bs公式2019届高三数学二轮复习1_4_2数列求和及综合应用课时巩固过关练理新人教版

课时巩固过关练 十一 数列求和及综合应用
(35分钟 55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2016·成都一模)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
5
=5,S
5
=15 ,则数列
2016项和为 ( )
A. B. C. D. 的前
【解析】选A.设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为 d.
因为a
5
=5,S
5
=15,
所以
所以所以a
n
=a
1
+(n-1)d=n.
所以==-, 所以数列的前2016项和为1-+-+…
+
=1-
-
=

.
a
2
+a
3
+…+a
n
=2n+5, 则数列{a
n
}的通项2.(2016·南阳二模)已知数列{a
n
}满足条 件a
1
+
公式为 ( )
=2
=2
n
n+1












=
=2
n+2
< br>【解析】选B.由题意可知,数列{a
n
}满足条件a
1
+a
2
+
则n>1时,有a
1
+a
2
+a
3
+ …+
两式相减可得:
a
n-1
=2(n-1)+5,n>1,
a
3
+…+a
n
=2n+5,
=2n+5-2(n-1)-5=2,
所以a
n
=2,n>1,n∈N.
当n=1时,=7,所以a
1
=14,
综上可知,数列{a
n
}的通项公式为:
n+1*
a
n
=
*
3.(2016·安庆一模)各项均不 为零的等差数列{a
n
}中,若
等于 ( )
B.2
-a
n-1
-a
n+1
=0(n∈N,n≥2),则S
20 16
【解题导引】将-a
n-1
-a
n+1
=0变形为=a
n-1
+a
n+1
,求其通项公式即可.
【解析】选D.由题意得
所以a
n
=2.所以S
n
=2n,
=a
n-1
+a
n+1
=2a
n
,a
n
≠0,
=2×2016=4032.
*
4.(2016·秦皇岛一模)满足a
1< br>=1,log
2
a
n+1
=log
2
a
n< br>+1(n∈N),它的前n项和为S
n
,则满足S
n
>1025
的最小n值是 ( )
B.10
*

n- 1n
【解析】选C.因为a
1
=1,log
2
a
n+1=log
2
a
n
+1(n∈N),所以a
n+1
=2a
n
,a
n
=2,S
n
=2-1,则满足S
n
>1025
的最小n值是11.
【加固训练】已知数列{a
n
}的前n项 和S
n
=n-9n,第k项满足5k
<8,则k等于
( )

