涨停板选股公式圆弧计算公式及运用

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圆弧计算公式及运用
肈

膆
一. 教学内容：

螂
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积

薀

袇
二. 教学要求

芆
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

膃
2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点
重点：

莅

节

蚆
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

蚄

螀
难点：

虿
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

蒅

螁
［知识要点］
知识点1、弧长公式

蒈

蒂
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长
，于是可 得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：， 是

薅
说明：（1） 在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，
。 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成

膂
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

羀
知识点2、扇形的面积

膇
如图所示，阴影部分的面积就是半径 为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面
，所以圆心
。
积是它所在圆的面积的 一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积
角为1°的扇形面积是

蚅，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是
又因为扇形的弧长，扇形面积
。
，所以又得到扇形面
积的另一个计算公式：

薃
知识点3、弓形的面积

蚁
（1）弓形的定义：由弦及其所对的 弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓
形。

芀
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长

蚅
（3）弓形的面积

羃
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只 要
把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
聿
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，
当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，



羈

螅
当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （ ）
（结果用表示）
莄

分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝
∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以
螁
∠AOC，所以

螇
，
所以

袅

蒁
注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

艿

薆
圆周长

蕿
公

肄
式

蚄

羅
弧长

葿

袂
圆面积

莈

羁
扇形面积

膄

芃
（2）扇形与弓形的联系与区别
（2）扇形与弓形的联系与区别

膁

肇
图

芄
示

芄
面

节
积

蚂

肅

蕿

膀

莀

衿

莄
知识点4、圆锥的侧面积

肂圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
，圆锥的侧面 积，圆锥的全那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2
面积

蚇

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥 的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，
并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
蒄

肃
知识点5、圆柱的侧面积

蒀
圆柱的侧面 积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周
，圆柱的全面积长，若圆柱的底 面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积

蒆

知识小结：
圆锥与圆柱的比较

蒄
名称

膂
圆锥

葿
圆柱

薄

蚃
图形

薁

蚀


芈

由一个矩形旋转得到的，如矩形
ABCD绕直线AB旋转一周。
羂
图形的形成过程
由一个直角三角形旋转得到
的，如Rt△SOA绕直线SO
旋转一周。
螃

莂

图形的组成
侧面展开图的特征
面积计算方法
肇

一个底面和一个侧面
扇形
肇
两个底面和一个侧面
矩形

莃

袀

肀

膇

螄

薂

衿
【典型例题】

芇
例1. （2003.辽宁）如图所示，在同 心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，
则阴影部分的面积是（ ）

膅
A. B. C. D.

罿
例2. （2004·陕西）如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC ，BC，AB＝
，求阴影部分的面积。 10厘米，tan∠BAC＝

薈
例3. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内 接于
扇形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（ ）

例4. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，
以BC 为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。
莇

莁
例5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米

螁
（1）求扇形的弧长。

莆
（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？

蒇
【模拟试题】（答题时间：40分钟）

螂
一、选择题

腿
1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（ ）

荿
A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л

蒇
2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（ ）

膃
A. B. C. D.

袁
3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）

A. 90° B. C. D.180°

薇
4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， N．已知大圆
半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（ ）

薄
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍

荿
5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（ ）

膈
羇
A.

蚆
B.
C. D.

蚁
6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ）

肁
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ）

螆
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

蚆

8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能 拼成一个圆，且它们的侧面积之比为
1∶2，则它们的高之比为（ ）
肂

A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：

蝿
9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC 为底面圆半径，BC为高的圆
锥的侧面积为S
1
，以BC为底面圆半径，AC为高的圆 锥的侧面积为S
2
，则（ ）

袆
A. S
1
＝S
2
B. S
1
> S
2
C. S
1
< S
2
D. S
1
、S
2
的大小关系不确定

蒃
二、填空题
蕿

1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积
是 cm
2
.
芁

蒈
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 .
3. 已知扇形面积是12cm
2
，半径为8cm，则扇形周长为 .

羆

4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt △ABC绕直线AC旋转一周得到一
个圆锥，其全面积为S
1
；把Rt△ABC绕AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S
2
，则
S
1
： S
2
＝ 。

蚈
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2 cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥
形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这 个扇形的半径至少要有 cm。

袄
6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是的三等分点，则
阴影部分的面积是 。

肆
7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则
阴影部分面积为 。

芅
三、计算题

芇
1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A为圆心画弧，交AB于点D，交AC延
长线于点F，交B C于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л
取3）。

荿
2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S
1
，另一个圆 锥的侧面积是S
2
，
莀
如果圆锥和圆柱等底等高，求．

肆
3. 圆锥的底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆< br>锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度．

莁
【试题答案】


膂
一、选择题

肈
1. A

膆
2. B

螂
3. C

薀
4. D

袇
5. B

芆
6. B

膃
7. B

节
8. C

蚆
9. B
二、填空题

蚄
1、24 144

螀

莅

2、40°
3、19cm
4、3：4
5、3
6、2
7、2－4
三、计算题
1、连接AE，则，所以
2、
3、连接展开图的两个端点MM'，即是最短长度。
利用等量关系得出∠MAM′＝120°，∠AMD＝30°，AD＝，
例题1
分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为
，
所以
故答案为：B.
例题2分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角
形的知 识（3）组合图形面积的计算。
解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10， tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝
设BC＝3k，AC＝4k，（k不为0，且为正数）

由勾股定理得
所以BC＝6，AC＝8，

，而
所以
例题3分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，
OD＝，
，设两部分阴影的面积中的因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以
一部 分为M，另一部分为N，则，阴影部分面
积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部 分空白面积为P，
因为∠BOD＝∠DOC，所以
所以M＝P，所以
答案：。
例题4分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和
圆锥组成 的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。
解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2
CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4
在△CDH中，
所以
例题5分析：（1）由扇形面积公式

，可得 扇形半径R，扇形的弧长可
由弧长公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为 等腰
三角形ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C＝2r，
底面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得，所以
可求。
解：（1）设扇形的半径为R，
由，得，解得R＝30.
所以扇形的弧长（厘米）。
（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30 ，BC＝2r，底面圆周长C＝
2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以
在Rt△ADC中 ，高AD＝
所以轴截面面积

（平方厘米）。

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For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
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использоваться в коммерческих целях.


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