excel 排序公式2020版【5年高考3年模拟】高考新课标版理数6.4 数列求和、数列的综合应用

曲一线 让每一位学生分享高品质教育
6.4 数列求和、数列的综合应用

挖命题

【考情探究】

5年考情

考点

内容解读

考题示例

考向

关联考点

预测热度

①掌握非等差、等比数列求
1.数列求
和
和的几种常见方法.
②能在具体的问题情境中
识别数列的等差关系或等
2017课标Ⅰ,12,5分 数列求和
等比数列的前n项
和公式的应用
等差数列基本量的
计算
递推关系式及等差
数列的通项公式
★★★
2017 课标Ⅱ,15,5分 裂项相消法求和
比关系,抽象出数列的模2015 课标Ⅰ,17,12分 裂项相消法求和
2.数列的
综合应用
型,并能用有关知识解决相
应的问题 2016课标Ⅱ,17,12分 数列的综合应用 取整函数
分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同 类型数列的和.2.
能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等 差、等比数列的求和是高
考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.
破考点

【考点集训】

考点一 数列求和
1.(201 7湖南郴州第一次教学质量监测,6)在等差数列{a
n
}中,a
4
=5,a
7
=11.设b
n
=(-1)·a
n
,则
数列{b
n
}的前100项之和S
100
=( )
A.-200 B.-100 C.200 D.100
答案 D < br>2.(2018湖北东南省级示范高中联考,15)已知S
n
为{a
n
}的前n项和,若a
n
(4+cos
nπ)=n(2-cos nπ),则S
88
等于 .
答案 2 332
3.(2018 江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a
n
},{b
n
}满足
1 15

n
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2
a
n< br>b
n
=1,a
n
=n+3n+2,则{b
n
}的前2 018项和为 .
答案



考点二 数列的综合应用

1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a
n
}和等比数列{b
n
}的首项均为1,公差与公比
均为3,则


+


+


=( )
A.64 B.32 C.38 D.33
答案 D
2.(2017陕西西安铁一中第 五次模拟,9)已知数列{a
n
}满足a
n
=log
(n+1)(n+2)(n∈N),我们把使
*
乘积a
1
·a
2
· a
3
·…·a
n
为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2 004)内的所有“优数”的和为( )
A.1 024 B.2 003 C.2 026 D.2 048
答案 C
3.已知a
n
=3(n∈N),记数列{a
n
}的前n项和为T
n
,若对任意的n ∈N,




k≥3n-6恒成立,

则实数k的取值范围是 .
答案 k≥



n**

炼技法

【方法集训】

方法1 错位相减法求和
1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{na
n
} 的前n项和为S
n
,且a
n
=2,则使得
S
n
-n a
n+1
+50<0的最小正整数n的值为 .
答案 5
2.( 2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点(n,S
n
)在函数
f(x)=x+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a
1
=C.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)记b
n
=a
n
(

-
+1),求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
解析 (1)设数列{a
n
}的公差为d,
则S
n
=na
1
+
-

2
n
d=

n+


-


n,

2

2 15

曲一线 让每一位学生分享高品质教育


2
又S
n
=n+Bn+C-1,两式对照得

解得

-
所以a
1
=1,
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2n-1(n∈N).
(2)由(1)知b
n
=(2n-1)(2·2-1+1)=(2n-1)2,
则T
n
=1×2+3×2+…+(2n-1)·2,
2T
n
=1×2+3×2+…+(2n-3)·2+(2n-1)·2,
两式相减得T
n
=(2n-1)·2-2(2+…+2)-2
=(2n-1)·2-2×
=(2n-3)·2+6.
n+1
n+1
n+12n
23nn+1
2n
n-1n
*



-
-

-
-2
方法2 裂项相消法求和
1.(2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考,3)数列

A.

+1 B.

-1 C.

+1 D.

-1
答案 B

2.(2018湖南邵阳期末,15)设数列{(n+n)a
n
}是等比数 列,且a
1
=,a
2
=,则数列{3a
n
}的前15

2





的前2 017项的和为( )

n
项和为 .
答案



n-1*
3.(2017广东潮州二模,16)已知S
n为数列{a
n
}的前n项和,a
n
=2·3(n∈N),若b
n
=

b
1
+b
2
+…+b
n
= .
答案
-



-





,则

过专题

【五年高考】

A组 统一命题·课标卷题组

考点一 数列求和
1.(2017课标Ⅱ,15,5分)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n< br>,a
3
=3,S
4
=10,则
答案







= .


