曲率公式旋转体体积公式

在传统立体几何中，各种旋转形体的侧（表）面积和体积计算方法是各自独立的，不便学习
记忆 。本文介绍一个适用于一切旋转形体的万能公式，简单，易学，好用。
一.基本概念
1.质量
空间图形（点，线，面，体）都可以看作是空间点的集合，一个具体的空间图形包 含的点数
是有限但不可数的。我们把一个空间图形包含的全部点数，称为该图形的质量。
由 于图形包含的点数不可数，所以要用间接方式来表示图形的质量。我们可以用长度来表示
线的质量，用面 积来表示面的质量，用体积来表示体的质量。这就像，一堆小米的粒数是有
限但不可数的。尽管这堆小米 的粒数一定有一个确切的数字，但这个数字可能我们永远也不
会知道，也不必知道，我们只需知道有几斗 几升，或几斤几两就行了。
关于质量概念，存在着下面的事实：空间图形的质量，等于它各个部分的 质量之和（质量公
理）。
2.位量和重心
构成空间图形的点，都有各自的位置 。在平面内，点的位置可以用它到参考直线的距离来表
示。我们把构成一个空间图形的所有点的位置总和 ，称为该图形的位量；把构成空间图形的
所有点的平均位置，称为该图形的重心，并以它作为整个图形的 位置。显然，位量=重心*
总点数。用W表示位量，用Z表示重心，用P表示质量，上式可以写成
.
W=Z*P
（1）
关于位量概念，也存在着下面的事实：空间 图形的位量，等于它各个部分的位量之和（位量
公理）。
3.旋转基图
旋转面 和旋转体可统称为旋转形体。用过旋转轴的平面截切后，得到一个轴对称形的截面图，
我们取旋转轴一侧 的半图作为旋转基图。旋转面的基图是线，旋转体的基图是由闭合的线围
成的面。
二.平面图形的位量和重心
要使用万能公式，需先计算旋转基图的位量，笔者提供以下判断 和计算平面图形的位量和重
心的方法：
1.形状规则图形的重心是它的几何中心。如圆，正多边形，中心对称图形等。
2.轴对称图形的重心在它的对称轴上
3.形状不规则的图形可以先分解成几个规则或简单 的部分，分别求出各部分的位量后，再求
总和。常见旋转形体的基图，总可以分解成以下四种图形： （抱歉，因发帖数量不够，无
法上传示意图）
（1）直线段
直线段的重心是它的中点
（2）圆弧线
如图1，位于位置参考线一侧且圆心在 参考线上的圆弧线，其位量等于它在参考线上的投影
长度与弧半径的乘积，即W=h*R。
（3）三角形面
三角形面的重心是三个顶点的平均位置，即重心到参考线的距离等于三个顶 点分别到参考线
距离的平均值。
（4）弓形面
如图2，圆心在位置参考线上， 弓弦与参考线平行的弓形面的位量，是弦长立方的十二分之
一，即W=a*a*a12。
如 图3，弓弦与参考线不平行的弓形面，可以看作是上述弓形面绕圆心旋转一定角度所得，
它的位量还与旋 转的角度有关。即W=cosθ*a*a*a12
4.如果一个图形的位量是W0，质量是P，则当 它的重心改变了Z△后，其位量变为W=W0+Z△*P
三.旋转形体质量计算的万能公式 在旋转基图中，以旋转轴作为位置参考线，则基图的位量，重心和质量可以分别表示为Wj，
Zj， Pj。
已知，圆周长等于半径的2π倍，据此可以推导出旋转形体质量计算的统一方法。
定理：旋转形体的质量，等于它的基图位量的2π倍。
证明：如图4，旋转基图由有限但不 可数的许多空间点构成，它们到旋转轴的距离分别为
r1,r2,r3,......,rn。每个点经 旋转一周后，都形成一条圆周线，旋转形体由所有圆周线构
成。根据质量公理，旋转形体的质量，就是所 有圆周线质量的总和。即
P旋=2πr1+2πr2+2πr3+...2πrn=2π*(r1+ r2+r3+...rn)=2π*Wj=2π*Zj*Pj
(证毕)
四.应用举例
（抱歉，因发帖数量不够，无法上传例题示意图）
例1.如何理解圆周长公式？
答 ：圆周线是最简单的旋转形体，基图是一个点，其质量是1，它到旋转轴的距离是半径R，
所以
C=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*1*R=2πR
例2.求半径为r的圆的面积。
解：圆可以看作是最简单的旋转形体之一，基图是半径，质量为r，重心为r2，所以
S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*r*r2=π*r*r
例3.求半径为r，高为h的圆柱的侧面积和体积。
解：圆柱侧面的基图是一条线段，长度为h，重心距旋转轴为r，所以
S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π *h*r
圆柱体的基图是一个矩形面，面积为h*r，重心距旋转轴为r2，所以
V=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*h*r*r 2=π*h*r*r
例4.求底半径为r，高为h，母线长为l的圆锥的侧面积和体积。
解：圆锥侧面的基图是一条线段，长度为l，重心距旋转轴为r2，所以
S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*l*r2=π*l*r
圆锥体的基图是一个三角形面，质量为S=r*h2，重心距旋转轴为r3，所以
V=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*r*h2 *r3=13 *π*r*r*h
