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macd背离公式扇形圆柱圆锥面积公式及计算

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-09 18:46
tags:扇形面积公式

杨雅雯-晚上睡不好怎么调理


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扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图

[学习目标]
1. 掌握基本概念:正多边形,正多边形的中心角、半径、边心距以
及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式:

n是圆心角度数,R是扇形半径,l是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体,侧面展开是矩形,
长为底面圆周长,宽为圆柱的高
r底面半径 h圆柱高
4. 圆锥侧面积
圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形,扇形半径是圆锥的母线,弧长是底面圆周长。
5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成,明确圆柱的高和母线,它
们相等。
6. 了解圆锥 由一个曲面和一个底面圆围成,明确圆锥的高和母线,
知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角 形,解决圆锥的有
关问题。
7. 圆柱
圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩
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形 。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示,若圆柱的
底面半径为r,高为

h,则:,

8. 圆锥
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的 。圆锥的底面是一个圆,侧
面是一个曲面,这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形,这个扇形
的半径是圆锥的母线,扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此,圆锥的
侧面积是圆锥的母线与底面周长积的 一半。如图所示,若圆锥的底面
半径为r,母线长为l,则




[重点、难点]
扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。

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【典型例题】
例1. 已知如图1,矩形ABCD中,AB =1cm,BC=2cm,以B
为圆心,BC为半径作圆弧交AD于F,交BA延长线于E,求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。

图1
解:∵AB=1,BC=2,F点在以B为圆心,
BC为半径的圆上,
∴BF=2,∴在Rt△ABF中,∠AFB=30°,∠ABF=60°



例2. 已知扇形的圆心角150°,弧长为
____________。
解:设扇形的面积为S,弧长为l,所在圆的半径为R,
由弧长公式,得:


,则扇形的面积为


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由扇形面积公式,
点拨:本题主要考查弧长公式

,故填。
。 和扇形面积公式
例3. 已知弓形的弦长等于半径R,则此弓形的面积为__________。
(弓形的弧为劣弧)。
解:∵弓形弦长等于半径R
∴弓形的弧所对的圆心角为60°
∴扇形的面积为
三角形的面积为
∴弓形的面积为
即。故应填




点拨:注意弓形面积的计算方 法,即弓形的面积等于扇形面积与
三角形面积的和或差。本题若没有括号里的条件,则有两种情况。

例4. 若圆锥的母线与底面直径都等于a,这个圆锥的侧面积为
_____________。
解:∵圆锥的底面直径等于a。
∴底面半径为,
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∴底面圆的周长为
又∵圆锥的母线长为a,
∴圆锥的侧面积为
故应填


点拨:圆锥的侧面积即展开图的扇形面积,可利用扇形的面积公


例5. 如 图2所示,OA和OO1是⊙O中互相垂直的半径,B在
上,弧的圆心是O1,半径是OO1,⊙O2与 ⊙O、⊙O1、OA
求得。
都相切,OO1=6,求图中阴影部分的面积。

图2
解:设⊙O2与⊙O、⊙O1、OA分别切于点D、C、E,设⊙O2
的半径为r,连结O1O2,O2E,过点O2作O2F⊥O1O于F,连结
O1B、OB、OO2。
∵O1O=6,
l ∴
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又∵






又∵


∴扇形

和扇形







(舍去)
是等边三角形


的面积相等且都等于。
所组成的图形面积为扇形O1BO和扇形OO1B
的面积之和减去三角形O1OB的面积,即:

又∵扇形OAO1的面积为:
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∴阴影部分的面积为:




点拨:本题比较复杂,考查的知识面比较多,要正确作辅助线,
找出解题的思路。
例6. 在半径为2的圆内,引两条平行弦,它们所对的弧分别为120°
和60°,求两弦间所夹图形的面积及 周长。
解:分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况:
①如图3所示,由题意,

图3
则∠AOB=120°,∠COD=60°
又∵AB∥CD,
∴,
∴∠AOC=∠BOD
又∵∠AOC+∠BOD=180°
∴∠AOC=∠BOD=90°

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又∵



故所求面积为






又∵∠AOC=90°,

同理


又∵△OCD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=2
又∵
∴所求的周长



②如图4所示,由第一种情况,得所求面积:

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图4







所求周长



点拨:要注意本题的两种情况,另外,弧长公式和扇形以及弓形
的面积求法要求正确掌握,熟练运用。

例7. 如图5所示,已知正方形的边长是4cm,求它的内切圆与外
接圆组成的圆环的面积。(答案保留)
(1999年广州)

图5
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解:设正方形外接圆、内切圆的半径为R、r,面积为


∴。



常见错误:此题最容易产生的问题是找不出正方形边 长的一半与
两圆的半径之间的勾股关系。即不会运用圆内接正方形与圆外切正方
形的性质来解题 。这一点读者应认真体会。

