热值公式2021届新高考版高考数学考点通关提升训练：第五章第四讲 数列求和及数列的综合应用

2021届新高考版高考数学考点通关提升训练
第五章

数

列
第四讲

数列求和及数列的综合应用



考法1 数列求和

命题角度1 用公式法和分组转化法求和

1 [2019山东五地联考]已知等差数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
,且关于x的不等式a
1
x
2
-
S
2
x+2<0的解集为(1,2).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足b
n
=a
2n
+ - 1,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
(1)先设等差数列{a< br>n
}的公差为d,再根据题意求出a
1
与d,进而可求出数列{a
n< br>}的通项
公式;(2)先由(1)的结论及b
n
=a
2n
+< br>分组转化法,即可求出结果.
(1)设等差数列{a
n
}的公差为d,
因为关于x的不等式a
1
x
2
- S
2
x+2<0的解集为(1,2),
所以=1+2=3,又S
2
=2a
1
+d,所以a
1
=d,
........................ (1,2为一元二次方程a
1
x
2
- S
2
x+2=0的两根)

- 1求出b
n
,再利用等差 数列与等比数列的求和公式,以及
易知=2,所以a
1
=1,d=1.
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
=n.
(2)由(1 )可得,a
2n
=2n,
因为b
n
=a
2n
+ - 1,
=2
n
.

所以b
n
=2n - 1+2
n
,
所以数列{b
n
}的前n项和T
n
=(1+3+5+…+2n - 1)+(2+2
2
+2
3
+…+2
n
)
.................... (分成两组求和)

=
=n
2
+2
n+1
- 2.
解后反思


............................................... (用等差(比)数列的求和公式时注意项数)

此题的易错点有两处:一是忽视数列通项的下标 ,导致所求的结果出错,如在求b
n
时易误得
a
2n
=n,即等号左 边的下标已变,右边的代数式没变,导致所得的结果出错;二是用等差数列或等
比数列的前n项和公式时 ,弄错项数,导致求和出错.
1.[2019湖南长沙雅礼中学模拟]春夏季节是流感多发期,某地医 院近30天每天
入院治疗流感的人数依次构成数列{a
n
},已知a
1
=1,a
2
=2,且满足a
n+2
- a
n
=1+( - 1)
n
(n∈N
*
),则该
医院近30天入院治疗流感的总人数 为

.
命题角度2 用错位相减法求和

2 [201 7天津高考]已知{a
n
}为等差数列,前n项和为S
n
(n∈N
*
),{b
n
}是首项为2的等比数
列,且公比大于0,b
2
+b
3
=12,b
3
=a
4
- 2a
1
,S
11
=11b
4
.
(Ⅰ)求{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a
2n
b
2n - 1
}的前n项和(n∈N
*
).
(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的公差为d,等比数列{b
n
}的公比为q(q>0).
因为b
2
+b
3
=12,所以b
1
(q+q
2
)=12.
又b
1
=2,所以q+q
2
- 6=0,
解得q=2(q= - 3舍去),所以b
n
=2
n
.
由b
3
=a
4
- 2a
1
,S
11
=11b
4
,可得
............................... (构造方程组)

解得所以a
n
=3n - 2.

所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
=3n - 2,数列{b
n
}的通项公式为b
n
=2
n
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,a
2n
=6n - 2,b
2n - 1
=2×4
n - 1
.
设数列{a
2n
b
2n - 1
}的前n项和为T
n
,a
2n
b
2n - 1
=(3n - 1)×4
n
,
故T
n
=2×4+5×4
2
+8×4
3
+…+(3n - 1)×4
n

①,
4T
n
=2×4
2
+5×4
3
+…+(3n - 4)×4
n
+(3n - 1)×4
n+1

②,
① - ②得,
- 3T
n
=2×4+3×4
2
+3×4
3+…+3×4
n
- (3n - 1)×4
n+1
....................... (错位相减时,注意最后一项的符号)

.................................................. .................................................. ............. = - 4 - (3n - 1)×4
n+1
(用公式法求和时,注意项
= - (3n - 2)×4
n+1
- 8,
所以T
n
=×4
n+1
+.
故数列{a
2n
b
2n - 1
}的前n项和为×4
n+1
+.
2.[2020四川五校联考]设数列{ a
n
}是等差数列,数列{b
n
}的前n项和S
n
满足2S
n
=3(b
n
- 1)且a
1
=b
1
,a
4
=b
2
.
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)求{a
n
b
n
}的前n项和T
n
.
命题角度3 用裂项相消法求和

