周转率计算公式多面体的欧拉公式 球

多面体的欧拉公式 球
多面体的欧拉公式：

一．重点、难点提示

1．多面体的概念 若干个平面多边形围成的几何体叫做多面 体．把多面体的任何一个面伸展为平面，如
果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．一个多面体至少有四个面．

2．正多面体每个面都是有相同边数的正多边形， 且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做
正多面体．

正多面 体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种，其中正四面体、正八
面体和 正二十面体的各个面都是全等的正三角形，正六面体又叫做正方体，其各个面都是全等的正方形而正十
二 面体的各面是全等的正五边形．

3. 欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，那么V+F-E=2．

二．考点指要

理解多面体、凸多面体、简单多面体和正多面体的概念，能运用欧拉公式进行有关的判断和计算．

球：

一．重点、难点提示

1．球面的概念 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，半圆的圆心叫做球心．连结球心
和球面上任意一点 的线段叫做球半径，连结球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径．

球面也可以看 作与定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合，如果一个球的球心为O，我们可以把
这个球 记作球O．

2．球的概念 球面所围成的几何体叫做球体，简称球．

3．球的截面及其性质 用一个平面截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质：

(1)球心与截面圆心的连线垂直于截面；

(2)球心到截面的距离d与球的半径及及截面的半径r有下面的关系：。

4．球面上的大圆和小圆 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做
小圆，地球上的赤道就是一个大圆，北极圈就是一个小圆。

球面上两点距离的概念：
在球面上，两点之间的最短连线的长度即经过这两点的大圆在这两点间 的一段劣弧的长度，叫做两点的球
面距离。
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球的表面积和体积：
若球的半径为R，则它的表面积S=；它的体积。

二．考点指要

理解球的有关概念和性质，掌握球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算．

例1．C
70
分子有70个顶点，以每个顶点为一端有三条棱，各面是五边形或六边形．求C
70
分子中五边形
和六边形的个数．

思路分析：若有x个五边形和y个六边形，则简单多面体的面数F＝x+y．而这个简单多面体的棱数量
E＝。从而，根据欧拉公式可以求出x和y的值．

解：设C
70
分子中五边形有x个，六边形有y个
则 F＝x+y
依题意可知棱数 E＝= 105。
∵ V=70， ∴ 有70+(x+y)＝107, 即 x+y＝37.
∵ ，则有5x+6y=210,
由 ，解得x=12, 且 y=25.
答：在C
70
分子中有12个五边形、25个六边形。

例2．若一个简单多面体的每一个面都是凸n边形，每一个顶点上都有m条棱。求证：

思路分析：
。
设这个简单多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V，则有
便可以找到m与n的关系。

，且。于是根据欧拉公式，
证明：设多面体的面数为F， ∵ 每个面有n条边，∴ 即是这个多面体的棱数，即，则。
∵ 每个顶点上有m条棱，设多面体的顶点数为V，则
2 4
即是多面体的棱数，即，则，
∵ E+2=V+F， ∴ ， ∴ ，
∵ E>0, ∴ .

例3．晶体硼的基本结构单元是由20个等边三角形组成的正二十面体，其中每一个顶点是一个B原 子，问
这个基本单元是由多少个B原子所组成的？其中含有B-B键有多少个？

思路分析；

由于每一个面有三条边，且共有20个面，所以可求得这个正二十面体的棱数（即B-B键的个数）
。因为在数F=20，所以由欧拉公式V+F-E=2。可求得顶点V=12，即B原子的个数为12。

解：∵ F=20， ∵ 每一个面是正三边形， ∴ 棱数









，
设顶点数为V， ∴ V=E-F+2=12，即这个正二十面体共有12个顶点，30条棱。
答：晶体硼的基本结构单元由12个B原子组成，共含30个B-B键。
例4．在半径等于25c m的球内有一个截面，它的面积是49πcm
2
，求球心到这个截面的距离．
思路分析：由截面的面积求出截面半径r，根据截面的性质求出球心到截面的距离。
解：设截面半径为r
∵ πr
2
=49πcm
2
, ∴ r=7cm, 设球心到截面的距离为d
.
答：球心到截面的距离是24cm。

例5． 三个球的半径之比是1:2:3，求证：最大球的体积等于其他两个球体积和的三倍．

思路分析:
由三个球的半径之比等于1:2:3，可设三个球半径分别为r、2r和3r，则三 个球的体积都可以表示有关r的
代数式，然后再研究它们体积的数量关系.

解： ∵ 三个球半径之比为1:2:3，于是可设三个球的半径分别为r, 2r和3r
则最大球的体积，其他两个球的体积之和为。 所以最大球
的体积等于其他两个球的体积之和的三倍。

例6．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm，求球的体积。

思路分析：
3 4
根据球与圆锥内切的关系，找出球半径与圆锥的底面半径以及母线之间的关系，以便于求出球的半径。

解：如图，作出轴截面，∵ ΔABC是正三角形，
∴
∵ CD=1cm,
∴ AC=2cm,
，
,
∵ RtΔAOE∽RtΔACD,
∴ , 设OE=R，则，
∴ ， ∴ ， ∴ 。
答：球体积等于。

例7．在一个轴截面是正三角形的圆锥形 容器中注入高为h的水然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，
若水面恰好和球面相切，求这个铁球的 半径。

思路分析：解决问题的关键是找到圆锥的体积等于球体积和水的体积之和。

解：如图，作出圆锥形容器的轴截面，ΔABS为等边三角形。
∵ SG=h, , ∴ .
设铁球的半径为R，则SO=2R，SF=3R，在RtΔFBS 中，
，
，
。
依题意，有V
锥体
=V
球
+V
水
，即 ，
∴

。 答：所求铁球的半径等于。
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