扬程计算公式高考三角函数专题(3个)

三角函数专题
1
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
__ _________

一、知识点

1
、弦长和扇形面积公式：

，







2
、图像变换：



，先平移后伸缩，先伸缩后平移。

3
、

图像和性质：单调区间，对称轴和对称中心等。

二、练习

1.

《
九章算术
》
是我国古代数学成就的杰出代表作，其 中
《
方
田
》
章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积



弦

矢

矢



，弧田

如图

由圆弧和其所对弦围城，公
式中
“
弦
”
指圆弧所对弦长，
“
矢
”
等于半径 长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角

，半
径为
6
米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是




A.
16
平方米
B.
18
平方米
C.
20
平方米
D.
25
平方米
2.

如图，圆锥的底面直径

，母线长

，点
C
在母线长
VB
上，
且

， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点
A
到点
C
，则这只蚂蚁爬行
的最短距离 是









A.



3.

要得到函数


B.





C.





D.



的图象，只需将函数的图象上所有的点
A.
横坐标伸长到原来的
2
倍

纵坐标不变

，再向左平行移动

个单位长度
B.
横坐标伸长到原来的
2
倍

纵坐标不变

，再向右平行移动

个单位长度
C.
横坐标缩短到原来的


纵坐标不变

，再向右平行移动

个单位长度
D.
横坐标缩短到原来的


纵坐标不变

，再向左平行移动

个单位长度
4.

函数





的最小正周期为

，若其图象向左平移

个单位
后得到的函数为奇函数，则函数

的图象









A.
关于点



对称
C.
关于直线对称

B.
关于点



对称
D.
关于直线


对称






为



为

的零点，
5.

已知函数





，
图象的对称轴，且

在





上单调，则

的最大值为




A.
11

B.
9


C.
7


D.
5

6.

将函数







的图象向左平移

个单位长度，再向上平移
1
个单位长
度，得到函数

的图象，则函数

具有性质
______
填入所有正确性质的序号



最大值为


，图象关于直线


对称；


图象关于
y
轴对称；


最小正周期为

；


图象关于点



对称；


在



上单调递减．
7.

如图为函数



的部分图象．







求函数解析式；


求函数

的单调递增区间；


若方程

在



上有两个不相等的实数根，则实数
m
的取值范围．






8.

已知函数，

．



求函数

的单调区间；

若把

向右平移

个单位得到函数

，求

在区间



上的最小值和最大值．




9
、
计算：


已知扇形的周长为
10
，面积是
4
，求扇形的圆心角．


已知扇形的周长为
40
，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？


三角函数专题
2
解三角形，求面积，求最值。

1
、在

中，角
A
，
B
，
C
对的边分别为
a
，
b
，
c
，且

，


．


求

的值；



若

，求

的面积










2
、

的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知




．


求
cos
B
；


若

，

的面积为
2
，求
b
．








3
、在

中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b，

已知




Ⅰ

证明：



Ⅱ

若

的面积




，求角
A
的大小．












，
4
、

，如图，在

中，点
D
在边
BC
上，且

，




．


求



；


求
BD
，
AC
的长．





多个三角形


5
、



，

，如图，在

中，点
P
在
BC
边上，

．


Ⅰ

求


；


Ⅱ

若

的面积是



，求



．


多个三角形



6
、

中，角< br>A
，
B
，
C
所对边分别是
a
，
b< br>，
c
，且．


求的值；


若



，求

面积的最大值．



最值问题




7、设 的内角A、B、C的对边长分别为a、b、 设S为 的面积，满足










．
Ⅰ 求B；
Ⅱ 若

，求

的最大值．

最值问题





8、如图，
OAB
是一块半径为
1
，圆心角为

的扇形空地

现决定在此空地上修建一个矩
形的花坛
CDEF
，其中动点
C
在扇形的弧
AB
上，记

Ⅰ

写出矩形
CDEF
的面积
S
与角

之间的函数关系式；


Ⅱ

当角

取何值时，矩形
CDEF
的面积最大？并求出这个最大面积．

．


三角函数应用
9、某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为 ，且跑道所在的直线与海岸
线l的夹角为60度 海岸线可以看作是直线 ，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的
距离