例5.求上底半径为r1，下底半径为r2，高为h，母线长为l的圆台的侧面积和体积。
解：圆台侧面的基图是一条线段，长度为l，重心距旋转轴为（r1+r2）2，所以
S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*l*（r1+r2）2=π*l*（r1+r2）
圆台体的基图是一个梯形面，它可以分解成两个三角形面，所以
V=2πWj=2π(W1+W2)
=2π{[r1*h2 *(r1+0+0)3 ]+[r2*h2 *(r1+r2+0)3]}
=2π*h6 *(r1*r1+r1*r2+r2*r2)
=π3
*h*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)
例6.求半径为r的圆球体的表面积和体积。
解：圆球面的基图是一条半圆弧线，圆球体的基图是一个半圆形面，所以
S=2πWj=2π*2r*r=4π*r*r
V=2πWj=2π*(2r*2r*2r12)
=43 *π*r*r*r
例7.求球半径R，底半径为r，高为h的球缺的侧面积和体积。
解：球缺的侧面是球冠， 基图是一条圆弧线；球缺体的基图可以分解成一个弓形面和一个三
角形面，弓形面的位量为W=cosθ *a*a*a12=(r*r+h*h)*h12,所以
S=2πWj=2π*h*R
V=2πWj=2π*(W三角形+W弓形)=2π*[r*h2*r3+(r*r+h*h)*h12]
=2π*h12* （2r*r+r*r+h*h）
=π6*h*(3r*r+h*h)
由于R*R--r*r=(R--h)*(R--h)
r*r=2Rh--h*h,所以
V=π6*h*(3r*r+h*h)
=π3*h*h*(3R--h)
例8.求球半径R，上，下底半径分别为r1，r2，高为h的球台的侧面积和体积。
解： 球台的侧面是球带，基图是一条圆弧线；球台体的基图可以分解成一个弓形面和一个梯
形面，所以
S= 2πWj=2π*h*R
W（弓形面）=112*[（r2-r1)*（r2-r1)+h*h]*h
W（梯形面）=h6*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)
V= 2πWj=2π[W（弓形面）+W（梯形面）]
=π*h6*(3r1*r1+3r2*r2+h*h)
例9.在一个球体上过圆心车了一个长度为a圆柱形孔洞，求剩余部分的体积。
解：本题用 传统方法非常棘手，因为只有孔洞长度这一个条件。但用万能公式却是再简单不
过。球体剩余部分的
基图是一个弦长为a的弓形面，所以
V= 2πWj=2π*a*a*a12=π*a*a*a6
例10.求圆x↑2+(y-a)↑2=b↑2绕X轴旋转所成几何体的表面积和体积
解：旋 转所成的几何体是个环。在传统立体几何教材中，环体作为复杂图形不介绍其表面积
和体积计算，但在万 能公式法中，环体却是最简单的形体之一。
环体表面的基图是闭合的圆周线，质量是其周长，重心是其 圆心；环体的基图是个圆面，质
量是其面积，重心也是其圆心；所以
S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*2πb*a=4π*π*a*b
V=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*π*b*b*a=2π*π*a *b*b
例11.求边长为a的正六边形绕一边旋转所成几何体的表面积和体积。
解：传统方法是通过 割补成圆柱，圆锥，圆台来计算，非常麻烦，尤其当多边形的边数很多
时。用万能公式法则非常简单。图 形中心即是其重心，边心距k=3开平方2*a，所以
S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*6a*k=12π*a*k
V=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*(6a*k2)*k=6π*a *k*k
严格说，旋转所成几何体表面的基图只有5条边， 且不闭合，需补一条边才能成为正六边形
线框，但因补上的这条边恰在旋转轴上，位量为0，不影响整个 基图的位量，所以可以用正
六边形线框作为基图。在计算圆柱表面积时，也可以采用同一思路。
例12.半径为R的圆周被长度为a的弦分成两段弧，求这两段弧分别绕弦旋转所成形体的表
面积 < br>解：如果两段弧长度不等，则所成形体分别为柠檬形和苹果形。劣弧可看作是圆心原在旋转
轴上的 弧朝旋转轴方向平移后所得，移动距离为弦心距k=(2R*2R-a*a)开平方后再2，弧长
l=2 R*arcsin(a2R),所以
W（劣弧）=2π*R*a--l*k
S1=2π*W（劣弧）
又因为整个圆周的位量为W=2π*R*k，且两段弧分居参考线两侧，位量正负相反，所以
W（优弧）=W--[--W（劣弧）]=2π*R*k+W（劣弧）
S2=2π*W（优弧）=4π*π*R*k+S1
用类似办法还可以求出上述两种形体的体 积，而在传统立体几何中，表面积和体积计算必须
使用微积分。
....................
上面12例介绍了常见旋转形体的侧（表）面积 和体积计算，万能公式的应用当然不止这些。
万能公式把对立体图形的分析变成了对平面图形的分析，因 而更清晰，简单。只需记住一个
公式，便可解决所有旋转形体的计算问题