excel个税公式2020高考精品系列之数学(文)专题08 数列(解析版)

专题08数列


考纲解读
1.数列的概念和简单表示法
三年高考分析
等差数列、等比数列和数列求和是考查 的重
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列点，解题时常用到数列基本量的计算，数列求和< br>表、图像、通项公式)
.

（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数
.

2.等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念
.

（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前
n
项和公式
.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差
关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的
问题
.

（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数
函数的关系
.


的常用公式和方法，考查学生的逻辑推理能力、
数学运算能力，题型以选择填空题和解答题为主 ，
中等难度.
1、以考查等差数列的通项、前
n
项和及性质为主，
等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高
考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可
以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比
数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
2 、以考查等比数列的通项、前
n
项和及性质为主，
等比数列的证明也是考查的热点．本 节内容在高
考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，
也可以以解答题的形式进行考查．解 答题往往与
等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
3、以考查分组法、错位相减法、 倒序相加法、
裂项相消法求数列前
n
项和为主，识别出等差
(比)数列，直接 用公式法也是考查的热点．题型
以解答题的形式为主，难度中等或稍难．一般第
一问考查求通项 ，第二问考查求和，并与不等式、


函数、最值等问题综合.



1．【2019年新课标3文科06】已知各项均为正数的等比数列{
a
n
}的前4项和为15，且
a
5
＝3
a
3
+4
a
1
，
则
a
3
＝（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【解答】解：设等比数列{
a
n
}的公比为
q（
q
＞0），
则由前4项和为15，且
a
5
＝3a
3
+4
a
1
，有
，∴，
∴
故选：
C
．

，
2．【2018年北京文科 04】设
a
，
b
，
c
，
d
是非零实数，则 “
ad
＝
bc
”是“
a
，
b
，
c
，
d
成等比数列”
的（ ）
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若
a
，
b
，
c
，
d
成等比数 列，则
ad
＝
bc
，
反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1＝﹣1×1，
但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，
即“
ad
＝
bc
”是“
a
，
b
，
c
，
d
成等比数列”的 必要不充分条件．
故选：
B
．

3．【2019年新课标3文科 14】记
S
n
为等差数列{
a
n
}的前
n
项和．若
a
3
＝5，
a
7
＝13，则
S
1 0
＝ ．


【解答】解：在等差数列{
a
n
}中，由
a
3
＝5，
a
7
＝13，得
d
，
∴
a
1
＝
a
3
﹣2
d
＝5﹣4＝ 1．
则
故答案为：100．

．
4．【2019年新课标1文 科14】记
S
n
为等比数列{
a
n
}的前
n
项和．若
a
1
＝1，
S
3
，则
S
4＝ ．
【解答】解：∵等比数列{
a
n
}的前
n
项 和，
a
1
＝1，
S
3
，
∴
q
≠1，，
整理可得，，
解可得，
q
，
则
S
4
．
故答案为：

5．【2019年天津 文科18】设{
a
n
}是等差数列，{
b
n
}是等比数列， 公比大于0．已知
a
1
＝
b
1
＝3，
b
2
＝
a
3
，
b
3
＝4
a
2
+3．
（Ⅰ）求{
a
n
}和{
b
n
}的通项公式； （Ⅱ）设数列{c
n
}满足c
n
求
a
1
c1
+
a
2
c
2
+…+
a
2
n
c
2
n
（
n
∈N）．
*
【解答】解：（ Ⅰ）{
a
n
}是等差数列，{
b
n
}是等比数列，公比大于 0．


设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，等比数列{
b
n
}的公比为
q
，
q
＞0． < br>由题意可得：3
q
＝3+2
d
①；3
q
＝15+4< br>d
②
解得：
d
＝3，
q
＝3，
故
a
n
＝3+3（
n
﹣1）＝3
n
，
b
＝ 3×3
n
﹣1
2
＝3
n
（Ⅱ）数列{c
n
}满足c
n
，
a
1
c
1
+
a
2
c
2
+…+
a
2
n
c
2
n
（
n
∈N）
＝（
a
1
+
a
3
+
a
5
+…+
a2
n
﹣1
）+（
a
2
b
1
+
a
4
b
2
+
a
6
b
3
+…+a
2
n
b
n
）
*
＝[3
n
2
6]+（6×3+12×3+18×3+…+6
n
×3）
2
23
n
＝3
n
+6（1×3+2×3+…+
n
×3）
令
T
n
＝（1×3+2×3+…+
n
×3）①，
则 3
T
n
＝1×3+2×3+…+
n
3②，
②﹣①得：2
T
n
＝﹣3﹣3﹣3…﹣3+
n
3
23
23
2
n
n
n
+1
nn
+1
＝﹣3
n
3
n
+1
；
故
a
1
c
1
+
a
2
c
2
+…+
a
2n
c
2
n
＝3
n
+6
T
n

2
（
n
∈N）
*
6．【2019年新课标2文科18】已 知{
a
n
}是各项均为正数的等比数列，
a
1
＝2，
a
3
＝2
a
2
+16．
（1）求{
a
n
}的通项公式；
（2）设
b
n< br>＝log
2
a
n
，求数列{
b
n
}的前n
项和．
【解答】解：（1）设等比数列的公比为
q
，
由< br>a
1
＝2，
a
3
＝2
a
2
+16， 得2
q
＝4
q
+16，

2

即
q
﹣2
q
﹣8＝0，解得
q
＝﹣2（舍）或
q
＝ 4．
∴
（2）
b
n
＝log
2
a
n
；
，
2
∵
b
1
＝1，
b
n
+1< br>﹣
b
n
＝2（
n
+1）﹣1﹣2
n
+1＝2 ，
∴数列{
b
n
}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则数列{
b
n
}的前
n
项和