B.8
2
2

【解析】选B.因为S
n
=n-9n,
所以n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=2n-10,a
1
=S
1< br>=-8适合上式,
所以a
n
=2n-10(n∈N),
所以5<2k-10<8,得二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2016·桂林一模)已知数列{a
n
}中,a
n+1
=2a
n
,a
3
=8,则数列{log
2
a
n
} 的前n项和等于________.
*
【解析】因为
n
=2,a
3
=8,所以a
2
=4,a
1
=2,所以数列{a
n
}是以2为首项,2为公比的等比数列,
. 所以a
n
=2,所以log
2< br>a
n
=n,所以数列{log
2
a
n
}的前n项和等 于
答案:
n-1
6.(2016·太原一模)已知数列{a
n
}的 通项公式为a
n
=2,{b
n
}的通项公式为b
n
=2n- 1,设c
n
=a
n
b
n
,
则数列{c
n< br>}的前n项和为________.
【解析】因为c
n
=(2n-1)·2. 设{c
n
}的前n项和为S
n
,则S
n
=1×2+3×2+ 5×2+…+(2n-3)
×2+(2n-1)×2,
2S
n
=1×2+3×2+5×2+…+(2n-3)×2+(2n-1)×2, < br>两式相减得-S
n
=1+2+2+…+2-(2n-1)×2=2-3-(2n-1)× 2=-(2n-3)×2-3,
所以S
n
=(2n-3)·2+3.
答案:(2n-3)·2+3
三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)
7.(2016·开封一模)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,公差 d≠0,且S
3
+S
5
=50,a
1
,a
4
,a
13
成等
比数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式.
n
n
23nnn+1 nn
123n-1n
n-2n-1
n-1012
(2)设是首项为1,公比为 3的等比数列,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
【解析】(1)依题意得,
解得
所以a
n
=a
1
+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,
即a
n
=2n+1(n∈N).
(2)=3,b
n
=a
n
·3=(2n+1)·3,
T
n
=3+5×3+7×3+…+(2n+1)·3, ①
3T
n
=3×3+5×3+7×3+…+(2n-1)·3+(2n+1)·3,②
①-②得
-2T
n
=3+2×3+2×3+…+2·3-(2n+1)3
2n-1n
23n-1n
2n-1
n-1n-1n-1
*
= 3+2·
n
-(2n+1)3=-2n·3,
*
nn
所以T
n
=n·3(n∈N).
【加固训练】(2 016·石家庄一模)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1=1,a
n+1
=λS
n
+1(n∈N,λ≠
-1),且a1
,2a
2
,a
3
+3为等差数列{b
n
}的 前三项.
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式.
(2)求数列{a
n
b
n
}的前n项和.
【解析】(1)方法一:因为a
n+1
=λS
n
+1(n∈N),
所以a
n
=λS
n-1
+1(n≥2),
所以a
n+1
-a
n
=λa
n
,即a
n+1
=(λ+1) a
n
(n≥2),λ+1≠0,
又a
1
=1,a
2
=λS
1
+1=λ+1,
所以数列{a
n
}是以1为首项,以λ+1为公比的等比数列,
所以a
3
=(λ+1),
所以4(λ+1)=1+(λ+1)+3,整理得λ-2λ+1=0,解得λ=1,
所以a
n
=2,b
n
=1+3(n-1)=3n-2.
方 法二:因为a
1
=1,a
n+1
=λS
n
+1(n∈N),
所以a
2
=λS
1
+1=λ+1,a
3
=λS2
+1=λ(1+λ+1)+1=λ+2λ+1,
所以4(λ+1)=1+λ+2λ+1+3,整理得λ-2λ+1=0,解得λ=1,
所以a
n+1
=S
n
+1(n∈N),
所以a
n
=S
n-1
+1(n≥2),
所以a
n +1
-a
n
=a
n
(n≥2),即a
n+1
=2a
n
(n≥2),
又a
1
=1,a
2
=2,
所以数列{a
n
}是以1为首项,以2为公比的等比数列,
所以a
n
=2,
b
n
=1+3(n-1)=3n-2.
(2)由(1)知,a
n
b
n
=(3n-2)2,设T
n< br>为数列{a
n
b
n
}的前n项和,
所以T
n
=1×1+4×2+7×2+…+(3n-2)·2, ①
所以2T
n
=1×2+4×2+7×2+…+(3n-5)·2+(3n-2)·2. ②
①-②得,-T
n
=1×1+3×2+3×2+…+3·2-(3n-2)·2
=1+3×-(3n-2)·2,
n
12n-1n
123n-1n
12n-1
n-1
n-1
*
22
2
*
n-1
22
2
*
*
整理得:T
n
=(3n-5)·2+5. < br>*
n
8.(2016·成都一模)已知数列{a
n
}的前n项和Sn
=-a
n
-+2(n∈N)，数列{b
n
}满足
b< br>n
n
=2a
n
.
(1)求证：数列{b
n
}是等差数列.
(2)设c
*
n
=log
2
，数列的前n项和为T
n
，求满足T
n
<(n∈N)的n的最大值.
【解析】(1)因为S
n
=-a
n
- +2，令n=1，可得S
1
=-a
1
-1+2=a
1
，
所以a
1
=，
当n≥2时，S
n-1
=-a
n-1
-+2，
所以an
=S
n
-S
n-1
=-a
n
+a
n -1
+，
所以2a
n
n
=a
n-1
+，即2a< br>n-1
n
=2a
n-1
+1.
因为b
n
n
=2a
n
，即当n≥2时，b
n
-b
n-1
=1， 又因为b
1
=2a
1
=1，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
(2)由(1)可得b
n
n
=1+(n-1)×1=n=2a
n
，
所以a
n
=. < br>所以c
n
n
=log
2
=log
2
2=n，
所以==-，
所以T
n
=+++
++=1+--，
因为T
2
n
<，所以整理得：13n-45n-100<0，
…
(13n+20)(n-5)<0，
所以-*
所以n
max
=4.
(30分钟 55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n-6n,则{|a
n
|}的前n项和T
n
= ( )
+18
2
C.
2
D.
【 解析】选C.由S
n
=n-6n得{a
n
}是等差数列,且首项为-5,公差 为2.
所以a
n
=-5+(n-1)×2=2n-7,
所以n≤3时,a
n
<0;n>3时,a
n
>0,
所以T
n
=
2

)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1
,2.抛物线x=y在第一象限内的图象上一点(a
i
,2
其中i ∈N,若a
2
=32,则a
4
+a
6
+a
8
等于 ( )
B.42
2
*
D.
【解题导引】令y=f(x)=2x,对其求导写出切线方程,即可求解.
【解析】选D.令 y=f(x)=2x,所以y′=f′(x)=4x,则切线斜率k=f′(a
i
)=4ai
,
切线方程为y-2=4a
i
(x-a
i
).
2
令y=0,得x=a
i+1
=a
i
.
由a2
=32,得a
4
=8,a
6
=2,a
8
=, 所以a
4
+a
6
+a
8
=
是等比数列{a
n
}的前n项和,a
1
=
( )
B.4
=,解得q=2,故
.
,9S
3
=S
6
,设T< br>n
=a
1
a
2
a
3
…a
n
,则使T
n
取最小值的n值为
【解析】选C.设等比数列的公比为q,故由9S3
=S
6
,得9×
=a
n
=×2,易得当n≤5时,< br>n-1
<1,即T
n
n-1
;
当n≥6时,T
n
>T
n-1
,据此数列单调性可得T
5
为最小值. 4.已知等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
+a
3
=4,a
2
+a
4
=2,则log
2
=
( )
B.2017
=,