；D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设 ，点D对跑道AB
的视角为 ．

将 表示为x的函数；
求点D的位置，使 取得最大值．

三角函数应用







三角函数专题
3
—真题

一、填空题（本大题共
2
小题，共
10.0
分）
1、若

的内角满足



，则
cos
C
的最小值是
______
．








，

，2、在平面四边形
ABCD
中，则
AB
的取值范围是
__ ______
．

二、解答题（本大题共
3
小题，共
36.0
分）
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，（简 单）3、在

中，内角
A
，已知








．


Ⅰ

求角
C
的大小；


Ⅱ

已知

，

的面积为
6
，求边长
c
的值．




B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，

已知

，4、在

中，内角
A
，








，




．


Ⅰ

求角
C
的大小；


Ⅱ

若


，求

的面积．




5、如图，
O
，
P
，
Q
三地有直道相通，

千米，

千米，

千米，现甲、乙
两警员同时 从
O
地出发匀速前往
Q
地，经过
t
小时，他们之间的距离为

单位：千米

甲
的路线是
OQ
，速度为
5
千米

小时，乙的路线是
OPQ
，速度为
8
千米

小时，乙到达
Q
地
后在原地等待．设


时乙到达
P
地，


时乙到达
Q
地．






求


与



的值；


已知警员的对讲机的有效通话距离是
3
千米，当




时，求

的表达式，并判
断

在





上的最大值是否超过
3
？说明理由．









6、如图，为保护河上古桥
OA
，规划建一座新桥
BC
，同时设立一个圆形保护区，规划要求：
新桥
BC< br>与河岸
AB
垂直；保护区的边界为圆心
M
在线段
OA
上并与
BC
相切的圆，且古桥
两端
O
和
A
到该圆上 任意一点的距离均不少于
80
m
，经测量，点
A
位于点
O< br>正北方向
60
m
处，点
C
位于点
O
正东方向
170
m
处

为河岸

，




．


求新桥
BC
的长；


当
OM
多长时，圆形保护区的面积最大？














三角函数
1
（答案和解析）



1.
【答案】
C

【解析】【分析】

本题考查三角函数的应用，属于基础题．

在

中，由题意

，



，即可求得< br>OD
，
AD
的值，根据题意可求矢和
弦的值，利用公式计算求值即可．

【解答】



解：如图，由题意可得：





，

，



在

中，可得：



，



，





，

可得：矢

，


由







，


可得：弦





，

所以：弧田面积



弦

矢

矢












平方米．

故选
C
．

2.
【答案】
B



【解析】【分析】

本题考查平面展开

最短路径问题，属于中档题．

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，化曲 面为平面，进而根据
“
两点之间线段
最短
”
用勾股定理解决，得出结 果．