3 15
曲一线 让每一位学生分享高品质教育

2.(2015 课标Ⅰ,17,12分)S
n
为数列{a
n
}的前n项和.已知a
n
>0,

+2a
n
=4S
n
+3.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=





,求数列{b
n
}的前n项和.


解析 (1)由

+2a
n
=4S
n
+3,可知

+2a
n+1
=4S
n+1
+3.


可得

-

+2(a
n+1
-a
n
)=4a
n+1
,即2(a
n+1
+a
n
)=

-

=(a
n+1
+a
n
)(a
n+1
-a
n
).由于a
n
>0,所以

a
n+1
-a
n
=2.又由

+2a
1
=4a
1
+3,解得a
1
=-1(舍去)或a
1
= 3.所以{a
n
}是首项为3,公差为2的等差
数列,通项公式为a
n
=2n+1.(6分)
(2)由a
n
=2n+1可知b
n
=

T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=







=

=



-


.设数列{b
n
}的前n项和为T
n
,则




-


+


-


+…+


-


=

.(12分)



思路分析 (1)由

+2a
n
=4S
n
+3,得

+2a
n+1
=4S
n+1
+3,两式相减得出递推关系,再求出a
1
, 利
用等差数列的通项公式可得通项.(2)利用裂项相消法求T
n






-


.

考点二 数列的综合应用
1.(2017课标Ⅰ,12,5分)几位大学生响 应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大
家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件 激活码”的活动.这款软件的激活码为下
面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2 ,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2,接下
来的两项是2,2,再接下来的三项是2 ,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数
N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那 么该款软件的激活码是( )
A.440 B.330 C.220 D.110
答案 A
2.(2016课标Ⅱ,17,12分)Sn
为等差数列{a
n
}的前n项和,且a
1
=1,S
7
=28.记b
n
=[lg a
n
],其中[x]
表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b
1
,b
11
,b
101
;
(2)求数列{b
n
}的前1 000项和.
解析 (1)设{a
n
}的公差为d,据已知有7+21d=28,
解得d=1.所以{a
n
}的通项公式为a
n
=n.
b
1
=[lg 1]=0,b
11
=[lg 11]=1,b
101
=[lg 101]=2.(6分)


(2)因为b
n
= (9分)


4 15

01012
0
曲一线 让每一位学生分享高品质教育
所以数列{b
n
}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.(12分)
思路分析 (1)先求公差,从而得通项a
n
,再根据已知条件 求b
1
,b
11
,b
101
.(2)分析出{b
n
}中项的
规律,进而求出数列{b
n
}的前1 000项和.

B组 自主命题·省(区、市)卷题组

考点一 数列求和
1.(2018 天津,18,13分)设{a
n
}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S
n
(n∈N),{b
n
}是等差
数列.已知a
1
=1,a
3
=a
2
+2,a
4
=b
3
+b
5
,a
5
=b
4
+2b
6
.
(1)求{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)设数列{S
n
}的前n项和为T
n
(n∈N).
(i)求T
n
;
(ii)证明









*
*
=

-2(n∈N).
2
*
解析 (1)设等比数列{a
n
}的公比为q.由a
1
=1,a
3
=a
2
+2,可得q
-q-2=0.因为q>0 ,可得q=2,故
a
n
=2.设等差数列{b
n
}的公差为d.由a
4
=b
3
+b
5
,可得b
1
+3d=4. 由a
5
=b
4
+2b
6
,可得3b
1
+1 3d=16,
从而b
1
=1,d=1,故b
n
=n.所以,数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2,数列{b
n
}的通项公式为b
n
=n.
(2)(i)由(1),有S
n
=
-
=2-1,
故T
n
=
-

- =


(ii)证明:因为

=
n-1
n-1
-

n



-


-
-n=2-n-2.















n+1


- -

=

=

-

,所以,












=


-


+


-


+…+


-


=

-2.

2
2.(2016山东,18,12分)已知数列{a
n
}的前n项和Sn
=3n+8n,{b
n
}是等差数列,且a
n
=b
n
+b
n+1
.
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)令c
n
=








,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
解析 (1)由题意 知,当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=6n+5.