．
7．【2019年新课标1文科18】记
S
n
为等差数列{
a
n< br>}的前
n
项和．已知
S
9
＝﹣
a
5
．
（1）若
a
3
＝4，求{
a
n
}的通项公式；
（2）若
a
1
＞0，求使得
S
n
≥
an
的
n
的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，等差数列{
a
n
}中，设其公差为
d
，
若
S
9
＝ ﹣
a
5
，则
S
9
9
a
5
＝﹣a
5
，变形可得
a
5
＝0，即
a
1
+ 4
d
＝0，
若
a
3
＝4，则
d
2， < br>则
a
n
＝
a
3
+（
n
﹣3）
d
＝﹣2
n
+10，
（2）若
S
n
≥
a
n
，则
na
1
当
n
＝1时，不等式成立，
d
≥
a
1
+（
n
﹣1）
d
， < br>当
n
≥2时，有
d
﹣
a
1
，变形可得（n
﹣2）
d
≥﹣
a
1
，
又由
S9
＝﹣
a
5
，即
S
9
9
a
5
＝﹣
a
5
，则有
a
5
＝0，即
a
1
+4
d
＝0，则有（
n
﹣2）
a
1
，
又由
a
1
＞0，则有
n
≤10，
则有2≤
n
≤10，
综合可得：
n
的取值范围是{
n
|1≤
n
≤10，
n
∈N}．



8．【2019年北京文科16】设{
a
n
}是等差数列，
a
1
＝﹣10，且
a
2
+10，
a
3
+8，
a
4
+6成等比数列．
（Ⅰ）求{
a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）记{
a
n
}的前
n
项和为
S
n，求
S
n
的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵{
a
n< br>}是等差数列，
a
1
＝﹣10，且
a
2
+10，a
3
+8，
a
4
+6成等比数列．
∴（
a< br>3
+8）＝（
a
2
+10）（
a
4
+6），
∴（﹣2+2
d
）＝
d
（﹣4+3
d
），
解得
d
＝2，
∴
a
n
＝
a
1< br>+（
n
﹣1）
d
＝﹣10+2
n
﹣2＝2
n
﹣12．
（Ⅱ）由
a
1
＝﹣10，
d
＝2，得：
2
2
S
n
＝﹣10
nn
﹣11
n
＝（
n
2
）
2
，
∴
n
＝5或
n
＝6时，
S
n
取最小值﹣30．

9．【2018年新课 标2文科17】记
S
n
为等差数列{
a
n
}的前
n
项和，已知
a
1
＝﹣7，
S
3
＝﹣15．
（1）求{
a
n
}的通项公式；
（2）求
S
n
，并求
S
n
的最小值．
【 解答】解：（1）∵等差数列{
a
n
}中，
a
1
＝﹣7，< br>S
3
＝﹣15，
∴
a
1
＝﹣7，3
a1
+3
d
＝﹣15，解得
a
1
＝﹣7，
d＝2，
∴
a
n
＝﹣7+2（
n
﹣1）＝2
n
﹣9；
（2）∵
a
1
＝﹣7，
d
＝2，
a
n
＝2
n
﹣9，
22
∴
S
n
n
﹣8
n
＝（
n
﹣4）﹣16，
∴当
n
＝4时，前
n
项的和
S
n
取得最小值为﹣16．



10．【2018年新课标1文科17】已知数列{
a
n
}满足
a
1
＝1，
na
n
+1
＝2（
n
+1）
a
n
，设
b
n
．
（1）求
b
1
，
b
2
，
b
3
；
（2）判断数列{
b
n
}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{
a
n
}的通项公式．
【解答】解：（1）数列{
a
n
}满足
a
1
＝1，
na
n
+1＝2（
n
+1）
a
n
，
则：（常数），
由于，
故：，
数列{
b
n
}是以
b
1
为首项，2为公比的等比数列．
整理得：，
所以：
b
1
＝1，
b
2
＝2，
b
3
＝4．
（2）数列{
b
n
}是为等比数列，
由于（常数）；
（3）由（1）得：，
根据，
所以：

．
11．【2 018年新课标3文科17】等比数列{
a
n
}中，
a
1
＝ 1，
a
5
＝4
a
3
．
（1）求{
a
n
}的通项公式；
（2）记
S
n< br>为{
a
n
}的前
n
项和．若
S
m
＝ 63，求
m
．


【解答】解：（1）∵等比数列{
a< br>n
}中，
a
1
＝1，
a
5
＝4
a< br>3
．
∴1×
q
＝4×（1×
q
），
解得
q
＝±2，
当
q
＝2时，
a
n＝2
n
﹣1
42
，
n
﹣1
当
q
＝﹣2时，
a
n
＝（﹣2），
，或
a
n
＝（﹣2）
n
﹣1
∴{
a
n
}的通项公式为，
a
n
＝2
n
﹣1
．
（2）记
S
n
为{
a
n
}的前
n
项和．
当
a
1
＝1，
q
＝﹣2时，
S
n
，
由
S
m
＝63，得
S
m
63，
m∈N，无解；
当
a
1
＝1，
q
＝2时，
S< br>n
m
2﹣1，
n
由
S
m
＝63，得
S
m
＝2﹣1＝63，
m
∈N，
解得
m
＝6．

12．【2018年北京文科15】设{
a
n
}是等差数列，且< br>a
1
＝
ln
2，
a
2
+
a
3
＝5
ln
2．
（Ⅰ）求{
a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求．
【解答】解：（Ⅰ）{
a
n
}是等差数列，且
a
1
＝
ln
2，
a
2
+
a
3＝5
ln
2．
可得：2
a
1
+3
d
＝5
ln
2，可得
d
＝
ln
2，
{
a< br>n
}的通项公式；
a
n
＝
a
1
+（
n
﹣1）
d
＝
nln
2，
（Ⅱ）2，
n
∴

