示数列{an}的前n项和，求{Sn}
的通项公式.
解：设an=[λ（n+1）+μ]3n+1-（λn+μ）3n，
则an=[2λn+（3λ+2μ）]3n.
由已知得2λ=4，3λ+2μ=-1，
解得λ=2，μ=- ，
记bn=2n- 3n，则an=bn+1-bn.
Sn=（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn+1-bn）
=（b2+b3+b4+…+bn+1）-（b1+b2+b3+…+bn）
=bn+1-b1
=2n- 3n+1+ ，
综上Sn=2n- 3n+1+ .