当 n=1时,a
1
=S
1
=11,所以a
n
=6n+5.设数 列{b
n
}的公差为d.由

即









可解得b
1
=4,d=3.所以b
n
=3n+1.
(2) 由
2
(1)
3
知c
n
=
n+1




=3(n+1)·2.
34
n+1< br>又T
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
,
n+2
得
T
n
=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2],2 T
n
=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2],两式作差,得
5 15

曲一线 让每一位学生分享高品质教育
-T
n
=3×[2×2+2+2+…+2-(n+1)×2]=3×
T
n
=3n·2.
n+2
234n+1n+2
-


-
-

=-3n·2
.所以
n+2
考点二 数列的综合应用
1.(2015福建, 8,5分)若a,b是函数f(x)=x-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 D
2.(2018 浙江,20,15分)已知等比数列{a
n
}的公比q>1,且a
3
+a4
+a
5
=28,a
4
+2是a
3
,a
5
的等差中
项.数列{b
n
}满足b
1
=1,数列{(b
n+1
-b
n
)a
n
}的前n项和为2n+n.
(1)求q的值;
(2)求数列{b
n
}的通项公式.
解析 ( 1)由a
4
+2是a
3
,a
5
的等差中项得a
3< br>+a
5
=2a
4
+4,
所以a
3
+a4
+a
5
=3a
4
+4=28,解得a
4
=8 .由a
3
+a
5
=20得8



=20,解得q=2或q=
,因为q>1,所

以q=2.
(2 )设c
n
=(b
n+1
-b
n
)a
n
,数 列{c
n
}的前n项和为S
n
.



解得c
n
=4n-1. 由c
n
=


-
-

由(1)可知a
n
=2,所以bn+1
-b
n
=(4n-1)·



故b
n
-b
n-1
=(4n-5)·




-

-
n-1
2
2


-
,
,n≥2,
b
n
-b
1< br>=(b
n
-b
n-1
)+(b
n-1
-b
n -2
)+…+(b
3
-b
2
)+(b
2
-b
1
)
=(4n-5)·




+(4n-9)·






-
+…+7·+3.


-

设T
n
=3+7·+11·



+…+(4n-5)·







,n≥2,




-
T
n
=3·





+7·




-


+…+(4n-9)·

-
+(4n-5)·

-




-
,所以
T
n
=3+4·+4·



+…+4·




-(4n-5)·




-
,因此T
n
=14-(4n+3)·



,n≥2,
又b
1
=1,所以b
n
=15-(4n+3)·



.
C组 教师专用题组

考点一 数列求和
6 15

曲一线 让每一位学生分享高品质教育
1.(2017天津,18 ,13分)已知{a
n
}为等差数列,前n项和为S
n
(n∈N),{bn
}是首项为2的等比
数列,且公比大于0,b
2
+b
3
=12,b
3
=a
4
-2a
1
,S
11
=11b
4
.
(1)求{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
2n
b
2n-1
}的前n项和(n∈N).
解析 (1)设等差数列{a
n
}的公差为d,等比数列{b
n
}的 公比为q.由已知b
2
+b
3
=12,得
b
1
(q +q)=12,而b
1
=2,所以q+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所 以q=2.所以,b
n
=2.由
b
3
=a
4
-2a
1
,可得3d-a
1
=8①.由S
11
=11b
4
,可得a
1
+5d=16②,联立①②,解得a
1
=1,d=3,由 此可得
a
n
=3n-2.
所以,数列{a
n
}的通项公式 为a
n
=3n-2,数列{b
n
}的通项公式为b
n
=2.
(2)设数列{a
2n
b
2n-1
}的前n项和为T
n,由a
2n
=6n-2,b
2n-1
=2×4,有a
2n
b
2n-1
=(3n-1)×4,
故T
n
=2×4+5×4+8×4+…+(3n-1)×4,
4T
n
=2×4+5×4+8×4+…+(3n-4)×4+(3n-1)×4,
上述两式相减,得
-3T
n
=2×4+3×4+3×4+…+3×4-(3n-1)×4
=
-


-
23nn+1
234 nn+1
23n
n-1n
n
22n
*
*
-4-(3 n-1)×4=-(3n-2)×4-8.
×4+

.
-

n+1
n+1n+1
得T
n
=
-


所以,数列{a
2n
b
2n-1
}的前n项和为×4+.