3 [2019广东惠州第三次调研]已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足2S
n
=n
2
+ 3n,n∈N
*
.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和T
n
.
(1)利用a
n
=可 求出{a
n
}的通项公式;(2)利用(1)的结论,求出数列

{}的通项,再利用裂项相消法求出其前n项和T
n
.
(1)当n≥2时,2S
n - 1
=(n - 1)
2
+3(n - 1),
又2S
n
=n
2
+3n,两式相减得2a
n< br>=2n+2,所以a
n
=n+1.
当n=1时,2S
1
=2 a
1
=4,解得a
1
=2.
因为a
1
=2满足式子a
n
=n+1,
........ ............................................... (验证首项不能漏)

故{a
n
}的通项公式为a
n
=n+ 1(n∈N
*
).
(2)由(1)知×(),
........................ (裂项,注意系数不要漏)

所以T
n
=[()+()+…+()]
=(1 - )
=. < br>3.[2017全国卷Ⅱ]等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a< br>3
=3,S
4
=10,则
命题角度4 用倒序相加法求和

=

.
4已知函数f (x)=
为

.
,数列{a
n
}的通项公式为a
n
=f (),则数列{a
n
}的前2 019项和
由题意可得f (x)+f (1 - x)=
因为数列{a
n
}的前2019项和
=1.
S
2019
=f ()+f ()+…+f ()+f ()

①,
......................... (这个等式的右边是2019项的和)

所以S
2019
=f ()+f ()+…+f ()+f ()

②,
...................................... (倒过来写)


①+②得,2S
2019
=[f ()+f ()]+[f ()+f ()]+…+[f ()+f ()]=2019×1=2019,
所以S
2019
=
解后反思


,所以数列{a
n
}的前2019项和为.
本题的易错点有两处:一是倒序后,将两式相加得出的式子易出错,如两式相加后易误得
S
2019
=[f ()+f ()]+[f ()+f ()]+…+[f ()+f ()],等号左边漏乘了2,从而导致结果出
错;二是两式相加求和时易出错,相加后的式子 中含有4038项,即有2019对,这点需注意.
4.已知平面向量
a
=(lg x,1),
b
=(1,lg y)满足
a
·
b
=12,且S=lg x
n
+lg(x
n - 1
y)+lg(x
n -
2
y
2
)+…+lg(xy
n - 1
)+lg y
n
,则S=

.
命题角度5 用并项求和法求和

5 [2016天津高考]已知{a
n
}是等比数列, 前n项和为S
n
(n∈N
*
),且,S
6
=63.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N
*
,b
n
是log
2
a
n
和log
2
a< br>n+1
的等差中项,求数列{( - 1)
n
}的前2n项和.
(1 )根据已知等式及S
6
=63求得q,进而求得首项,即可得到{a
n
}的通 项公式;(2)先由(1)
得{b
n
}的通项公式,再用并项求和法求数列{( - 1)
n
}的前2n项和.
(1)设数列{a
n
}的公比为q.由已知,有=,解得q=2或q= - 1.又由S
6
=a
1
·=63,知q≠
- 1,所以a
1
·=63,解得a
1
=1.所以a
n
=2
n - 1
.
(2)由题意,得b
n
=(log
2
a
n< br>+log
2
a
n+1
)=(log
2
2
n - 1
+log
2
2
n
)=n - ,即{b
n
}是首项为,公差为1的等差数
列.
设数列{( - 1)
n
}的前n项和为T
n
,则

T
2n
=( - )+( - )+…+( - )=b
1
+b2
+b
3
+b
4
+…+b
2n - 1
+b
2n
==2n
2
.
5.[2020合肥市调研检测]设a
n
=( - 1)
n - 1
·n
2
,则a
1
+a
2
+a
3
+…+a< br>51
=