2+2+2+…+2
123
n
2﹣2．
n
+1


13．【2018年天津文科18】设{
an
}是等差数列，其前
n
项和为
S
n
（
n∈N*）；{
b
n
}是等比数列，公比大
于0，其前
n
项和为
T
n
（
n
∈N*）．已知
b
1
＝1 ，
b
3
＝
b
2
+2，
b
4
＝a
3
+
a
5
，
b
5
＝
a4
+2
a
6
．
（Ⅰ）求
S
n
和
T
n
；
（Ⅱ）若
S
n
+（
T
1
+
T
2
+……+
T
n
）＝
a
n
+4
b
n
，求正整数
n
的值．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{
b
n
}的公比为q
，由
b
1
＝1，
b
3
＝
b
2
+2，可得
q
﹣
q
﹣2＝0．
∵
q
＞0，可得
q
＝2．
2
故，；
设 等差数列{
a
n
}的公差为
d
，由
b
4
＝
a
3
+
a
5
，得
a
1
+3
d
＝4，
由
b
5
＝
a
4
+2
a
6
，得3
a
1
+13
d
＝16，
∴
a
1
＝
d
＝1．
故
a
n
＝
n
，；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得
T
1
+
T
2
+……+
T
n
由
S< br>n
+（
T
1
+
T
2
+……+
Tn
）＝
a
n
+4
b
n
，
2﹣
n
﹣2．
n
+1
可得
2
，
整理得：
n
﹣3
n
﹣4＝0，解得
n
＝﹣1（舍）或n
＝4．
∴
n
的值为4．

14．【2017年新 课标2文科17】已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S< br>n
，等比数列{
b
n
}的前
n
项和为
Tn
，
a
1
＝﹣1，
b
1
＝1，
a2
+
b
2
＝2．
（1）若
a
3
+< br>b
3
＝5，求{
b
n
}的通项公式；
（2）若
T
3
＝21，求
S
3
．
【解答 】解：（1）设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，等比数列{
b
n
}的公比为
q
，


a
1
＝﹣1，
b
1
＝1，
a
2
+
b
2
＝2，
a
3
+
b
3
＝5，
可得﹣1+
d
+
q
＝2，﹣1+2
d
+
q
＝5，
解得
d
＝1，
q
＝2或
d
＝3，
q
＝0（舍去 ），
则{
b
n
}的通项公式为
b
n
＝2
（2）
b
1
＝1，
T
3
＝21，
可得1+
q
+
q
＝21，
解得
q
＝4或﹣5，
当
q
＝4时，
b
2
＝4，
a
2
＝2﹣4＝﹣2，
2
2
n
﹣1
，
n
∈N*；
d
＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，
S
3
＝﹣1﹣2﹣3＝﹣6；
当
q
＝﹣5时，
b
2
＝﹣5，
a
2
＝2 ﹣（﹣5）＝7，
d
＝7﹣（﹣1）＝8，
S
3
＝﹣1+7+15＝21．

15．【2017年新课标1文科17】记
S
n
为等比数列{
an
}的前
n
项和．已知
S
2
＝2，
S
3
＝﹣6．
（1）求{
a
n
}的通项公式；
（2）求< br>S
n
，并判断
S
n
+1
，
S
n，
S
n
+2
是否成等差数列．
【解答】解：（1）设等比数列 {
a
n
}首项为
a
1
，公比为
q
， 则
a
3
＝
S
3
﹣
S
2
＝﹣6 ﹣2＝﹣8，则
a
1
，
a
2
，
由
a1
+
a
2
＝2，2，整理得：
q
+4
q
+4＝0，解得：
q
＝﹣2，
n
﹣1
n
2
则< br>a
1
＝﹣2，
a
n
＝（﹣2）（﹣2）
n
＝ （﹣2），
∴{
a
n
}的通项公式
a
n
＝（﹣2）；
（2）由（1）可知：
S
n
[2+（﹣2）]，
n
+1< br>则
S
n
+1
[2+（﹣2）]，
S
n
+2< br>n
+2
[2+（﹣2）]，

n
+3

由
S
n
+1
+
S
n
+2
[2+（﹣2）]< br>n
+2
[2+（﹣2）]，
n
+3
[4+（﹣2）×（﹣2）+（﹣2）×（﹣2）]，
n
+ 12
n
+1
[4+2（﹣2）]＝2×[
n
+1
（2+（﹣ 2））]，
n
+1
＝2
S
n
，
即
S< br>n
+1
+
S
n
+2
＝2
S
n
，
∴
S
n
+1
，
S
n
，
S< br>n
+2
成等差数列．

16．【2017年新课标3文科17】设数 列{
a
n
}满足
a
1
+3
a
2
+ …+（2
n
﹣1）
a
n
＝2
n
．
（1）求{
a
n
}的通项公式；
（2）求数列{}的前
n
项和．
【解答】解：（1）数列{
an
}满足
a
1
+3
a
2
+…+（2
n
﹣1）
a
n
＝2
n
．
n
≥2时，
a
1
+3
a
2
+…+（2
n
﹣3）
a< br>n
﹣1
＝2（
n
﹣1）．
∴（2
n
﹣1）
a
n
＝2．∴
a
n
．
当
n
＝1时，
a
1
＝2，上式也成立．
∴
a
n
．
（2）．
∴数列{

}的前
n
项和1．
17．【2017年北京文科15】已知等差数列{a
n
}和等比数列{
b
n
}满足
a
1
＝
b
1
＝1，
a
2
+
a
4
＝10 ，
b
2
b
4
＝
a
5
．
（Ⅰ）求{
a
n
}的通项公式；


（Ⅱ）求和 ：
b
1
+
b
3
+
b
5
+…+b
2
n
﹣1
．
【解答】解：（Ⅰ）等差数列{
an
}，
a
1
＝1，
a
2
+
a
4
＝10，可得：1+
d
+1+3
d
＝10，解得
d
＝2，
所以{
a
n
}的通项公式：
a
n
＝1+ （
n
﹣1）×2＝2
n
﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
a5
＝
a
1
+4
d
＝9，
等比数列{
b
n
}满足
b
1
＝1，
b
2
b
4
＝9．可得
b
3
＝3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．
∴
q
＝3，
{
b
2
n
﹣1
}是等比数列，公比为3，首项为1． 2
b
1
+
b
3
+
b
5
+…+
b
2
n
﹣1

