质量的计算公式小学数学《数列的归纳与求和》教案

小学数学《数列的归纳与求和》教案
教学目的：
1． 能够利用“公式法”（等差 ，等比数列的前n项和公式，自然数的方幂和公式），“分解求
和法”，“裂项求和法”等通项化归求和 的常用方法
2． 会求一些特殊数列的和。
教学内容：
1． 理解数列归纳与求和的方法
2． 掌握正确的解题思路
教学重点：
运用化归思想分析问题和解决问题。

课前导入：
今天讲一个故事。
阿基米德的父亲是一位天文学家和数学家，他从小受到良好的教育，特 别喜爱数学。
有一次，国王请他去测定金匠刚刚为其做好的王冠是纯金的还是掺有银子的混合物，并且告
诫他不得毁坏王冠。起初，阿基米德茫然不知所措。直到有一天，当自己泡大一满盆洗澡水
里时 ，溢出水量的体积等于他身体浸入水中的那部分体积。那么，如果把王冠浸入水中 ，
根据水面上升的情 况算出王冠的体积与等重量金子的体积相等，就说明王冠是纯金的；假如
掺有银子的话，王冠的体积就会 大一些。他兴奋地从浴盆中跃出，全身赤条条地奔向皇宫，
大喊着：我找到了！找到了！他为此而发明了 浮力原理。除此之外，他还发现了著名的
杠杆原理。伴随着这一发明，还产生了一句众所周知的名言：只 要给我一个支点，我就能
撬动地球。


例1：
数列1,2,3,4,5，……中，第100个数是几？前100个数的和是几？
【思路分析与讲解】
（1）从所给的项中很容易看出，所给的数列中任意相邻的两个数差为1 ，第几个数就
是几，所以第100个数就是100；
（2）要求前100项的和，我们可采用 反序相加法，即假设有两列这样的数列，另一列
是按倒序排列，如下所示：
1,2,3,4,5，……，100
100,99,97，……，1
所以两列数列的总和为
（1＋100）＋（2＋99）＋（4+98）＋……＋（100＋1）=（1＋100）×100=10100

课堂巩固练习：
计算（3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15）÷13=？


数学家的故事：
祖冲之(429-500)的祖父名叫祖昌，在宋朝做 了一个管理朝廷建筑的长官。祖冲之长在这
样的家庭里，从小就读了不少书，人家都称赞他是个博学的青 年。他特别爱好研究数学，也
喜欢研究天文历法，经常观测太阳和星球运行的情况，并且做了详细记录。
宋孝武帝听到他的名气，派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他对做官并
没有兴 趣，但是在那里，可以更加专心研究数学、天文了。
我国历代都有研究天文的官，并且根据研究天文的 结果来制定历法。到了宋朝的时候，
历法已经有很大进步，但是祖冲之认为还不够精确。他根据他长期观 察的结果，创制出一部
新的历法，叫做“大明历”（“大明”是宋孝武帝的年号）。这种历法测定的每一 回归年（也就
是两年冬至点之间的时间）的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒；测定月亮环行一周
的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见它的精确程度了。
公元462年，祖冲之请求 宋孝武帝颁布新历，孝武帝召集大臣商议。那时候，有一个皇
帝宠幸的大臣戴法兴出来反对，认为祖冲之 擅自改变古历，是离经叛道的行为。祖冲之当场
用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他， 蛮横地说：“历法是古人制定的，
后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说：“你如果 有事实根据，就只管拿
出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”宋孝武帝想帮助戴法兴，找了一些懂得历法的 人跟祖冲
之辩论，也一个个被祖冲之驳倒了。但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。直到祖冲之死了十年之后，他创制的大明历才得到推行。
尽管当时社会十分动乱不安，但是祖冲之还是孜孜不倦地研究 科学。他更大的成就是在
数学方面。他曾经对古代数学著作《九章算术》作了注释，又编写一本《缀术》 。他的最杰
出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在3．141592 6和
3．1415927之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。
祖冲之在科学发明上是个多面手，他造过一种指南车，随便车子怎样转弯，车上的铜人
总是指着南方；他 又造过“千里船”，在新亭江（在今南京市西南）上试航过，一天可以航行
一百多里。他还利用水力转动 石磨，舂米碾谷子，叫做“水碓磨”。
祖冲之晚年的时候，掌握宋朝禁卫军的萧道成灭了宋朝。




例2：
求数列1,4,7,10，……的第45项，并求出前45项的和。
【思路点拨】
（1）令数列中的第一项为a1，第二项为a2，第三项为a3，……第n项为an，所以
a1=1=1＋0×3
A2=4=1+1×3
A3=7=1＋2÷3
A4=10=1＋3×3
……
由以上推到可得：a45=1＋44×3=133
（2）用前面的倒序相加法可得前45项的和为：（1＋133）×45÷2=2015


例3：
求数列：1，，，的前n项和。
（启发学生，根据例1、例2的方法解决）
师：例1、例2我们都是对通项进行分解而得到解决。那么例3是否也可用同样的方法呢？例3
中的通项是什么呢？
生：

=
=
师：在求数列的前n项和时，往往需要先将通项公式进行变形，然后再求和。
例4：已知 数列[a
n
]的前n项和为S
n
=n
2
+2n，求和：

师：由例3可知，此题也应把通项公式求出来，才能解决问题，请同学们考虑，通项公式的求
法。（稍作停止，让学生回忆求通项的方法）
生：当n≥2时, a
n
=S
n
-S
n-1
=n
2
+2n-[(n-1)
2+2(n-1)]
=n
2
+2n-(n
2
-2n+1+2n-2)
=2n+1
a
1
=S
1
=1
2
+2·1=3 满足上式.
∴[a
n
]的通项公式为a
n
= =2n+1
师：很好！那么有了数列的通项公式，这个问题就可以解决了。
生：原式=
=
=
==


课堂巩固练习：
找规律填数
10,14,22,38,70,134，（），……