【解析】选B.设公比为q,则q=
所以===2
2017
-1,
所以log
2
=2017.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知向量a=(2,-n),b=(S
n
,n+1),n∈N,其中S
n
是数列{a
n
}的前n项和,若a⊥b,则数列
*
的最大项的值为____ ____.
【解析】因为a⊥b,所以a·b=2S
n
-n(n+1)=0,
所以S
n
=,所以a
n
=n,
所以
大值.
答案:
==,当n=2时,n+取最小值4,此时取到最
是点集A到点集B的一个映 射，且对任意(x，y)∈A，有f(x，y)=(y-x，y+x).现对集合A
中的点P
n
(a
n
，b
n
)(n∈N)，均有P
n+1
(a< br>n+1
，b
n+1
)=f(a
n
，b
n
)， 点P
1
为(0，2)，则|P
2017
P
2018
|=__ ______.
【解析】由题意知P
1
(0，2)，P
2
(2，2 )，P
3
(0，4)，P
4
(4，4)，P
5
(0，8)， 根据两点间的距
离公式可得，
*
|P
1
P
2
|= 2，|P
2
P
3
|=2
|P
4
P
5
|=4，
，|P
3
P
4
|=4，
从而|P
n
P
n+1
|=2×(
所以|P
2017
P
2018
|=2×(
答案：2
1009
)，
)
2016
n-1
=2
1009
.

三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)
7.已知数列{a
n
} 的前n项和是S
n
,且S
n
+a
n
=1(n∈N).
(1)求数列{a
n
}的通项公式.
(2)设b
n
=lo g
3
(1-S
n+1
)(n∈N),求适合方程
*
*
++…+=的正整数n的值.
【解析】(1)当n=1时,a
1
=S
1< br>,由S
1
+a
1
=1,得a
1
=,
当n≥ 2时,因为S
n
=1-a
n
,S
n-1
=1-a
n -1
,
所以S
n
-S
n-1
=(a
n-1
-a
n
),即a
n
=(a
n-1
-a
n
),
所以a
n
=a
n-1
(n≥2),
所以{a
n
}是以为首项,为公比的等比数列.
故a
n
=·=2·(n∈N).
*
(2)1-S
n
=a
n
=,b
n
=log
3
(1-S
n+1)
=log
3
=-n-1,
=
++…+
=-,
=++…+=-,
解方程-=,得n=100.
8.已知函数f(x)=x-ax +a(x∈R)同时满足:①函数f(x)有且只有一个零点;②在定义域内存
在012
,使得不等式f(x
1
)>f(x
2
)成立.设 数列{a
n
}的前n项和S
n
=f(n)(n∈N).
(1)求函数f(x)的表达式.
(2)求数列{a
n
}的通项公式. < br>(3)在各项均不为零的数列{c
n
}中,所有满足c
i
·
数 .令c
n
=1-,求数列{c
n
}的变号数.
【解题导引】(1) 看到函数f(x)=x-ax+a(x∈R)有且只有一个零点,想到Δ=0,从而确定解析
式. 2
*
2
<0的整数的个数称为数列{c
n
}的变号
(2 )看到S
n
求a
n
,想到a
n
=
(3)看到求数 列{c
n
}的变号数以及变号数的定义,想到从函数角度考虑数列的性质.
【解析】(1)因为f(x)有且只有一个零点,
所以Δ=a-4a=0,解得a=0或a=4,
当a=4时,函数f(x)=x-4x+4在(0,2)上递减,
故存在01< br>2
,使得不等式f(x
1
)>f(x
2
)成立,
当a=0时,函数f(x)=x在(0,+∞)上递增,
故不存在01
2
,使得不等式f(x
1
)>f(x
2
)成立,
综上,得a=4,所以f(x)=x-4x+4.
(2)由(1)可知S
n
=n-4n+4,
当n=1时,a
1
=S
1
=1,
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=2n-5,
2
2
2
2
2
所以a
n
=
(3)由题设得c
n
=
因为当n≥3时,c
n+1
-c
n
=->0,
所以当n≥3时,数列{c
n
}递增.
因为c
4
=-<0,由1->0?n≥5.
可知c
4
·c
5
<0,即当n≥3时,有且只有1个变号数; 又因为c
1
=-3,c
2
=5,c
3
=-3,即c1
·c
2
<0,c
2
·c
3
<0,
所以此处变号数有2个;
综上知,数列{c
n
}的变号数为3.