噪声计算公式圆锥的侧面积、全面积

圆中的计算问题

【知识梳理】
（一）弧长和扇形的面积
1. 弧长的计算公式
如果弧长为
l
，圆心角度数为
n
， 圆的半径为
r
，那么，弧长的计算公式为：
．
2. 扇形的面积公式 < br>如果设圆心角是
n
°的扇形面积为
S
，圆的半径为
r
，那么扇形面积为

说明：⑴对于弧长公式和扇形面积公式，无须死记硬背，应在明确其“来历”的基础上理解掌握． ⑵在应用弧长公式或扇形面积公式进行计算时，要注意公式中的的意义，表
示1°的圆心角的倍数， 因此不带单位．
⑶扇形的另一个面积公式

（二）圆锥的侧面积和全面积
与三角形的面积公式有些类似．形式基本一样，可以联系起来记忆．
如图，我们把圆锥底面圆 周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连结顶点与底面圆心的线
段叫做圆锥的高．

如图，沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的 一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积
就是它的侧面积与它的底面积的和．
说明：⑴研究 圆锥的侧面积和全面积，必须先将其展开．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径
是圆锥的母线长， 弧长是圆锥底面圆的周长．
⑵若设圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积就是其展开图——扇 形的面积，
；圆锥的全面积是侧面积与底面积的和，是
长，还可以求得扇形的圆心角．

【典型例题】
[来源:Z§xx§]
．另外，知道扇形的半径和弧

例1. 如图，一块长为8的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点A按逆时针方向旋转到ADEF的 位置，
则顶点C从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A. 16 ； B. 16； C. 8； D. 4

分析：在旋转过程中，AC的长度保持不变，所以 顶点C从开始到结束所经过的路径长是以A为圆心，
AC长为半径的90°的弧长，因为AC＝8，所以 ，
，故选D．

例2. 如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D互相外离，它们的半径 都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，
则图中四边形内的四个扇形面积之和为（ ）
A. 2； B. ； C. ； D.

分析：根据题中 的条件无法求出四个扇形的圆心角的度数，因而从整体考虑，可以发现四个扇形的圆
心角分别是四边形的 四个内角，所以四个扇形的圆心角的度数之和为360°，故选B．

例3. 如图，如果圆锥的底面圆的半径是8，母线长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的
度数是 ．
[来源:学科网]


分析：由圆锥的底面圆的半径是8，可以求出底面 圆的周长，也就是扇形CAB的弧长，再利用弧长公
式即可求扇形的圆心角的度数．
解：∵圆锥底面圆的半径是8，
∴
∵母线长为15

∵
∴
∴圆心角的度数为192°．

例4. 如图，一把纸扇完全打 开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽
BD为17cm，则 贴纸部分的面积为_______．（结果保留π）

分析：扇形面积公式有两个，一是，另 一个是，贴纸部分的面积实际是由两个扇
形的面积相减所得．由解意很容易列出关于所求贴纸部分的面积 ：
π（cm）．

[来源:]
＝187
2

例5. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的
半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为
A. R＝2r B. R＝r
C. R＝3r D. R＝4r

分析：注意题中的“底面圆的半径”与“扇形的半径”是两个不同的概念．要找到圆的半径与扇形半径之间的关系，需要得到一个等量关系，由圆锥的有关概念，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr＝πR
∴R＝4r ∴答案选D

例6. 如图所示，半径是 10cm的圆纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形（图中阴影部分），用剩下部
分围成一圆锥，求圆 锥的高和底面圆的半径．

分析：首先，根据题意画出圆锥体的示意图，从图中可知，要求圆 锥的底面圆的半径需求出其所在圆
的周长，而底面圆的周长为左图中剩下扇形的弧长，这样转化到求弧长 的问题；关于圆锥的高，只要由底
面半径与圆锥的母线长构造直角三角形即可．
解：如答图中的甲、乙图，∵n＝360°－120°＝240°，R＝10cm，如图（甲）所示，
（cm）
如图乙中连结O′P，则O′P⊥CD，设⊙O′半径为r，
∵，
∴，∴r＝（cm）
∴ O′P＝

（cm）
例7. 已知矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC长为半径作
延 长线于E，求阴影部分面积．
圆弧交AD于F，交BA的