n+1

方法总结 (1)等差数列与等比数列中有五个量a
1
,n ,d(或q),a
n
,S
n
,一般可以“知三求二”,通
过列方程( 组)求关键量a
1
和d(或q),问题可迎刃而解.
(2)数列{a
n}是公差为d的等差数列,{b
n
}是公比q≠1的等比数列,求数列{a
nb
n
}的前n项和适
用错位相减法.
2.(2015湖北,18,12 分)设等差数列{a
n
}的公差为d,前n项和为S
n
,等比数列{b
n
}的公比为q.
已知b
1
=a
1
,b
2
=2,q=d,S
10
=100.
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)当d>1时,记c
n
=

,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.








解析 (1)由题意有,
即


















-

故 解得 或 或
-
-
















7 15

曲一线 让每一位学生分享高品质教育
(2)由d>1,知an
=2n-1,b
n
=2,故c
n
=
于是T
n
=1+

+


+


+


+…+
-
-

-
n-1
-

-
,
,①
T
n
=

+


+


+


+


+…+


.②

①-②可得

T
n
=2+

+


+…+


-
-
-


=3-



,故T
n
=6-


-
.
*
3.(2015天津,18,13分)已知数列{a
n
}满足 a
n+2
=qa
n
(q为实数,且q≠1),n∈N,a
1
=1,a
2
=2,且
a
2
+a
3
,a
3< br>+a
4
,a
4
+a
5
成等差数列.
(1)求q的值和{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=





-
,n∈N,求数列{b
n
}的前n项和.
*
解析 (1)由已知,有(a
3
+a
4
)-(a
2
+a
3
)=(a
4
+a
5
)-(a
3
+a
4),即a
4
-a
2
=a
5
-a
3
,所 以a
2
(q-1)=a
3
(q-1).
又因为q≠1,故a
3
=a
2
=2,由a
3
=a
1
·q,得q=2.当 n=2k-1(k∈N)时,a
n
=a
2k-1
=2=

;当n=2k(k∈N)
时,a
n
=a
2k
=2=

.


为奇数
所以,{a
n
}的通项公式为a
n
=




为偶数
(2)由(1)得

-
k
*k-1
-
*

b
n
=





-
=



-
.设{b
n
}的前

n项和为S
n
,则
S
n
=1×

+2×

+3×

+…+(n-1)×



+n×
-



-

,
S
n
=1×


+2×


+3×


+…+(n-1)×

上述两式相减,得

S
n
=1+

+


+…+


+n×


,
-

-



-


-=
-


-


=2-


-


,整理得,S
n
=4-


-
.
所以,数列{b
n
}的前n项和为4-


,n∈N.
-
*
*
4.(2014江西,17,12分)已知首项都是1的两个数列 {a
n
},{b
n
}(b
n
≠0,n∈N)满足
a
n
b
n+1
-a
n+1
b
n
+2b
n+1
b
n
=0.
(1)令c
n
=

,求数列{c
n
}的通项公式;



(2)若 b
n
=3,求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
解析 (1)因为a
n
b
n+1
-a
n+1
bn
+2b
n+1
b
n
=0,b
n
≠0(n∈N
),
*
n-1
所以


-


=2,即c
n+1
-c
n
=2.所以数列{c
n
}是以1为首项,2为公差的等差数列,故c
n
=2n-1.


(2)由(1)及

b
n
=3
n-1
知a
n
=c
n
b
n
=(2n-1)3,于是数列{a
n
}的前
8 15
n-1
n项和
曲一线 让每一位学生分享高品质教育
012n-112n-1n
S
n
=1·3+3·3+5·3+…+(2n-1)·3,3S
n
= 1·3+3·3+…+(2n-3)·3+(2n-1)·3,
-2S
n
=1+2·( 3+3+…+3)-(2n-1)·3=-2-(2n-2)3,所以S
n
=(n-1)3+1 .
12n-1nnn
相减得
5.(2014山东,19,12分)已知等差数列{a
n
}的公差为2,前n项和为S
n
,且S
1
,S
2
,S
4
成等比数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)令b
n
=(-1)
n-1





,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.