．
18．【2017年天津文科1 8】已知{
a
n
}为等差数列，前
n
项和为
S
n< br>（
n
∈N），{
b
n
}是首项为2的等比数
列，且公 比大于0，
b
2
+
b
3
＝12，
b
3＝
a
4
﹣2
a
1
，
S
11
＝ 11
b
4
．
（Ⅰ）求{
a
n
}和{
b
n
}的通项公式； （Ⅱ）求数列{
a
2
n
b
n
}的前
n
项和（
n
∈N）．
【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，等比数列{
b
n
}的公比为
q
．由 已知
b
2
+
b
3
＝12，得
，而
b
1
＝2，所以
q
+
q
﹣6＝0．又因为
q
＞0， 解得
q
＝2．所以，
由
b
3
＝
a
4
﹣2
a
1
，可得3
d
﹣
a
1
＝8． < br>由
S
11
＝11
b
4
，可得
a
1< br>+5
d
＝16，联立①②，解得
a
1
＝1，
d
＝3，
由此可得
a
n
＝3
n
﹣2．
所以，{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝3
n
﹣2，{
b
n
}的通项公式为
（Ⅱ）解：设数列{
a
2
n< br>b
n
}的前
n
项和为
T
n
，由
a< br>2
n
＝6
n
﹣2，有
，
，
上述两式相减，得

2
*
*
．
．

．
得．
n
+2
所以，数列{
a
2
n< br>b
n
}的前
n
项和为（3
n
﹣4）2+16．



1．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】已知等差数列
?
a
n
?
的公差不为零，
S
n
为其前n
项
和，
S
3
?9
，且
a
2
?1
，
a
3
?1
，
a
5
?1
构成等比数列，则
S
5
?
（ ）
A．15
【答案】D
【解析】
解：设等差数列
?
a
n
?
的公差为d
?
d?0
?
，
B．-15 C．30 D．25
?
?
a
1
?1
?
3a
1
?3d?9
由题意，
?
，解得
?
．
2
d?2
a?2d?1 ?a?d?1a?4d?1
??????
?
?
11
?
1∴
S
5
?5?1?
故选：D．
2．【安徽省江淮十校201 9届高三年级5月考前最后一卷】已知等比数列
{a
n
}
的公比
q? ?
列前9项的乘积为1，则
a
1
?
（ ）
A．8
【答案】B
【解析】
2
9
由已知
a
1
a
2
La
9
?1
，又
a
1
a
9
?a
2
a
8
?a
3
a
7
?a4
a
6
?a
5
，所以
a
5
?1
，即
a
5
?1
，所以
5?4?2
?25
．
2
1
，该数
2
B．16 C．32 D．64


?
1
?
a
1
?
?
?
?1
，
a
1
?16
，故选B.
?
2
?
3． 【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺】已知数列
?
a
n
?
满足
4
2a
1
?2
2
a
2
?. ..?2
n
a
n
?n(n?N
*
)
，数列
?
??
1
?
的前
n
项和为
S
n
， 则
?
log
2
a
n
log
2
a
n ?1
?
S
1
?S
2
?S
3
?...?S< br>10
?
( )
A．
1

10
B．
1

11
C．
2

11
D．
1

5
【答案】B
【解析】
2n
因为
2a
1
?2a
2
?...?2a
n
?n
，
2n?1
所以
2a
1
?2a
2
?...?2a
n?1
?n?1(n?2)
，
n
两式作差，可得< br>2a
n
?1
，即
a
n
?
1
(n?2 )
，
2
n
又当
n?1
时，
2a
1
?1
，即
a
1
?
111
?n*
满足
a< br>n
?
n
，因此
a
n
?
n
?2(n? N)
；
222
11111
????
所以；
log
2
a
n
log
2
a
n?1
log
22
?n
log
2
2
?n?1
n(n?1)nn?1因为数列
?
??
1
?
的前
n
项和为
S
n
，
?
log
2
a
n
log
2
a
n?1
?
1
2
11
23
1
n< br>11n
)?1??
，
n?1n?1n?1
所以
S
n
?(1?)?(?)?...?(?
因此
S
1
?S
2
?S
3
?...?S
10
?
故选B
123101
???...??
.
2341111
4．【辽宁省沈 阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】已知公比不为
1
的等比数列
{a
n
}
满足
2
a
15
a
5
?a
1 4
a
6
?20
，若
a
m
?10
，则
m?
（ ）
A．9 B．10 C．11

D．12

【答案】B
【解析】
222
由等比数列性质得：
a
15
a
5
?a
14
a
6
?a
10
?a
10
?2a
10
?20

2
?a
10
?10

?m?10

本题正确选项：
B

5．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】在 等比数列
?
a
n
?
中，若
a
5
?a
7
?4
?
a
1
?a
3
?
，则
a
6
?
( )
a
2
A．
1

4
B．
1

2
C．
2
D．
4

【答案】D
【解析】
a
5
?a
7
?4
?
a
1
?a
3
?
，则
q
4
?4,?

故选：D
a
6
?q
4
?4

a
2
6．【黑 龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试】在各项不为零的等差数列
?
a
n
?
中，
2a
2017
?a
2018
2
?2 a
2019
?0
，数列
?
b
n
?
是等比数 列，且
b
2018
?a
2018
，则
log
2?
b
2017
?b
2019
?
的值为
（ ）
A．1
【答案】C
【解析】
22
因为等差数列
?
a
n
?
中
a
2017
?a
2019
?2a
2018
，所以
2a
2017
?a
2018
?2a
2019
?4a
2018
?a
2018
=0
，
B．2 C．4 D．8
因为各项不为零，所以
a
2018
=4
，
2
因为 数列
?
b
n
?
是等比数列，所以
b
2017
?b
2019
=a
2018
=16

所以
log
2
?
b
2017
?b
2019
?
=log
2
16=4
，故选C.


7．【山西省2019届高三 高考考前适应性训练（三)】已知数列
?
a
n
?
的前
n项和为
S
n
，满足
21
a
1
??,S
n
??2?a
n
?
n?2
?
，则下面选项为等差数列的是（ ）
3S
n
A．
?
S
n
?1
?
B．
?
S
n
?1
?

