灵敏度公式错位相减法求和附答案解析

错位相减法求和专项
错位相减法求和适用于{a
n`
b
n
}型数列，其中{a
n
},{b
n
}分别是
等差数列和等比数列， 在应用过程中要注意：
项的对应需正确；
相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；
若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1
1. 已知二次函数
，数列
的图象上．
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）设
的通项公式；
，是数列的前项和，求．
的 图象经过坐标原点，其导函数
的前项和为，点均在函数
[解析]考察专题：，，，；难度：一般
[答案] （Ⅰ）由于二次函数
则设
∴
又点
∴
∴当
．
时，，
，∴
，
，
均在函数的图象上，
的图象经过坐标原点，
，
又
∴
，适合上式，
．．．．．．．．．．．．（7分）
，
，
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴
∴
上面两式相减得：

．
整理得
2.已知数列
且
．
（1）求数列
（2）
[答案]查看解析
的通项公式；
的值.
．．．．．．．．．．．．．．（14分）
的各项均为正数，是数列的前n项和，
[解析] （1）当n = 1时，
又4S
n
= a
n
+ 2a
n
－3 ①
当时 4s
n－1
=
2
解出a
1
= 3,
+ 2a
n-1
－3 ②
, 即 ①－②
，
∴
（
,
），
是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分
．
（2）
又
④－③
=
12分
3.（ 2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设
函数，数列前项和，
③
④

，数列
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）设数列
证明：
，满足.
的通项公式；
的前项和为，数列
.
，得
.
，
得
…，

的前项和为，
[答案] (Ⅰ) 由
是以为公比的等比数列，故
（Ⅱ）由
记…+，
用错位相减法可求得：
. （注：此题用到了不等式：
行放大. ）
4.已知等差数列
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）若
中，

进
；是与的等比中项．
的通项公式：
．求数列的前项和
[解析 ]（Ⅰ）因为数列
项．所以
又因为
所以
当
当
所以
时 ,
时，
或
，
.
，
是等差数列，是与的等比中
，设公差为，则
，解得或，
；
，
. （6分)
，所以，所以
，

， （Ⅱ）因为
所以
所以
两式相减得
所以
5.已知数列
列中
. （13分）
的前项和，
，且公差
、
.
的通项公式；
，
，
，等差数
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）是否存在正整数，使得 若存在，
求出的最小值，若不存在，说明理由.
[解析]（Ⅰ）
，又
数列< br>又
（Ⅱ）
令
，
时，
，
.
相减得：
是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，