解析 (1)因为S
1
=a
1
,S
2
= 2a
1
+
S
4
=4a
1
+


×2=2a
1
+2,
×2=4a
1
+12,
2
所以由题意得(2a
1
+2)=a
1
(4a
1
+1 2),
解得a
1
=1,所以a
n
=2n-1.
(2)b
n
=(-1)
n-1
n-1






=(-1)
n-1

-

=(-1)



.
-
当n为偶数时,
T
n
=



-



+…+



-

-




- -
=1-




=

.
当n为奇数时,
T
n
=



-



+…-



- -
+

+

-
+

=1+


=

.
所以T
n
=



为奇数
-
或


-


为偶数
考点二 数列的综合应用
1.(2018江苏,14 ,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N},B={x|x=2,n∈N}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a
n
}.记S
n
为数列{a
n
}的前n项和,则使得S
n
>12a
n+1
成立的n
的最小 值为 .
答案 27
2.(2018江苏,20,16分)设{a
n}是首项为a
1
,公差为d的等差数列,{b
n
}是首项为b
1
,公比为q
的等比数列.
(1)设a
1
=0,b
1
=1,q=2,若|a
n
-b
n
|≤b
1
对n=1,2, 3,4均成立,求d的取值范围;
(2)若a
1
=b
1
>0,m∈N,q∈(1,

],证明:存在d∈R,使得|a
n
-b
n
|≤b
1
对n= 2,3,…,m+1均成立,
并求d的取值范围(用b
1
,m,q表示).
9 15

*
*n*

曲一线 让每一位学生分享高品质教育
解析 (1)由条件知a
n
=(n-1)d,b
n
=2
.
n-1
因为|a
n
-b
n
|≤b
1
对n=1,2,3,4 均成立,
即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得≤d≤.


因此,d的取值范围为



.
(2)由条件知:a
n
=b
1
+(n-1)d,b
n
=b
1
q .
若存在d∈R,使得|a
n
-b
n
|≤b
1
( n=2,3,…,m+1)均成立,
即|b
1
+(n-1)d-b
1
q|≤b
1
(n=2,3,…,m+1).
即当n=2,3,…,m+1时,d满足

n-1
n-1
n-1


-
-
-
m
b
1
≤d≤
-
b
1
.

-
因为q∈(1,

],所以1从而

-
-
-
b
1
≤0,
-
b
1
>0,对n=2,3,…,m+1均成立.

-
因此,取d=0时,|a
n
-b
n
|≤b
1
对n=2,3, …,m+1均成立.
下面讨论数列

-
-
-
的最大值和数列
==

-
-
的最小值(n=2,3,…,m+1).
, ①当2≤n≤m时,




-
-
-

-

-
-


-
-
-



-
-
m
-
n
-
n
当10.
因此,当2≤n≤m+1时, 数列
故数列

-
-
-

-
-
-
nn-1
单调递增,
的最大值为
x


-

.
x
②设f(x)=2(1-x),当x>0时, f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2<0.
所以f(x)单调递减,从而f(x)当2≤n≤m时,





-
-
=
-

≤


-


=f



<1.

-


因此,当2≤n≤m+1时,数列
-
单调递减,
故数列

-
-
的最小值为
.





-






因此,d的取值范围为


*
.
2n+2
3.(2015安徽,18,12分)设n∈N,x
n
是曲线y=x
(1)求数列{x
n
}的通项公式;


(2)记T
n
=



…

,证明:T
n
≥

.
-

+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.
10 15

曲一线 让每一位学生分享高品质教育
解析 (1)y'=(x< br>2n+2
+1)'=(2n+2)x
2n+1
,曲线y=x
2n+2< br>+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.
从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).
令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标 x
n
=1-
(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知





-


T
n
=



…
-
=





…



.


=

.
当n=1时,T
1
=

.

当n≥2时,因为

=

-
-

*


=

-

-

- - -


>



=

=.所以T
n
>


×××…×=.



-
综上可得对任意的n∈N,均有T
n
≥.

4.(2015陕西 ,21,12分)设f
n
(x)是等比数列1,x,x,…,x的各项和,其中x>0,n∈N ,n≥2.