.
考法2等差、等比数列的综合问题
< br>6数列{a
n
}的前n项和记为S
n
,a
1
=1,a
n+1
=2S
n
+1 (n≥1).
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)等差数列{b
n
} 的各项为正,其前n项和为T
n
,且T
3
=15,又a
1
+ b
1
,a
2
+b
2
,a
3
+b
3
成等比数列,求T
n
.
(1)根据已知的递推关系求{a
n
}的通项公式;(2)根据等比关系列方程求公差,则前n项
和T
n
易求.
(1)由a
n+1
=2S
n
+1,可得a
n
=2S
n - 1
+1(n≥2),
两式相减得a
n+1
- a
n< br>=2a
n
,则a
n+1
=3a
n
(n≥2). 因为a
1
=S
1
=1,a
2
=2S
1
+1=3,所以a
2
=3a
1
.
故{a
n
}是首 项为1,公比为3的等比数列,所以a
n
=3
n - 1
.
(2)设等差数列{b
n
}的公差为d.
由T
3
=15, 即b
1
+b
2
+b
3
=15,可得b
2
= 5,故b
1
=5 - d,b
3
=5+d.
又a
1
=1,a
2
=3,a
3
=9,且由a
1
+b
1< br>,a
2
+b
2
,a
3
+b
3
成等比 数列可得(1+5 - d)(9+5+d)=(3+5)
2
,
解得d=2或d= - 10.
因为等差数列{b
n
}的各项为正,所以d>0.
所以d=2 ,b
1
=3,所以T
n
=3n+×2=n
2
+2n.
考法3数列与其他知识的综合

命题角度1 数列与函数的交汇

7 [2019吉林长春联考]已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,公差d >0,a
6
和a
8
是函数f

(x)=ln x+x
2
- 8x的极值点,则S
8
=
A. - 38 B.38 C. - 17 D.17
因为f (x)=lnx+x
2
- 8x,
所以f ' (x)=+x - 8=.
令f ' (x)=0,解得x=或x=.
因为数列{a
n
}的公差d>0,所以数列{a
n
}是单调递增数列,
又a
6
和a
8
是函数f (x)的极值点,
所以a
6
=,a
8
=,所以解得
所以S
8
=8×( - 17)+
A
×= - 38.
命题角度2 数列与不等式的交汇

8 [2019福建厦门联考]已知等差数列{ a
n
}的前n项和为S
n
,且a
5
+a
13
=34,S
3
=9.
(1)求数列{a
n
}的通项公式及前n项和S
n
.
(2)求证:+…+<2.
(1)设等差数列{a
n
}的公差为d,由已知得即
解得故a
n
=2n - 1,S
n
=n
2
.
(2)+…+=1++…+

<1++…+…………
(注意放大技巧:把放大为)

=1+(1 - )+()+…+()................................. (裂项)
=2 -
<2.
............................ ............................................. (消项)

6. [2019江西省重点中学第二次联考]已知数列{a
n
} 的通项公式是a
n
=f (),其中
f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),
f (x)的部分图象如图5 - 4 - 1所示,

图5-4-1
S
n
为数列{a
n
}的前n项和,则S
2 019
的值为 (

)
A. - 1 B.0 C. D.1
考法4数列的实际应用

9 [2019重庆八中模拟]实施“二孩”政策 后,专家估计某地区人口总数将发生如下变化:
从2019年开始到2028年,每年人口总数比上一年 增加0.5万人,从2029年开始到2038年,每
年人口总数为上一年的99%.已知该地区201 8年人口总数为45万.
(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数a
n
(单位 :万人)的表达式(注:2019年为第一年);
(2)若“二孩”政策实施后,2019年到203 8年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继续实施,
问到2038年结束后是否需要调整政策? (参考数据:0.99
10
≈0.9)

(1)根据题意可知{a
n
}是分段数列,其中第一段是等差数列,第二段是等比数列,根据等
差、等比数列的通项公式 即可得到a
n
的表达式;(2)设数列{a
n
}的前n项和为S
n< br>,根据等差、等
比数列的前n项和公式求出S
20
,并比较与49的大小,即可 得出结论.
(1)由题意知,当1≤n≤10时,数列{a
n
}是首项为45.5, 公差为0.5的等差数列,可得
a
n
=45.5+0.5×(n - 1)=0.5n+45,则a
10
=50;
当11≤n≤20时,数列{a
n
}是公比为0.99的等比数列,则a
n
=50×0.99
n - 10
.
故实施“二孩”政策后第n年的人口总数a
n
(单位:万人)的表达 式为
a
n
=
(2)设S
n
为数列{a
n
}的前n项和.从2019年到2038年共20年,由等差数列及等比数列的求和公
式得S
2 0
=S
10
+(a
11
+a
12
+…+a
20
)=477.5+4950×(1 - 0.99
10
)≈972.5.
所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为≈48.63,则<49,
故到2038年结束后不需要调整政策.
7.[2017全国卷Ⅰ]几位大学生响应国家的创 业号召,开发了一款应用软件.为激
发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的 活动.这款软件的激活码为
下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8, 1,2,4,8,16,…,其中第一项是2
0
,接下来的两项
是2
0
,2
1
,再接下来的三项是2
0
,2
1
,2
2< br>,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N>100且该数列
的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 (

)


A.440 B.330 C.220 D.110




数学探究

数列的新定义问题

10[2016全国卷Ⅱ]S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,且a
1
=1,S
7
=28.记b
n
=[lg a
n
],其中[x]表示
不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b
1
,b
11
,b
101
;
(2)求数列{b
n
}的前1 000项和.