. （6分）
………………①
…………………②
①－②得：
，，即，当，

，当。
的最小正整数为4. （12分）
6. 数列满足
，
，等比数列
的通项公式；
的前项和.
是等差数列，又，
满足.
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）设，求数列
[解析] （Ⅰ）由，所以数列
所以，
由
所以
，所以，，所以，即，
. （6分)
，所以
，
，
，
. (12分）
满足，其中为数列的前项和．
， （Ⅱ）因为
则
所以
两式相减的
所以
7. 已知数列
(Ⅰ) 求的通项公式；
满足： (
，①
) ，求的前项和公式. (Ⅱ) 若数列
[解析]Ⅰ) ∵
∴ ②
，又时，，， ②－①得，
. （5分）
(Ⅱ) ∵，
，
，
两式相减得，
. （13分）
8.设d为非零实数, a
n
=[d+2d+…+(n-1)
d+nd](n∈N) .
(Ⅰ) 写出a
1
, a
2
, a
3
并判断{a
n
}是否为等比数列. 若是, 给
出证明;若不是, 说明理由;
(Ⅱ) 设b
n
=nda
n
(n∈N) , 求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
[答案] (Ⅰ) 由已知可得a
1
=d, a
2
=d(1+d) , a
3
=d(1+d) .
当n≥2, k≥1时, =, 因此
2
*
n-1n*
2
a
n
=.
由此可见, 当d≠-1时, {a
n
}是以d为首项, d+1为公比的
等比数列;
当d=-1时, a
1
=-1, a
n
=0(n≥2) , 此时{a
n
}不是等比数列. (7
分)
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知, a
n
=d(d+1) ,
从而b
n
=nd(d+1) ,
S
n
=d[1+2(d+1) +3(d+1) +…+(n-1) (d+1) +n(d+1) ]. ①
当d=-1时, S
n
=d=1.
当d≠-1时, ①式两边同乘d+1得
(d+1) S
n
=d[(d+1) +2(d+1) +…+(n-1) (d+1) +n(d+1) ].
②
①, ②式相减可得
-dS
n
=d[1+(d+1) +(d+1) +…+(d+1) -n(d+1) ]
=d
2
22n-1n
22n-1n
2
22n-2n-1
2n-1
n-1
.
n
化简即得S
n
=(d+1) (nd-1) +1.
综上, S
n
=(d+1) (nd-1) +1. (12分)
9. 已知数列{a
n
}满足a
1
=0, a
2
=2, 且对任意m, n∈N都有
a
2m-1
+a
2n-1
=2a
m+n-1
+2(m-n) .
(Ⅰ) 求a
3
, a
5
;
2
*
n
(Ⅱ) 设b
n
=a
2n+1
-a
2n-1
(n∈N) , 证明:{b
n
}是等差数列;
(Ⅲ) 设c
n
=(a
n+1
-a
n
) q(q≠0, n∈N) , 求数列{c
n
}的前n
项和S
n
.
[答案] (Ⅰ) 由题意, 令m=2, n=1可得a
3
=2a
2
-a
1
+2=6.
n-1*
*
再令m=3, n=1可得a
5
=2a
3
-a
1
+8=20. (2分)
(Ⅱ) 证明:当n∈N
*
时, 由已知(以n+2代替m) 可得
a
2n+3
+a
2n-1
=2a
2n+1
+8.
于是[a
2(n+1) +1
-a
2(n+1) -1
]-(a
2n+1
-a
2n-1
) =8, 即b
n+1
-b
n
=8.
所以, 数列{b
n
}是公差为8的等差数列. (5分)
(Ⅲ) 由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 的解答可知{b
n
}是首项b
1
=a
3
-a
1=6,
差为8的等差数列.
则b
n
=8n-2, 即a
2n+1
-a
2n-1
=8n-2.
另由已知(令m=1) 可得, a
n
=-(n-1)
2
.
那么, a
n+1
-a
n
=-2n+1=-2n+1=2n.
于是, c
n-1
n
=2nq.
当q=1时, S
n
=2+4+6+…+2n=n(n+1) .
公
当q≠1时, S
n
=2·q+4·q+6·q+…+2n·q.
两边同乘q可得
qS
n
=2·q+4·q+6·q+…+2(n-1) ·q+2n·q.
上述两式相减即得
(1-q) S
n
=2(1+q+q+…+q)
-2nq=2·
所以S
n
=2·
n
12n-1
123n- 1n
012n-1
-2nq=2·
.
n
,
综上所述, S
n
=(12分)
10.已知数列{a
n
}是公差不为零的等差数列,a
1
=2,且a
2
,a
4
,a
8
成等比数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
n
·}的前n项和.
[答案] (1)设数列{a
n
}的公差为d(d≠0),
由条件可知:(2+3d)=(2+d)·(2+7d),解得d=2.(4分)
故数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2n(n∈N).(6分) < br>(2)由(1)知a
n
·=2n×3,设数列{a
n
·}的前n项和为 S
n
,
2n
*
2
则S
n
=2×3+4× 3+6×3+…+2n×3,
3S
n
=2×3+4×3+…+(2n-2) ×3+ 2n×3
故-8S
n
=2(3+3+3+…+3)-2n×3
所以数列{a< br>n
·}的前n项和S
n
=
11.已知等差数列
.
(1)求数列
(2)若数列
数列
(3)若
的取值范围.
[答案]( 1)设等差数列

的公差为,则有
,
,
的通项公式;
的前项和分别是
;
对一切正整数恒成立，求实数
,且求
满足
2462n2n+2
246 2n2n+2
2462n
,
,(8分)
.(12分)
又数列中,且
的前项和
解得
，
，，
数列是以为首项,公比为的等比数列.
…………4分
(2)由(1)可得

，
∴

得
…………10分
(3)
∴
当时,
，即

取最小值,
，
,
，
，
当
当
时，
时，由

恒成立；
，解得
,
即实数的取值范围是. …………14分
12.设为数列的前项和，对任意的
为常数，且．
，都有
（1）求证：数列
（2）设数列
是等比数列；
，数列满足的公比
，求数列的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列
[答案] 188.（1）当
当
即
时，
．
，
时，
，
的前项和．
，解得．
又为常数，且
∴．
∴数列是首项为1，公比为的等比数
列．………………4分
（2）由（1）得，，．
∵，∴，，
∴，∴．
∴是首项为，公差为1的等差数列．
∴，
∴（）．…………………9分
（3）由（2）知
∴
，则．
， ①
， ②
②－①得，
∴
分
． ………………14
13.设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
, 且S
4
=4S
2
, a
2n
=2a
n
+1.
(Ⅰ) 求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ) 设数列{b
n
}的前n项和为T
n
, 且T
n
+
*
=λ(λ为常数),
令c
n
=b
2n
(n∈N), 求数列{c
n
}的前n项和R
n
.
[答案] (Ⅰ) 设等差数列{a
n
}的首项为a
1
, 公差为d.
由S
4
=4S
2
, a
2n
=2a
n
+1得

解得a
1
=1, d=2.
因此a
n
=2n-1, n∈N.
(Ⅱ) 由题意知: T
n
=λ-,
*
所以n≥2时, b
n
=T
n
-T
n-1
=-+=.
故c
n
=b
2n
==(n-1) , n∈N.
*
所以R
n
=0×+1×+2×+3×+…+(n-1) ×,
则R
n
=0×+1×+2×+…+(n-2) ×+(n-1) ×,
两式相减得
R
n
=+++…+-(n-1) ×
=-(n-1) ×
=-,
整理得R
n
=.
所以数列{c
n
}的前n项和R
n
=



.