分析：要求阴影部分面积，只须将它转化为求规则图形的面积的和差，故需连结BF，

解：连结BF
∵BC＝2，F点在以B为圆心，BC为半径的圆上
∴BF＝2
∵矩形ABCD，AB＝1，BF＝2
∴∠ABF＝60°
∴
来源学科网



∴
＝
答：阴影部分面积为

．
例8. 如图已知圆锥的底面半径r＝10cm，母线长为40cm．
⑴求它的侧面展开图的圆心角和表面积；
⑵若一只甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，它所走的最短路程是多少？

分析：⑴把圆锥的侧面沿母线SA展开，如图

则的长为2πr＝20π，SA＝40
所以20π＝
所以n＝90°

所以圆锥的侧面展开图的圆心角是90°
S
表面
＝S
侧
＋ S
底
＝＋π·10＝500π（cm）
22
⑵由圆锥的侧面展开图可见，甲 虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路程
是线段AB的长
在Rt△ASB中，∠ASB＝90°，SA＝40，SB＝20
所以AB＝＝20cm < br>，甲虫所走的最短路程长20答：圆锥的侧面展开图的圆心角是90°，圆锥的表面积是500π
cm．

[来源:学.科.网]

例9. 如图，扇形OAB的圆心角为9 0°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个封
闭图形的面积，那么P和Q的大 小关系是（ ）
A. P＝Q； B. P＞Q； C. P＜Q； D. 无法
确定．

分析：本题中两个封闭图形的面积不 易直接求，可用代数方法来求，根据图形的对称性，另两个封闭
图形的面积相等，不妨设为M，再设OA ＝2r，由图形可得M＋Q＝
故选A．
，2M＋P＋Q＝，解得P＝Q ，
[方法 探究]在一个问题不能直接解决的情况下，就要善于从另一个角度来寻找其它的途径．本题是通
过设未知 数，把几何问题转化为代数问题，即通过方程思想，使问题迎刃而解．

例10. 如图， 秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处
时踩板离地面 2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？

解析：由题意要求 圆弧BF的长，只要求得圆心角∠BAF的度数即可，根据左右对称，所以将∠BAC置
于一个直角三角 形中来计算其度数．过点B作BE⊥地面于点E，作BG⊥AD于点G，则有GD＝BE＝2，又AD
＝ AC＋CD＝3.5，所以AG＝1.5，则在RtΔABG中，AB＝3，AG＝1.5，所以∠BAC＝60 °，所以∠BAF＝120°．则
弧BF的长＝

＝2π≈6.3（米）．
例11. 如图是某学校田径体育场一部分的示意图，第一条跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道， 直道
为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆型，弯道与同心的半圆型，弯道与直道相连接．已知直道B C的
长为86.96米，跑道的宽为1米（
⑴求第一条跑道的弯道部分
＝3.14，结 果精确到0.01米）
的半径；
⑵求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？
⑶若进行200米比赛，求第六道的起点F与圆心O的连线FO与OA的夹角∠FOA的度数．

解析：⑴弯道的半圆周长为＝113.04（米），由圆周长L＝2r，所以半圆弧线长，则第一道弯道部分的半径r＝＝36.00（米）
⑵第二道与第一道的直跑道长相等，第二道与 第一道的弯跑道的半径之差为1米，第二道与第一道的
弯跑道长的差即为两圆周长之差，
即2（r＋1）－2r＝2＝6.28（米）．
⑶从第一道200米，是以A点为始点，第六 道上的运动员需要跑86.96米的直道和113.04米的弯道，
即弧长为113.04米，又第六道 弯道半圆的半径为41米，
由弧长与半圆、圆心角的关系得n＝
所以∠FOA＝180°－1 58.05°＝21.95°．

，
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 一个扇形的弧长是20πcm，面积是240π，则扇形的半径是（ ）
A. 6cm B. 21cm C. 24 cm D.
cm
2. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D.
180°
3. 底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是（ ）
A. 7. 5π B. 12π C. 15π D. 24π
4. 扇形的半径OA＝20cm，∠AOB＝135，用它做成一个圆锥的侧面，此圆锥底面的半径是（ ）
A. 3.75cm B. 7.5cm C. 15cm D. 30cm
5. 如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则圆中的三个扇形即 （三个阴影部分）的面
积之和为（ ）
A. B. C. D.

6. 一个圆锥的底面积是25π，母线长13cm，则这个圆锥的侧面积是 ．
7. 一个圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆，则这个圆锥的全面积是________．
8. 如图所示，已知⊙
AOB的周长和面积．
内切于扇形AOB，切点为C、D、E，⊙的面积为16，∠AOB＝60°，求扇形

9. 如图所示是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆
相切并交外圆于A、B两点，测量结果为AB＝30cm， 求管道阴影部分的面积为多少？