关键信息

S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,且a
1
=1 ,S
7
=28

b
n
=[lga
n
],[x]的定义

数列{b
n
}的前1000项和

信息转化

可以求得数列{a
n
}的通项公式

可以分别求解b
1,b
2
,b
3
,…,b
1000

分组求和


(1)设{a
n
}的公差为d,
据已知有7+21d=28,解得d=1.
所以{a
n
}的通项公式为a
n
=n.
b
1=[lg1]=0,b
11
=[lg11]=1,b
101
=[lg10 1]=2.
(2)记{b
n
}的前n项和为T
n
,则T
1 000
=b
1
+b
2
+…+b
1000
=[lga
1
]+[lga
2
]+…+[lga
1000
],
当0≤lga
n
<1时,n=1,2,…,9;
当1≤lga
n
<2时,n=10,11,…,99;
当2≤lga
n
<3时,n=100,101,…,999;
当lga
n
=3时,n=1000.
所以b
n
=
所以数列{b
n
}的前1000项和为0×9+1×90+2×900+3×1=1893.

取整函数具有天生的“离散性”,与数列的“离散性”相似,常常作为数列的新定义问题的载
体.本题以取整函数为载体,考查了取整函数的性质,同时考查了逻辑推理素养与运算求解能
力 .
素养探源



核心素养

考查途径

素养水平

二

逻辑推理

{b
n
}的通项公式的规律的发现.

{a
n
}的 通项公式的求解,{b
n
}的前
1000项和的求解.

数学运算

一

8.[2019广东梅州二模]给出定义:x=[x ]+,[x]∈Z,0≤<1,其中[x]表示x的整数
部分,表示x的小数部分. 已知数列{a
n
}满足a
1
=,a
n+1
=[a
n
]+,则a
2 019
- a
2 018
等于 (

)

A.2 019 - B.2 018+ C.6+ D.6 -


数学文化

数列与数学文化

11 [2018北京高考]“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,
依次得 到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
于
A.< br>.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为


f B.f C.f D.f
,第一因为从第 二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
个单音的频率为f ,所以这十三个单音的频率构成一个首项为f ,公比为
{a
n
},则第八个单音的频率为a
8
=f ·(
D
)
8 - 1
=f ,故选D.
的等比数列,记为
“十二平均律”是由中国明代律学家朱载堉发明的,本题以此为背景,不仅弘扬了中国传

统文 化,还考查了等比数列的通项公式及定义,考查了逻辑推理素养与运算求解能力,体现了
等比数列在实际 生活中的应用.
素养探源


核心素养

数学建模

考查途径

从情境中抽象出等比数列模型.

素养水平

二


9.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术 宝库之一,现为世界文化遗产,与莫高窟、
云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处 浮雕共7层,每上层的数量是下
层的2倍,总共有1 016个浮雕,这些浮雕构成一幅优美的图案.若 从最下层往上,浮雕的数量构
成一个数列{a
n
},则log
2
(a
3
a
5
)的值为
A.8 B.10 C.12 D.16
(

)
答案解析

1.255

由于a
n+2
- a
n
=1+( - 1)
n
(n∈N
*
),
所以当n为奇数时,a
n+2=a
n
,当n为偶数时,a
n+2
- a
n
=2,
所以a
1
=a
3
=…=a
29
,a
2,a
4
,…,a
30
构成首项为2,公差为2的等差数列.
又 a
1
=1,所以a
1
+a
2
+a
3
+…+ a
29
+a
30
=15+15×2+2=255.
所以该医院近30天入院治疗流感的总人数为255.
2.(1)由2S
n
=3(b
n
- 1)知,当n=1时,b
1
=3,
当n≥2时,2S
n - 1
=3(b
n - 1
- 1),2b
n
=2S
n
- 2S
n - 1
=3(b
n
- 1) - 3(b
n - 1
- 1),
即b
n
=3b
n - 1
,所以{b
n
}是首项为3,公比为3的等比数列,
所以数列{b
n
}的通项公式为b
n
=3
n
. < br>又数列{a
n
}是等差数列,且a
1
=b
1
=3,a
4
=b
2
=9,

所以公差d==2,
可得数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2n+1.
(2) T
n
=3×3
1
+5×3
2
+7×3
3
+ 9×3
4
+…+(2n+1)×3
n

①,
3T
n
=3×3
2
+5×3
3
+7×3
4
+…+(2n - 1)×3
n
+(2n+1)×3
n+1

②,
① - ②得, - 2T
n
=3×3
1
+2(3
2
+3
3
+3
4
+…+3
n
) - (2n+1)×3
n+1
,
- (2n+1)×3
n+1
,
- 2T
n
=3×3
1
+2
整理得T
n
=n×3
n+1
.
3.