?
1
?
C．
??

S?1
?
n
?
【答案】C
【解析】
因为
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)
，代入
S
n
?
?
1
?
D．
??

S? 1
?
n
?
1
1
?2?a
n
?
n? 2
?
得
S
n
??
?
n?2
?
,< br>
S
n?1
?2
S
n
234111
S
1
??,S
2
??,S
3
??
，故
S
1
?1?,S
2
?1?,S
3
?1?,
所以
S
n
?1
不是等差数列，故A
345345
错误； < br>同理
S
1
?1??
579
，
S
2
? 1??
，
S
3
?1??
，所以
S
n
?1< br>不是等差数列，故B错误；
345
1314151
??
，
? ?
，
??
，所以不是等差数列，故D错误
S
1
?15S< br>2
?17S
3
?19
S
n
?1
111
?3,?4,?5
，故选C.
S
1
?1S
2
?1S3
?1
8．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习】已知等差数列
{a
n
}
的首项为
a
1
，公差
d?0
， 则“
a
1
,a
3
,a
9
成等比数列” 是“
a
1
?d
”的
A．充分而不必要条件
C．充要条件
【答案】C
【解析】
根据题意，设数列
{a
n
}
的公差为d，
2
若
a
1
,a
3
,a
9
成等比数列，则
a3
?a
1
a
9
，即（a
1
+2d）
2
=a
1
?（a
1
+8d），变形可得：a
1
=d，
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件


则“a
1
,a
3
,a
9
成等比数列”是“a
1=d”的充分条件；
2
若a
1
=d，则a
3
=a< br>1
+2d=3d，a
9
=a
1
+8d=9d，则有
a
3
?a
1
a
9
，则“
a
1
,a< br>3
,a
9
成等比数列”是“a
1
=d”的必
要条件；
综合可得：“
a
1
,a
3
,a
9
成等比数 列”是“
a
1
?d
”的充要条件；
故选：C．
9．【 甘、青、宁2019届高三5月联考】已知正项数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，满足
2S
n
?1?a
n，
a
2
?1a
4
?1
a
6
?1a8
?1
51
a
100
?1
????
L
?(?1)?
（ ） 则
S
2
?1S
4
?1S
6
?1S
8
?1S
100
?1
A．
100

101
B．
102

101
C．
200

201
D．
202

201
【答案】A
【解析】
2
?
?
4S
n
?
?
a
n
?1
?
当
n?1
时 ，
2a
1
?1?a
1
，解得
a
1
?1；当
n?2
时，
?
，两式相减可得
2
?
?4S
n?1
?
?
a
n?1
?1
?
4a
n
?a
n
2
?a
2
n?1
?2a
n
?2a
n?1
，
2a
n
?2a
n?1
? a
n
2
?a
2
n?1
，可得
a
n
?a
n?1
?2
，所以
a
n
?1?2
?
n?1
?
?2n?1
，
S
n
a
n
?1??
?
4
2
?n
2
.
a
n
?1
2n11
?
2
??
，所以S
n
?1n?1n?1n?1
a
2
?1a
4
? 1
a
6
?1a
8
?1
????...
S
2
?1S
4
?1S
6
?1S
8
?1
?
?
?1
?
51
a
100
?1
?
11??
11
??
11
?
1
?
100
?< br>1
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?...?
?
?
.故选A.
??
S
100
?1
?
13
??
35
??
57
??
99101
?
101
10．【内蒙古2019届高 三高考一模】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按
比例递减分配的意思,通常 称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得
100
,
60< br>,
36
,
21.6
个单位,递减的比例为
40%
,今 共有粮
m(m?0)
石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行
“衰分”,已知丙衰分得
80
石,乙、丁衰分所得的和为
164
石,则“衰分比”与
m
的值 分别为（ ）


A．
20%

369

【答案】A
【解析】
B．
80%

369
C．
40%

360
D．
60%

365

解：设“衰分比”为
a
,甲衰分得
b
石,
?
b(1?a)
2
?80
?
3
由题意得
?
b(1?a)?b(1?a)?164
,
?
b?80?164?m
?
解得
b?125
,
a?20%
,
m?369
．
故选：A．
11．【山东省聊城市2019届高三三模】我国古代的《洛书》中记载着世界上 最古老的一个幻方：如
图，将1，2，…，9填入
3?3
的方格内，使三行，三列和两 条对角线上的三个数字之和都等于15.
一般地，将连续的正整数
1,2,3,L,n
填入
n?n
个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字
2
之和都相等， 这个正方形叫做
n
阶幻方.记
n
阶幻方的对角线上的数字之和为
N< br>n
，如图三阶幻方的
N
3
?15
，那么
N
9
的值为（ ）

A．41
【答案】C
【解析】
B．45 C．369 D．321
根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
1
N
3
?(1?2?3?4?5?6?7?8?9)?15
， 3
1
N
4
?(1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12 ?13?14?15?16)?34
，
4
1
N
5
?(1? 2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12?13?14?15?16?17?18?19?20?2 1?22?23?24?25)?65
，
5
?


11n
2
(1?n
2
)n(n
2
?1)
2?N
n
?(1?2?3?4?5???n)???
．
nn22
9(9
2
?1)
故
N
9
??9?41?369
.
2
故选：C
12．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】已知数列{a
n
}
满足
2n?1
111
a
1
? a
2
?a
3
?L?a
n
?n
2
?n(n? N
*
)
，设数列
?
b
n
?
满足：
b
n
?
，数列
?
b
n
?
的前
n< br>项
aa
23n
nn?1
和为
T
n
，若
T
n
?
n
?
(n?N
*
)
恒成立，则实 数
?
的取值范围为（ ）
n?1
B．
(,??)
A．
[,??)

【答案】D
【解析】
1
4
1
4
C．
[,??)

3
8
D．
(,??)