例8. 如图6所示,已知△ABC内接于⊙O,且AB=BC=CA=6cm

图6
(1)求证:∠OBC=30°;
(2)求OB的长(结果保留根号);
(3)求图中阴影部分的面积(结果保留)。
解:(1)AB=BC=CA,∴∠A=60°
∴∠BOC=120°,又∵OB=OC,
∴∠OBC
(2)过O作OD⊥BC于D,
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∵OB=OC,BC=6cm,



(3)∵

即阴影部分面积是。





常见错误:此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件,从而
无法证明∠OBC=30°;当然,解直角三角形失误,求扇形面积时公
式记错产生的错误,也是考试中 的常见错误,应引起警惕。

例9. 一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面
积。
点悟:如图7所示 ,欲求圆锥的侧面积,即求母线长l,底面半径
r。由圆锥的形成过程可知,圆锥的高、母线和底面半径 构成直角三
角形即Rt△SOA,且SO=10,SA=l,OA=r,关键找出l与r的关
系 ,又其侧面展开图是半圆,可得关系,即。
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图7
解:设圆锥底面半径为r,扇形弧长为C,母线长为l,
由题意得

在Rt△SOA中,
由①、②得:
∴所求圆锥的侧面积为


例10. 圆锥的轴截面是等腰△PAB,且PA=PB=3,AB =2,M是
AB上一点,且PM=2,那么在锥面上A、M两点间的最短距离是
多少?
点悟:设圆锥的侧面展开图是扇形PBB',A点落在A'点,则所求
A'、M之间的 最短距离就是侧面展形图中线段A'M的长度。
解:如图8所示,扇形的圆心角=360°





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图8
∴∠A'PB=60°,在△A'PM中,过A'作A'N⊥PM于N,
则 ∴,


【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一、填表
(1)已知:正n边形边长为a
正n边形 中心角
n=3
n=4
n=6

(2)已知:正n边形半径R
正n边形 中心角
n=3
n=4


半径


边心距


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半径



边心距



周长



面积






周长


面积


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n=6


二、填空题:
1. 如果扇形半径长3cm,圆心角120°,则它的面积是
_____________cm2。
2. 若圆锥母线长5cm,高3cm,则其侧面展开图的圆心角是
_____________度。
3. 若圆锥底面半径为3cm,母线长5cm,则它的侧面展开图面积
是_______ ______cm2。
4. 有一圆柱状玻璃杯,底面半径3cm,高为8cm,今有一长12c m
的吸管斜放入杯中,若不考虑吸管粗细,则吸管最少露出杯口处的长
度是_________ ____cm。
5. 用一个半径为30cm,圆心角为120°的扇形纸片做成一圆锥侧
面,那么圆锥底面半径是_____________cm。
6. 如图1,正方形ABCD边 长为2,分别以AB、BC为直径在正方
形内作半圆,则图中阴影部分面积为____________ _平方单位。

图1 图2

7. 如图2,AB=2cm,∠AOB=90°,AO=BO,以O为圆心,
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精品 < br>OA为半径作弧AB,以AB为直径做半圆AmB,则半圆和弧AB所
围阴影部分面积是____ _________cm2。
8. 若圆锥侧面积为
_____________cm。
9. 圆柱表面积为
_____________cm。
10. 矩形AB CD中,AC=4cm,∠ACB=30°,以直线AB为轴旋
转一周,得到圆柱表面积为______ _______cm2。
三、解答题:
11. 已知扇形的半径为,它的面积恰好等于 一个半径为
,它的高为2cm,则底面半径为
,母线长5cm,则圆锥的高为
的圆面积 ,那么这个扇形的圆心角为多少度?
12. 如图3,已知半圆O,以AD为直径,AD=2cm ,B、C是半
圆弧的三等分点,求图中阴影部分面积。

图3
13. 已知如图,割线PCD过圆心O,且PD=3PC,PA、PB切⊙
O于点A、B,∠PAB=60°, PA=
ACB的面积。

,AB与PD相交于E,求弓形
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【试题答案】
一、填表:
(1)
正n边形 中心角
n=3
n=4
n=6

(2)
正n边形 中心角
n=3
n=4
n=6

二、填空题:
1. 2. 288 3.


120°
90°
60° R

半径


边心距


6R
周长



面积

120°

90°

60° a



4a
6a

半径 边心距 周长
3a

面积


4. 2 5. 10 6.
7. 1 8. 4cm 9. 3cm
10.
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三、解答题:
11. 解:由题意,设所求圆心角为°,则



答:所求扇形圆心角为60°
12. 解:连结OB、OC





13. 解:连结OA、OB,在Rt△AEP中,∠PAB=60°
∴∠APD=30°
在Rt△OAP中,
∴∠AOP=60°,OA=4,PO=8
∴∠AOB=120°

由题意


,PD=3PC

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PC=4,PD=12
∴CD=8
由题意:



∴OE=3







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