(1)证明:函数F
n
(x)=f
n
(x)-2在

内有且仅有一个零点(记为x
n
),且x
n
=
+


;


2n
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项 、项数分别相同的等差数列,其各项和为g
n
(x),
比较f
n
(x )和g
n
(x)的大小,并加以证明.
解析 (1)证明: F
n
(x)=f
n
(x)-2=1+x+x
+…+x-2,
2n
则F
n
(1)=n-1>0,
F
n



=1+

+



+…+



-2=





-





-

-2
=-


<0,所以F
n
(x)在


内至少存在一个零点.
又F'
n
(x)=1+2x+…+nx>0,故F
n
(x)在


内单调递增,所以F
n
(x)在


内有且仅有一个零
点x
n
.因为x
n
是F
n
(x) 的零点,所以F
n
(x
n
)=0,即
(2)由题设知,g
n
(x)=




2
n-1

-


-


-2=0,故x
n
=+


.


.
n
设h(x)=f
n
(x)-g
n
(x)=1+x+x+…+x-
当x=1时, f
n
(x)=g
n
(x).
当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nx-
n-1n-1
n-1




,x>0.

-

n-1
.
x
n-1
若0x+2x+…+nx-
=




x-
n-1


x=0.
11 15
n-1

曲一线 让每一位学生分享高品质教育
若x>1,则h'(x)=


n-1n-1n-1


x
n-1
x-
n-1


x=0.
n- 1
所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)n
(x)n
(x).综上所述,当
x=1时, f
n
(x)=g
n
(x);当x≠1时, f
n
(x)n
(x).

5.(2015重庆,22 ,12分)在数列{a
n
}中,a
1
=3,a
n+1
an
+λa
n+1
+μ

=0(n∈N
+
).
(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若λ=( k
0
∈N
+
,k
0
≥2),μ=-1,证明:2+






<



<2+




.

解析 (1)由λ=0,μ=-2,得a
n+1
a
n
=2

(n∈N
+
).若存在某个n
0
∈N
+
,使得


=0,则由上述递推
公式易得


- =0.重复上述过程可得a
1
=0,此与a
1
=3矛盾,所以对任意n∈ N
+
,a
n
≠0.
从而a
n+1
=2a
n
(n∈N
+
),即{a
n
}是一个公比q=2的等比数列.
故a
n
=a
1
q=3·2.
(2)证明:若λ=,μ=-1,则数列{a
n
}的递推关系式变为



n-1n-1

a
n+1
a
n
+a
n+1
-

=0,变形为a
n+1




=

(n∈N
+
).



由上式及a
1
=3>0,归纳可得
3=a
1
>a
2
>…>a
n
>a
n+1
>…>0.
因为a
n+1
=









=



-














=a
n
-

+

·







,
所以对n=1,2,…,k
0
求和得



=a
1
+(a
2
-a
1
)+…+(



-


)
=a
1
-k
0
·+·













…








>2+·



… =2+
.












个

另一方面,由上已证的不等式知a
1
>a
2
>…>


>



>2,得




=a
1
-k
0
·+·

















…








<2+

·



…

=2+

.






个


综上,2+


<



<2+



.
【三年模拟】

12 15

曲一线 让每一位学生分享高品质教育
一、选择题
(每小题5分,共30分)
1.(2019届江西抚州七校高三10月联 考,11)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足
a
1
=a
2
=1,S
n
=a
n+2
-1,则下列命题 错误的是( )
A.a
n+2
=a
n+1
+a
n

B.a
1
+a
3
+a
5
+…+a
99
=a
100

C.a
2
+a
4
+a
6
+…+ a
98
=a
99

D.S
1
+S
2
+S
3
+…+S
98
=S
100
-100
答案 C
2.(2019届山西太原高三阶段性考试,10)已知集合P={x|x=2,n∈N},Q= {x|x=2n-1,n∈N},
将P∪Q中的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a
n
},记S
n
为数列{a
n
}的前n项和,则
使得S
n
<1 000成立的n的最大值为( )

A.9 B.32 C.35 D.61
答案 C
3.(2 018福建厦门第一学期期末质检,7)已知数列{a
n
}满足a
n+1
+( -1)a
n
=2,则其前100项和
为( )

A.250 B.200 C.150 D.100
答案 D
4.(2018河北衡水中学八模,8)已知函数f(x)=a+b(a>0,且a≠1)的图象经过点
P(1,3),Q(2,5).当n∈N时,a
n
=

,记数列{a
n
}的前n项和为S
n
,当S
n
=

时,n的值为
( )

A.7 B.6 C.5 D.4
答案 D






则5.(2018四川南充模拟,11)设数列{ a
n
}的前n项和为S
n
,已知a
1
=

,a
n+1
=



-






*
x
n+1
n**
-
S
2

018
等于( )
A.


