通达信均线公式关于长方体体积公式的证明

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关于长方体体积公式的证明

作者：吴

来源：《考试周刊》2013年第88期

摘 要： 长方体的体积 等于长乘以宽乘以高，但对于它的证明仅停留在长、宽、高都为整
数.本文对此做了补充，并给出长、宽 、高为实数的长方体体积的完整证明.
关键词： 棱长 长方体体积 乘积 极限
长方体的体积公式：v=a×b×c，其中a，b，c分别是长方体的长，宽，高.高 中立体几何书
把这个公式作为公理来推算体积的基础，那么长方体的体积公式是怎样得到的呢？对此，笔 者
曾作过调查，发现大多数学生不知道，甚至很多数学老师也不以为然.初中教师以学生听不懂
为由，课堂上略讲或不讲，高中数学教师认为那是初中数学教师的事.所以关于长方体体积公
式的教学成 为教学中的薄弱环节，长此以往对学生的发展极为不利.
高中《立体几何》介绍长方 体体积公式的时候，首先要单位体积作为标准，然后求出几何
体的体积是单位体积的多少倍，这个倍数就 是这个几何体的体积数值.通常我们取棱长等于单
位长度的正方体的体积作为单位体积.对于棱长都是1 0的正方体可将棱长10等分，过分点向
面作平行平面，形成10×10×10个单位正方体，因此它的 体积是1000个单位体积.将长、宽、
高分别为3、4、5的长方体，用同样的方法剖分成许多个单位 正方体，数一数它们的个数，正
好是3×4×5=60个，所以它的体积是60个单位体积.这样，如果 长方体的长、宽、高分别是正
整数a，b，c，那么，其体积等于a×b×c.后来，我们把数的范围扩 大到了有理数、实数范围
后，仍然应用这个公式，它的进一步证明很少有人问津.
如果长方体的长、宽、高不是整数怎么办？比如长、宽、高分别为3.2、4.5、6.7，一个顺
理成 章的办法就是把体积单位变小.例如，把棱长为0.1的正方体的体积0.001看做单位体积，
用上述 的方法进行分割，得到许多个小正方体，数一数它们的个数，正是32×45×67个，所以
它的体积为 0.001×32×45×67=3.2×4.5×6.7.
对于长、宽、高为有理 数的长方体，我们总可以选择适当小的体积单位，将体积分成整数
个小单位体积然后数一数，就可以得到 长方体的体积公式：体积=长×宽×高.
如果长方体的长、宽、高不是有理数，要计 算长方体的体积就不那么好办了.因为无论将
棱长怎么等分，都不可能将其等分成整数个小正方体，由此 可以看出用上述方法证明长方体体
积公式是有很大的局限性的.我们必须重新寻找一种在实数范围内都适 用的长方体体积公式的
证明方法.
要证明长、宽、高为实数的长方体体积， 先得作以下几条规定：第一，长方体的体积与
长、宽、高相关，相同的长方体的体积相等；第二，衡量一 个长方体的体积要有一个单位；第