压降计算公式弧长和扇形面积 优秀教学设计(教案)

弧长和扇形面积

【课时安排】

2课时
【第一课时】

【教学目标】

了解扇形的概念，理解圆心角所对的 弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用。
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索圆心角所对 的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这
些公式解决一些题目。
【教学重点】

n°的圆心角所对的弧长，扇形面积及其它们的应用。
【教学难点】

两个公式的应用。
【教学过程】

一、复习引入。
（口问，学生口答）请同学们回答下列问题。
1．圆的周长公式是什么？
2．圆的面积公式是什么？
3．什么叫弧长？
二、探索新知。
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：
1．圆的周长可以看作 度的圆心角所对的弧。
2．1°的圆心角所对的弧长是 。
3．2°的圆心角所对的弧长是 。
4．4°的圆心角所对的弧长是 。
5．n°的圆心角所对的弧长是 。
例1．制作弯形管道时，需要先按中 心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的
管道的展直长度，即弧AB的长。（结果精确到0. 1mm）
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问题（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱 子上拴着一条长5m的绳子，
绳子的另一端拴着一头牛，如图示：

（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那∠它的最大活动区域有多大？
学生提问后，点评 ：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为
半径的圆的面积。（2）如果这 头牛只能绕柱子转过n°角，那∠它的最大活动区域应该是n°
圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧 所围成的圆的一部分的图形，如图。
像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
练习：如图示：
1．该图的面积可以看作是_____度的圆心角所对的扇形的面积。
2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形＝_____；
3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形＝_____；
4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形＝_____；
5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形＝_____；
检查学生练习情况并点评。
例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB＝60°， 求AB的长（结果精确到0.1）
和扇形AOB的面积。（结果精确到0.1）
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足。

三、巩固练习。
教材练习。
四、应用拓展。
例3．（1）操作与证明：如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，
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圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边
被纸板覆盖部分的总长度为定值A。


（2）尝试与思考：如图，将一块 半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为n的正三角
形或边长为n的正五边形的中心点处，并将纸板绕 O点旋转，当扇形纸板的圆心角为直角时，
正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆 心角为 时，正五边形的边
长被纸板覆盖部分的总长度也为定值A。
（3）探究与 引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为n的正n边
形的中心。点处，若将纸板绕 。点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正n边形的边
被纸板覆盖部分的总长度为定值 n，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若
为定值，写出它与正边形面积S之间的关系 （不需证明）；若不是定值，请说明理由。



【第二课时】
【教学目标】
1．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方 法，并会
应用公式解决问题。
2．通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和 全面积的计算公式以及应
用它解决现实生活中的一些实际问题。
【教学重点】
圆锥侧面积和全面积的计算公式。
【教学难点】
探索两个公式的由来。
【教学过程】
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一、复习引入。
1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点。
2．问 题（1）一种太空囊的示意图如图，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球
大气层时与空气摩擦 后产生的高热，那该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的。
提示：太空囊要接受热处理的 面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，圆柱的侧面积和底
圆的面积。这三部分中，第二部分和第三部分 我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积，
到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探 究它。
二、探索新知。
我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理，我们也 把连接圆锥顶点和底
面圆同上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
（学生分组讨论，提问二三位同学）
问题（2）与圆柱的侧面积求法一样，沿圆锥一条母线将 圆锥侧面剪开并展平，容易得到，
圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为 r，如图，那么这个扇形
的半径为 ，扇形的弧长为 ，因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 。
例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽 的底面周长为58cm，
高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精 确到0.1cm
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）
分析：只要计算纸帽的侧面积。
例2．已知扇形的圆 心角为120°，面积为300πcm
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。（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇
形卷 成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
三、归纳小结（学生归纳，点评）。

本节课应掌握：
1．什么叫圆锥的母线。
2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题。
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