B.


C.


D.



13 15

曲一线 让每一位学生分享高品质教育
答案 B





为奇数
6.(2018百校联盟TOP20 三月联考,12)已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=


则数







为偶数
列{3a
n
+n-7}的前2n项和的最小值为( )
A.- B.-



-
C.- D.-




答案 D
二、填空题
(每小题5分,共15分)
7.(2019届山西太原高三上学期阶段性 考试,15)在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n
=


-
a
n-1
(n≥2),记S
n
为
数列

的前n项和,若S
n
=
,则n= .





答案 49


8.(2018安徽皖南八校第三 次联考,16)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
=2,b
n=log
2
(

· ),
n+1
数列{b
n
}的前n项和为T
n
,则满足T
n
>1 024的n的最小值为 .
答案 9
9.(2017河北“五个一名校联盟”二模,16)已知数列{a
n
}的前n项和为
S
n
,S
n
=n+2n,b
n< br>=a
n
a
n+1
cos[(n+1)π],数列{b
n
}的前n项和为T
n
,若T
n
≥tn对n∈N恒成立,则实
数t的 取值范围是 .
答案 (-∞,-5]
三、解答题
(共25分)
22*
10.(2019届全国I卷五省优创名校联考,17)设数列{a
n
}的前 n项和为S
n
,a
1
=3,且
S
n
=na
n+1
-n-n.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足b
n
=





-

2
2
,求{b
n
}的前n项和T
n
.
解析 (1)由条件知S
n
=na
n+1
-n
-n,①
当n=1时,a
2
-a
1
=2;
当n≥2时,S
n-1
=(n-1)a
n
-(n-1)-(n-1),②
①-②得a
n
=na
n+1
-(n-1)a
n
-2n,
14 15

2
曲一线 让每一位学生分享高品质教育
整理得a
n+1
-a
n
=2.
综上可知,数列{a
n
}是首项为3、公差为2的等差数列,
故a
n
=2n+1.
(2)由(1)得b
n
=






=




-




,



所以T
n
=
-





-


…

-


= -




=
-




. 11.(2018安徽淮南一模,17)已知数列{a
n
}为等差数列,且a
3< br>=5,a
5
=9,数列{b
n
}的前n项和为
S
n< br>=

b
n
+

.
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)设 c
n
=a
n
|b
n
|,求数列{c
n
}的 前n项和T
n
.
解析 (1)∵数列{a
n
}为等差数列,且a< br>3
=5,a
5
=9,
∴d=


-

-
-

==2,∴a
1
=a
3
-2d=5-4=1,
∴a
n
=1+(n-1)×2=2n-1.
∵数列{b
n
}的前n项和为S
n
=

b
n
+

,
∴n=1时,S
1
=b1
+,由S
1
=b
1
,解得b
1
=1,



当n≥2时,b
n
=S
n
-S
n-1
=

b
n
-

b
n-1
,
∴b
n< br>=-2b
n-1
,∴{b
n
}是首项为1,公比为-2的等比数列,
∴b
n
=(-2).
(2)c
n
=a
n
|b
n
|=(2n-1)·2,
∴数列{c
n
}的前n项和T
n
=1×1+3×2+5×2+…+( 2n-1)×2,
∴2T
n
=1×2+3×2+5×2+…+(2n-1)×2,
两式相减,得:
-T
n
=1+2(2+2+…+2)-(2n-1)·2
=1+2×
n+1
2n-1n
23n
2n-1
n-1
n-1

-

-
-(2n-1)·2
n
n
=1+2-4-(2n-1)·2
=-3+(3-2n)·2,
∴T
n
=(2n-3)·2+3.
易错警示 在利用错位相减法求和时,注 意相减后的项求和.如本题
-T
n
=1+2(2+2+…+2)-(2n-1)·2< br>中,对于2+2
+…+2
的求解,利用S
n
=
2n-1n2n -1
n
n


-


-
(q≠1)更好一些.

15 15