3
8
解：数列{a
n
}
满足
a
1
?
111
a
2
?a
3
?L?a
n
?n
2
?n
，①
23n
当
n?2
时，
a
1
?
111
a
2
?a
3
???a
n?1
?(n?1)
2?(n?1)
，②
23n?1
①﹣②得：
1
a
n
?2n
，
n
2
故：
a
n
?2n
，
数列
?
b
n
?
满足：
b
n
?
2n?12n?1< br>1
?
11
?
?
2
??
22
?
，
a
n
a
n?1
4n(n?1)
2
4
?
?
n(n?1)
?
222
1
?
?
1??
1
??
1
?
11
?
T?1????
L
??
则：
n
?
??????
22
?

4
?
223n(n?1)
??????
?
??
1< br>?
1
?
?
?
1?
?
，
4
?
(n?1)
2
?
由于
T
n
?
n
?
(n?N
*
)
恒成立，
n?1


故：
1
?
1
?
n
1??
?
， < br>??
4
?
(n?1)
2
?
n?1
n?2，
4n?4
整理得：
?
?
因为
y?
n?21 1
?(1?)
在
n?N
*
上单调递减，
4n?44n?1
3
?
2n?1
?
?

?
?
4n?4
?
max
8
故当
n?1
时，< br>?
所以
?
?
3
．
8
故选：D．
a
6
?a
8
?12
，
a
1
?4
， 13．【北京市房山区2019年第二次高考模拟】设
S
n
为等差数列
?a
n
?
的前
n
项和，
则
S
7
=____.
【答案】35
【解析】
由等差数列的性质，得：
a
6
?a
8
?2a
7
?12
，
所以，
a
7
?6
，
S
7
?
7( a
1
?a
7
)
7(4?6)
??35

2 2
14．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】等差数列
?
a
n
?
中，
a
4
?10
且
a
3
，< br>a
6
，
a
10
成
等比数列，数列
?
a
n
?
前20项的和
S
20
?
____
【答案】200或330
【解析】
设数列
?
a
n
?
的公差为
d
，则
a
3
?a
4
?d?1 0?d
，
a
6
?a
4
?2d?10?2d,a
1 0
?a
4
?6d?10?6d
，
2
由
a
3
,a
6
,a
10
成等比数列，得
a
3
a
10
?a
6
，


即
?
10? d
??
10?6d
?
?
?
10?2d
?
，
整理得
10d
2
?10d?0
，解得
d?0
或d?1
，
当
d?0
时，
S
20
?20a4
?200
；
当
d?1
时，
a
1
? a
4
?3d?10?3?1?7
，
于是
S
20
? 20a
1
?
2
20?19
d?20?7?190?330
，
2
故答案为200或330.
15．【北京市昌平区2019年高三年级第二次统一 练习】等差数列
?
a
n
?
满足
a
2
?a< br>5
?a
9
?a
6
?8
，则
a
5=______；若
a
1
?16
，则n=______时，{a
n
}的前n项和取得最大值．
【答案】4 6
【解析】
等差数列
?
a
n
?
满足
a
2
?a
5
?a
9
?a
6
?8
，
所以
3a
1
?13d?a
1
?5d?8
，即
a
5
?4，
a
1
?16
，所以
4d?a
5
?a
1
?4?16
，所以
d??3
．
令
?
?a
n
?0
，解得
n?6
，所以
?
a
n
?
的前6项和取得最大值．
a?0
?
n?1
故填：4，6．
16．【河南省郑州市2019届 高三第三次质量检测】已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n
?1
，若集合
Mnn
?
n?1
?
?t
?
a
n?1
?
,n?N
?
?
?
中有
3
个元素 ，则实数
t
的取值范围是__________．
【答案】
1?t?
【解析】
5
.
4
由题，因为 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，< br>a
n?1
?2a
n
?1
，所以
a
n?1?1?2
?
a
n
?1
?

即数列
{a
n
?1}
是以2为首项，公比为2的等比数列，
nn
所以
a
n
?1?2?a
n
?2?1



所以
n
?
n?1
?
?t
?< br>a
n
?1
?
，化简可得
t?
n(n?1)

n
2
n(n?1)(2n?1)2
n
?(n
2
?n )2
n
ln2[2n?1?(n
2
?n)ln2]
,f
?< br>(n)??
记
f(n)?

n
2(2
n
)< br>2
2
n
当
n?4,f
?
(n)?0
，此时< br>f(n)
是单调递减的；
因为
f(1)?1,f(2)?
3355< br>,f(3)?,f(4)?,
当
n?5
，
f(n)?
< br>2244
*
集合
Mnn
?
n?1
?
?t?
a
n
?1
?
,n?N
?
35
,,< br>
?
中有
3
个元素，所以这三个元素只能是
3
224
所以
1?t?
5

4
5

4
故 答案为
1?t?
17．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷】已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a< br>n?1
?4a
n
?3n?1
，
b
n
?an
?n
.
（1）证明：数列
{b
n
}
为等比数列；
（2）求数列
?
a
n
?
的前
n
项和.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
证明：（1）∵
b
n?a
n
?n
，∴
b
n?1
?a
n?1
?n?1
.
2
n
1
2
1
4?1?n?n

??
322
b
n?1
a
n?1
?n?1
?
4a
n
?3n?1
?
?n?14
?
a
n< br>?n
?
????4
. 又∵
a
n?1
?4a
n
?3n?1
，∴
b
n
a
n
?na
n?na
n
?n
又∵
b
1
?a
1
?1? 1?1?2
，
∴数列
?
b
n
?
是首项为2，公比为4的等比数列.
n?1
解：（2）由（1）求解知，
b
n
?2?4
，
n?1
∴
a
n
?b
n
?n?2?4?n
，


