协方差 公式与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法

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与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法

作者：俞 新

来源：《广东教育·高中》2009年第10期

在多年的高考中出现了与椭圆有关的四边形的面积问题.这类问题具有一定的难度,许多同
学都感到无从 下手,从而影响了水平的发挥和总体成绩,甚感可惜!其实,与椭圆有关的四边形的面
积的计算还是有规 律可找的.本文通过最近两年高考中的与椭圆有关的四边形面积问题的解法
分析来指导同学们掌握该类问 题的三种方法,仅供参考.
解法一、对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半
例1 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2 . 过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直
线 交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:+
解析 (Ⅰ)椭圆的半焦距c==1,由AC⊥BD可知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故
x20 +y20=1,所以+≤+=
(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的 方程为y=k(x+1),代入椭圆方程+=1,并化简得
(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6 =0.
设B(x1,y1),D(x2,y2)则x1+x2=-,x1x2=,| BD|=|x1-x2|==.因为AC与BC相交于点P,且AC的
斜率为-,所以|AC|==.四 边形ABCD的面积S=|BD||AC|=≥=,当k2=1时,上式取等号.
(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.
综上所述,四边形ABCD的面积的最小值为.
评注 本题中因为四边形ABCD的 对角线AC与BD互相垂直,所以四边形的面积就是AC
与BD乘积的一半.而AC与BD的长可以通过 相交弦长公式求得.
解法二、平行四边形的面积等于两条邻边与其夹角正弦值的乘积
例2 已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直 线的斜率为1.(Ⅰ)
当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(Ⅱ)当∠ABC=60°时 ,求菱形ABCD面积的最大值.
解析 (Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD. 于是
可 设直线AC的方程为y=-x+n.由x2+3y2=4,y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因 为A,C在椭圆上,所
以△=-12n2+64>0,解得-