涨幅选股公式扇形圆柱圆锥面积公式与计算

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图

［学习目标］
1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距
以及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式：

n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩
形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高
r底面半径 h圆柱高
4. 圆锥侧面积
圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。
5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，
它们相等。
6. 了解圆锥 由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母
线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角 形，解决圆
锥的有关问题。
7. 圆柱
圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩
1 18
形。圆柱的侧面积 等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱
的底面半径为r，高为
。
h，则：，

8. 圆锥
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的 。圆锥的底面是一个圆，侧
面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇
形 的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆
锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的 一半。如图所示，若圆锥
的底面半径为r，母线长为l，则




［重点、难点］
扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。

。
2 18

【典型例题】
例1. 已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC ＝2cm，以B为
圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE
被矩 形所截剩余部分的面积。

图1
解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心，
BC为半径的圆上，
∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°
∴


例2. 已知扇形的圆心角150°，弧长为
____________。
解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R，
由弧长公式，得：
∴
3 18


，则扇形的面积为

由扇形面积公式，
点拨：本题主要考查弧长公式

，故填。
。 和扇形面积公式
例3. 已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为__________。
（弓形的弧为劣弧）。
解：∵弓形弦长等于半径R
∴弓形的弧所对的圆心角为60°
∴扇形的面积为
三角形的面积为
∴弓形的面积为
即。故应填
。
。
。
。
点拨：注意弓形面积的计算方 法，即弓形的面积等于扇形面积与
三角形面积的和或差。本题若没有括号里的条件，则有两种情况。

例4. 若圆锥的母线与底面直径都等于a，这个圆锥的侧面积为
_____________。
解：∵圆锥的底面直径等于a。
∴底面半径为，
4 18
∴底面圆的周长为
又∵圆锥的母线长为a，
∴圆锥的侧面积为
故应填
。
。
点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面积公
式

例5. 如 图2所示，OA和OO1是⊙O中互相垂直的半径，B在
上，弧的圆心是O1，半径是OO1，⊙O2与 ⊙O、⊙O1、OA都
求得。
相切，OO1＝6，求图中阴影部分的面积。

图2
解：设⊙O2与⊙O、⊙O1、OA分别切于点D、C、E，设⊙O2
的半径为r，连结O1O2，O2E，过点O2作O2F⊥O1O于F，连结
O1B、OB、OO2。
∵O1O＝6，
l ∴
5 18


∴




又∵

∴



∴
又∵


∴扇形
∴
和扇形
，

，


，
，
（舍去）
是等边三角形
，

的面积相等且都等于。
所组成的图形面积为扇形O1BO和扇形OO1B的
面积之和减去三角形O1OB的面积，即：

又∵扇形OAO1的面积为：
6 18


∴阴影部分的面积为：




点拨：本题比较复杂，考查的知识面比较多，要正确作辅助线，
找出解题的思路。
例6. 在半径为2的圆内，引两条平行弦，它们所对的弧分别为
120°和60°，求两弦间所夹图形的面积及 周长。
解：分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况：
①如图3所示，由题意，

图3
则∠AOB＝120°，∠COD＝60°
又∵AB∥CD，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD
又∵∠AOC＋∠BOD＝180°
∴∠AOC＝∠BOD＝90°
∴
7 18
又∵



故所求面积为

又∵∠AOC＝90°，
∴
同理






，
又∵△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝2
又∵
∴所求的周长



②如图4所示，由第一种情况，得所求面积：

8 18
图4







所求周长



点拨：要注意本题的两种情况，另外，弧长公式和扇形以及弓形
的面积求法要求正确掌握，熟练运用。

例7. 如图5所示，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外
接圆组成的圆环的面积。（答案保留）
（1999年广州）

图5
9 18
解：设正方形外接圆、内切圆的半径为R、r，面积为

∵
∴。

。

常见错误：此题最容易产生的问题是找不出正方形边 长的一半与
两圆的半径之间的勾股关系。即不会运用圆内接正方形与圆外切正
方形的性质来解题 。这一点读者应认真体会。

例8. 如图6所示，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝BC＝CA＝6cm

图6
（1）求证：∠OBC＝30°；
（2）求OB的长（结果保留根号）；
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留）。
解：（1）AB＝BC＝CA，∴∠A＝60°
∴∠BOC＝120°，又∵OB＝OC，
∴∠OBC
（2）过O作OD⊥BC于D，
10 18