∴
S?a?a???a?2(1?4?4
2
?
L
?4
n?1
)?(1?2?3?
L
?n)?
n12n2
?
1?4
n
?
1?4
?
n
?
n?1
?
2
?
2
n
11
4?1
?
?n
2
?n
.
?
322
18．【山东省淄博市部分学校 2019届高三5月阶段性检测（三模)】在公差不为0的等差数列
{a
n
}
中，
?
2
a
n
,n?2k?1,
a
1
，< br>a
3
，
a
9
成公比为
a
3
的等比数 列，又数列
{b
n
}
满足
b
n
?
?
(k?N
*
)
．
?
2n,n?2k,
（1）求数列{a
n
}
的通项公式；
（2）求数列
{b
n
}
的前
2n
项和
T
2n
．
2(4
n
?1)
?2n(n?1)
【答案】（1）
an
?n
；（2）
T
2n
?
3
【解析】
（1）公差
d
不为0的等差数列
{a
n
}
中，
a
1
，
a
3
，
a
9
成公比为
a3
的等比数列，
22
可得
a
3
?a
1
a
9
，
a
3
?a
1
a
3
，可得
(a
1
?2d)?a
1
(a
1
?8d)
，
a
1
?1
，化简可得
a
1
?d?1
，
即有
a
n
?n
；
?
2
n
,n? 2k?1
（2）由（1）可得
b
n
?
?
，
k?N*
；
?
2n,n?2k
前
2n
项和
T
2n
?(2?8?32???2
2n?1
)?(4?8?12???4n)
2(1?4
n
)12(4
n
?1)
??n(4?4n)??2n (n?1)
．
1?423
19．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一) 】已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
Sn
，且满足
2S
n
??a
n
?n
?
n ?N
*
?
.
（Ⅰ）求证：数列
?
a
n
?
?
?
1
?
?
为等比数列；
2
?
（Ⅱ）求数列
?
a
n
?1
?
的前
n
项和< br>T
n
.


n
?
n1
?
?
1
?
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
T
n
?
?
??
?1
?
?
.
4
??
?
?
3
?
?
2
【解析】
（Ⅰ）
2S
n
??a
n
?n
，
当
n?2
时，
2S
n?1
??a
n?1
?n?1
，
两式相减，得
2a
n
??a
n
?a
n?1
?1
，即
a
n
?
11
a
n?1
?
.
33
∴
a
n
?
11
?
1
?< br>1
??
?
?
a
n?1
?
?
，所以数 列
?
a
n
?
?
为等比数列。
23
?2
?
2
??
1
?
111
?
.由（Ⅰ） 知，数列
?
a
n
?
?
是以
?
为首项，为公 比的等比
2
?
363
?
（Ⅱ）由
2S
1
? ?a
1
?1
，得
a
1
?
数列。
11?
1
?
所以
a
n
???
??
26?
3
?
n
n?1
1
?
1
?
? ?
??
，
2
?
3
?
n
1
?1
?
1
∴
a
n
??
??
?
，
2
?
3
?
2
1
?
1
?
1
∴
a
n
?1??
??
?
，
2
?
3
?
2
1
?
?
1
?
?
?
1?
??
6
?
?
?
3
?
∴
T?
n
1
1?
3
n
n
?
?
n< br>?
?
?
n
?
1
?
?
1
?< br>?1
?
?
n
.
?
??
?
24?
3
??
?
2
??
20．【江西省临川一中2019届 高三年级考前模拟考试】已知正项数列
?
a
n
?
的前
n项和为
S
n
，满足
2
2S
n
?1?2a
n
?a
n
?
n?N
?
?
．
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
1111
???L??M
恒成立，求实数
M
的最小值； （2）已知 对于
n?N
，不等式
S
1
S
2
S
3
S
n
?


【答案】（1）
a
n
?
【解析】
n?122
；（2）.
29
2
（1）
n?1
时，
2a
1
?1?2a
1
?a
1
，又
a
n
?0
，所以
a
1
?1
，
当
n?2< br>时，
2S
n
?1?2a
n
?a
n
n?N2?
2S
n?1
?1?2a
n
?an?N
??
，
?1n?1
2
?
?
?

作差整理得：
a
n
?a
n?1
?2
?
a
n
?a
n?1
??
a
n
?a
n?1
?
，
因为< br>a
n
?0
，故
a
n
?a
n?1
?0
，所以
a
n
?a
n?1
?
1
，
2
故数列
?
a
n
?
为等差数列，所以
a
n
?
n?1
．
2
（2）由（1） 知
S
n
?
144
?
11
?
n
?< br>n?3
?
??
?
?
，所以
?
，
S nn?33nn?3
??
??
4
n
1111
???L?从而
S
1
S
2
S
3
S
n
4
?
?
1
??
11
??
11
?
1< br>??
11
??
11
?
?
?
1
=?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
L
?
?
?????
?????
?

3
?
?
4
??
25
??
3 6
?
n?2n?1n?1n?2nn?3
??????
?
?
4
?
11111
?
4
?
11111
?
22
1?????????
．
????
?
3
?
23n ?1n?2n?3
?
3
?
6n?1n?2n?3
?
9
所以
M?
22
22
，故
M
的最小值为．
9
9

1．已知公差为正数的等差数列{
a
n
}的 前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝1，且
a
2
，
S
2
+1，
a
8
成等比数列．
（1）求数列{
a
n
}的通项公式；
（2）若数列{
b< br>n
}满足
b
1
＝1，
nb
n
+1
＝ 2
a
n
b
n
，求数列{
a
n
+
b
n
}的前
n
项和
T
n
．
【解答】解：（ 1）设等差数列{
a
n
}的公差为
d
（
d
＞0），
∵
a
1
＝1．
a
2
．
S
2
+1．
a
8
成等比数列，即（
S
2
+1）＝
a< br>2
a
8
，