设等差数列{a
n
}的 首项为a
1
,公差为d,依题意,知即解得
所以S
n
=,因此=2( 1 - +…+)=.
4.6n(n+1)

因为平面向量
a
=(lg x,1),
b
=(1,lg y)满足
a
·
b
=12,
所以lg x+lg y=12,所以lg(xy)=12.
因为S=lg x
n
+lg(x
n - 1
y)+lg(x
n - 2
y
2
)+…+lg(xy
n - 1
)+lg y
n
,
所以S=lg y
n
+lg(xy
n - 1
)+…+lg(x
n - 2
y
2
)+lg(x
n - 1
y)+lg x
n
,
以上两式相加得,
2S=(lg x
n
+lg y
n
)+[lg(x
n - 1
y)+lg(xy
n - 1
)]+…+(lg y
n
+lg x
n
)
=lg(x
n
·y
n
)+lg(x
n - 1
y·xy
n - 1
)+…+lg(y
n
·x
n
)
=n[lg(xy)+lg(xy)+…+lg(xy)]
=n(n+1)lg(xy)
=12n(n+1),
所以S=6n(n+1).

5.1 326

a
1
+a
2
+a
3
+…+a51
=1
2
- 2
2
+3
2
- 4
2
+…+49
2
- 50
2
+51
2
=1+(3 - 2)(3+2)+(5 - 4)(5+4)+…+(51 -
50)(51+50)=1+2+3+4+5+
…+50+51==1 326.
6.B

由题图可得(T为f (x)的最小正周期),
则T=π,ω==2.
将(, - 1)代入f (x)=sin(2x+φ)中,
可得+φ=2kπ+,k∈Z,则有φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=,所以f (x)=sin(2x+),
所以a
n
=f ()=sin,{a
n
}为最小正周期为6的数列,
由a
1
=,a
2
=0,a
3
= - ,a
4
= - ,a
5
=0,a
6
=,
可得S
2 019
=336S
6
+(a
1
+a2
+a
3
)=0+0=0.故选B.
7.A

对数列进行分组,如图D 5 - 4 - 1,

图D 5 - 4 - 1 < br>则该数列前k组的项数和为1+2+3+…+k=,由题意可知N>100,即>100,结合k∈N*
,解
得k≥14,即N出现在第13组之后.

又第k组所有项的和为=2
k
- 1,所以前k组所有项的和为1+(1+2)+…+(1+2+…+2
k - 1
)=(2
1
-
1)+(2
2
- 1)+…+(2
k
- 1)=(2
1
+2
2
+…+2
k
) - k=2
k+1
- k - 2.
设满足条件的N在第(t+1)(t∈N
*
,t≥13)组,且第N项为第(t+1)组的第m(m∈N
*
)个数,第(t+1 )组
的前m项和为1+2+2
2
+…+2
m - 1
=2
m
- 1.
要使该数列的前N项和为2的整数幂,需使2
m
- 1与 - t - 2互为相反数,即2
m
- 1=2+t,所以
2
m
=t+3,所以 m=log
2
(t+3),所以m=4,t=13时,N=+4=95<100,不满足题意, 当m=5,t=29
时,N=+5=440,当m>5时,N>440,故选A.
8.D

因为a
1
=,a
n+1
=[a
n
]+,所以
a
2
=2+=6+2,a
3
=10+=12+, a
4
=14+=18+2,a
5
=22+=24+,…,
所以a
2 018
=6×2 017+2,a
2 019
=6×2 018+.则a
2 019
- a
2 018
=6 - .故选D.
9.C

依题意得,数列{a
n
}是以2为公比的等比数列, 因为最下层的浮雕的数量为a
1
,所以S
7
=
所以a
n
=8×2
n - 1
=2
n+2
(1≤n≤7,n∈N
*
),
=1 016,解得a
1
=8,
所以a
3
=2
5
,a< br>5
=2
7
,从而a
3
a
5
=2
5< br>×2
7
=2
12
,所以log
2
(a
3a
5
)=log
2
2
12
=12.