∵OB＝OC，BC＝6cm，
∴
∵
∴
（3）∵
∴
即阴影部分面积是。


，


常见错误：此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件，从而
无法证明∠OBC＝30°；当然，解直角三角形失误，求扇形面积时公
式记错产生的错误，也是考试中 的常见错误，应引起警惕。

例9. 一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面
积。
点悟：如图7所示 ，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半
径r。由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径 构成直角
三角形即Rt△SOA，且SO＝10，SA＝l，OA＝r，关键找出l与r的
关系 ，又其侧面展开图是半圆，可得关系，即。
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图7
解：设圆锥底面半径为r，扇形弧长为C，母线长为l，
由题意得
∴
在Rt△SOA中，
由①、②得：
∴所求圆锥的侧面积为


例10. 圆锥的轴截面是等腰△PAB，且PA＝PB＝3，AB ＝2，M是
AB上一点，且PM＝2，那么在锥面上A、M两点间的最短距离是多
少？
点悟：设圆锥的侧面展开图是扇形PBB'，A点落在A'点，则所求
A'、M之间的 最短距离就是侧面展形图中线段A'M的长度。
解：如图8所示，扇形的圆心角＝360°
。
①
②
。

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图8
∴∠A'PB＝60°，在△A'PM中，过A'作A'N⊥PM于N，
则 ∴，


【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、填表
（1）已知：正n边形边长为a
正n边形 中心角
n＝3
n＝4
n＝6

（2）已知：正n边形半径R
正n边形 中心角
n＝3
n＝4


半径


边心距


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半径



边心距



周长



面积






周长


面积


n＝6


二、填空题：
1. 如果扇形半径长3cm，圆心角120°，则它的面积是
_____________cm2。
2. 若圆锥母线长5cm，高3cm，则其侧面展开图的圆心角是
_____________度。
3. 若圆锥底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图面积
是_______ ______cm2。
4. 有一圆柱状玻璃杯，底面半径3cm，高为8cm，今有一长
12cm的吸管斜放入杯中，若不考虑吸管粗细，则吸管最少露出杯口
处的长度是_________ ____cm。
5. 用一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一圆锥侧
面，那么圆锥底面半径是_____________cm。
6. 如图1，正方形ABCD边 长为2，分别以AB、BC为直径在正方
形内作半圆，则图中阴影部分面积为____________ _平方单位。

图1 图2

7. 如图2，AB＝2cm，∠AOB＝90°，AO＝BO，以O为圆心，OA
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为 半径作弧AB，以AB为直径做半圆AmB，则半圆和弧AB所围阴
影部分面积是__________ ___cm2。
8. 若圆锥侧面积为
_____________cm。
9. 圆柱表面积为
_____________cm。
10. 矩形ABCD中，AC ＝4cm，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋转
一周，得到圆柱表面积为____________ _cm2。
三、解答题：
11. 已知扇形的半径为，它的面积恰好等于一个半径为< br>，它的高为2cm，则底面半径为
，母线长5cm，则圆锥的高为
的圆面积，那么这个扇 形的圆心角为多少度？
12. 如图3，已知半圆O，以AD为直径，AD＝2cm，B、C是半 圆
弧的三等分点，求图中阴影部分面积。

图3
13. 已知如图， 割线PCD过圆心O，且PD＝3PC，PA、PB切⊙O
于点A、B，∠PAB＝60°，PA＝的面积。

，AB与PD相交于E，求弓形ACB
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【试题答案】
一、填表：
（1）
正n边形 中心角
n＝3
n＝4
n＝6

（2）
正n边形 中心角
n＝3
n＝4
n＝6

二、填空题：
1. 2. 288 3.


120°
90°
60° R

半径


边心距


6R
周长



面积

120°

90°

60° a



4a
6a

半径 边心距 周长
3a

面积


4. 2 5. 10 6.
7. 1 8. 4cm 9. 3cm
10.
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三、解答题：
11. 解：由题意，设所求圆心角为°，则



答：所求扇形圆心角为60°
12. 解：连结OB、OC
∵
∴



13. 解：连结OA、OB，在Rt△AEP中，∠PAB＝60°
∴∠APD＝30°
在Rt△OAP中，
∴∠AOP＝60°，OA＝4，PO＝8
∴∠AOB＝120°
∴
由题意
∴
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，PD＝3PC
PC＝4，PD＝12
∴CD＝8
由题意：


∴
∴OE＝3
∴
∴







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