2

∴（3+
d
）＝（1+
d
）（1+7
d
）， ∴3
d
+
d
﹣4＝0，∴（3
d
+4）（
d< br>﹣1）＝0，∵
d
＞0，∴
d
＝1，
∴
a
n
＝1+（
n
﹣1）＝
n
；
（2）∵
nb
n
+1
＝2
a
n
b
n．由（1）得
nb
n
+1
＝2
nb
n
，
2
2
可得，又
b
1
＝1，
n
﹣1
所以{
b
n
}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
b
n
＝2，
a
n
+
b
n
＝
n
+2
n
﹣1
，
则前
n
项和
T
n
＝（1+2+ …+
n
）+（1+2+…+2
n
﹣1
）
n
（
n
+1）
n
（
n
+1）+2﹣1．
n
2．已知 数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
满足2S
n
＝（
a
n
﹣1）（
a
n
+2）， 且
（1）求数列{
a
n
}的通项公式；
．
（2）若，求 数列{
b
n
}的前
n
项和
T
n
．
【解答】解：（1）2
S
n
＝（
a
n
﹣1）（
a
n
+2），可得2
a
1
＝2
S
1
＝（a
1
﹣1）（
a
1
+2），
解得
a
1
＝2（﹣1舍去）；
当
n
≥2时，2< br>S
n
﹣1
＝（
a
n
﹣1
﹣1）（
a
n
﹣1
+2），且2
S
n
＝（
a
n
﹣1）（
a
n
+2），
两式相减可得2
a
n
＝
a
n
﹣
a
n
﹣1
+
a
n
﹣
a
n
﹣1
，
化为（
a
n
+
a
n
﹣1
）（
a
n
﹣
a
n
﹣1﹣1）＝0，
可得
a
n
﹣
a
n
﹣1
＝1，数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝
n
+1；
22
（2）
b
n
，
即有前
n
项和
T
n

3．


3．设
S
n
为等差数列{
a
n
}的前
n< br>项和，且
a
2
＝15，
S
5
＝65．
（Ⅰ）求数列{
a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
b< br>n
}的前
n
项和为
T
n
，且
T
n< br>＝
S
n
﹣10，求数列{|
b
n
|}的前
n
项和
R
n
．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，则由
a
2
＝15，
S
5
＝65．
得
a
1
+
d
＝15，5
a1
+10
d
＝65，
解得
a
1
＝17，
d
＝﹣2，
故
an
＝17﹣2（
n
﹣1）＝﹣2
n
+19；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，

易知，当1≤
n
≤9时，
b< br>n
＞0；当
n
≥10时，
b
n
＜0，
∴1°当1≤
n
≤9时，
2°当
n
≥10时，
R
n
＝|
b
1
|+|
b
2
|+…+|
b
n
|＝
b
1
+
b
2
+…+
b
9
﹣（
b
10
+
b
11
+…+
b
n
）
．
故．
4．已知{
a
n
}为等差 数列，前
n
项和为
S
n
（
n
∈N），{
b
n
}是首项为的等比数列，且公比大于0，
b
2
+
b
3
*
＝3，
b
4
＝
a
3
﹣
a< br>1
，
S
9
＝
b
8
+17．
（Ⅰ）求{
a
n
}和{
b
n
}的通项公式； （Ⅱ）求{
a
n
b
2
n
}的前
n
项和
T
n
．
【解答】解：（Ⅰ）{
b
n
}是首项为的 等比数列，且公比
q
大于0，
，即（
q
+
q
）＝3，
2


解得
q
＝2或﹣3（舍），
{
a
n
}为公差为
d
的等差数列，
由
b
4
＝
a
3
﹣
a
1
，可得2
d＝4，即
d
＝2，
又
S
9
＝17+
b
8
，可得9
a
5
＝17+64＝81，即
a
1
+ 8＝9，即
a
1
＝1，
即有
a
﹣2
n
＝ 2
n
﹣1，
b
n
＝2
n
；
（Ⅱ），
，
，

，
化简可得．
5．已知数列{
a
n
}满足，
n
∈N
*
，且0＜
a
1
＜1．
（1）求证：0＜
a
n
＜1；
（2）令
bn
＝
lg
（1﹣
a
n
），且，试求无穷数列的所有项和 ；
（3）求证：
n
∈N
*
，当
n
．
【解答 】解：（1）当
n
＝1时，0＜
a
1
＜1成立；
假设当
n
＝
k
时，0＜
a
k
＜1， 当
n
＝
k
+1时，
a
2
k
+1
＝1﹣（1﹣
a
k
），由0＜
a
k
＜1，可得0＜
a
k
+1
＜1，
即
n
＝
k
+1时，不等式成立．
综上可得对
n
∈N*时，0＜
a
n
＜1；
（2）
b
n
＝
lg
（1﹣
a
n
），且，

2时，


≥

由1﹣
a
n< br>＝（1﹣
a
n
﹣1
），可得
lg
（1﹣
a< br>n
）＝2
lg
（1﹣
a
n
﹣1
），
即
b
n
＝2
b
n
﹣1
，
n﹣1
n
﹣1
2
可得
b
n
＝
b
1
?2＝﹣2，，
即有无穷数列的所有项和为
S
2；
（3）证明 ：
a
n
﹣1
+
a
n
﹣
a
n
﹣1
a
n
﹣1＝（
a
n
﹣1
﹣
a
n
）
a
n
﹣1
+（
a
n
﹣1）， 由
a
n
﹣
a
n
﹣1
＝
a
n< br>﹣1
（1﹣
a
n
﹣1
）＞0，可得
a
n﹣1
﹣
a
n
＜0，
a
n
﹣1＜0，
可得
a
n
﹣1
+
a
n
﹣
a
n﹣1
a
n
＜1，
由
a
n
+
a
1
﹣
a
n
a
1
﹣1＝
a
1
（< br>a
1
﹣
a
n
）（
a
1
+
a
n
）+
a
n
﹣1＜0，
可得
a
n
+
a
1
﹣
a
n
a
1
＜1，
则
a
1
+
a
2
﹣
a
1
a
2
＜1，
a
2
+
a
3
﹣
a
2
a
3
＜1，…，
a
n
﹣1
+
a
n
﹣
a
n
﹣1
a
n
＜1，
a
n
+
a
1
﹣
a
n
a
1
＜1，
上面各式相加可得
332332332332
332
3323
33 2
3
33223
n
∈N，当
n
≥2时，

*
．











7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它 ，克服它，消灭它，
但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林
8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国
9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果
10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。——邓肯
11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。——印度