【解答】

解：由题意知，底面圆的直径为
2
，故底面周长等于

，


设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为

，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，

，



解得：



，








则



，


，

过
C
作

，


，



，





，


，










，


，


，



，

在

中，利用勾股定理得：





，

则



．

故选
B
．

3.
【答案】
B







【解析】【分析】


本题主要考查三角函数的诱导公式和函数

的图象变换规律，属于基础题．
由
【解答】

解：将函数








的图象上所有的点的横坐标变为原来的
2
倍，

得到
再向右平行移动

个单位长度，即可得到
故选
B
．

4.
【答案】
C


可得解．

，

的图象．


【解析】【分析】

本题主要考查函数

的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档
题．

利用函数

的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．

【解答】

解：

函数





的最小正周期为


，





解得

，

其图象向左平移

个单位后得到的函数为









，

再根据





为奇函数，




，

，即


，

又因为


，

可取


，

故





，

当








时，



，且


不是最值，




故

的图象不关于点



对称，也不关于直线


对称，故排除
A
、
D
，

当


时，






，是函数的最小值点，

故

的图象不关于点



对称，但关于直线


对称．

故选
C
．

5.
【答案】
B




【解析】【分析】

本题考查正弦型函数的图象和性质的综合运用，本题转化困难，属于中档题．

根据已知可得

为正奇数，且

，结合


为

的零点，


为

图象的
对称轴，求出满足条件的解析式，并结合

在





上单调，可得

的最大值．

【解答】

解：


为

的零点，


为

图象的对称轴，









，即






，

，


即

，

，即

为正奇数，


在





上单调，则







，

即






，解得：

，




当

时，



，

，




，


，



此时

在





不单调，不满足题意；

当

时，






，

，




，


，

此时

在





单调，满足题意；

故

的最大值为
9
，

故选
B
．

6.
【答案】




【解析】【分析】

本题考查函数

的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．

利用函数

的图象变换规律，求得

的解析式，再利用余弦函数的图象和
性质，得出结论．

【解析】

解：将函数







的图象向左平移

个单位长度，

得到











的图象；

再向上平移
1
个单位长度，得到函数



的图象．

对于函数



：

它的最大值为


，由于当


时，


，不是最值，


故

的图象不关于直线


对称，故

错误；

由于该函数为偶函数，故它的图象关于
y
轴对称，故

正确；

它的最小正周期为


，故

正确；

当


时，

，故函数的图象关于点



对称，故

正确；

当



时，

故答案为

．












，

单调递增，故

错误，

7.
【答案】解：

由题中的图象知，

，







，

即

，所以





，


根据五点作图法，令





，

得到



，



，







，


解析式为



；


令






，

，

解得




，

，


的单调递增区间为





，

；


由



在



上的图象如下图所示：








当



，则








，



所以当方程

在



上有两个不相等的实数根时，

观察函数的图象可知，



上有两个不同的实根．


【解析】本题考查了由三 角函数图象求解析式以及利用正弦函数的性质求单调区间以及数形
结合求参数范围，熟练掌握三角函数的 图象和性质是解答的关键；属于中档题


由已知图象求出振幅、周期和相位，求得解析式；


由

的解析式，结合正弦函数的性质求单调增区间；


利用数形结合求满足条件的
m
的范围．

8.
【答案】解：





，






，

令






，

，

得




，

，

可得函数

的单调增区间为





，

；

令





得












，

，

，

，


可得函数

的单调减区间为







，

；


若把函数

的图像向右平移

个单位，

得到函数

，



的图像，









，

．


故

在区间



上的最小值为

，最大值为
1
．



【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数

的图象性质和 最值，考
查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．


利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数

的解析式，再利用正弦函数的单调性，
求得函数

的单调区间；


利用函数

的图象变换规律求得

的解析式，由
x
的范围求出

的范围，即可利用正弦函数的性质求出

的范围．

9
、
【答案】解：

解：设扇形的弧长为：
l
，半径为
r
，所以

，

又

扇形



，解得：

，

，


扇形的圆心角的弧度数是：



；


设扇形的半径和弧长分别为
r
和
l
，

由题意可得

，


扇形的面积











．


当且仅当

，即

，

时取等号，

此时圆心角为



，


当半径为
10
圆心角为
2
时，扇形的面积最大，最大值为
100
．< br>





【解析】本题主要考查扇形的周长与 扇形的面积公式的应用，考查了基本不等式的应用
以及学生的计算能力，属于基础题．
根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，
进而根据公式

求出扇形圆心角的弧度数．
由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得 ，扇形的面积



，
由基本不等式可得．








三角函数2（答案）
1.
【答案】解：

由正弦定理可设













所以

所以















，








，





．




由余弦定理得

，

即





，

又

，所以

，

解得

或

舍去


所以









．






















【解析】

根据正弦定理求出












，然后代入所求的式子即可；




由余弦定理求出

，然后根据三角形的面积公式求出答案．

本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三
角形面积公式 及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．

2.
【答案】解：





，

，


，







，







，






，


，


为三角形内角，则

，




．

，


由

可知





，





，

























由余弦定理可得，








，


．


【解析】本题考查了三角形的内角和定理，半角公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于< br>基础题．


利用三角形的内角和定理可知

，再利用诱导公式化简


，利用半
角公式化简



，结合





，求出
cosB
．


由

可知


，利用三角形 面积公式求出
ac
的值，再利用余弦定理变形即可求出
b
．



3.
【答案】

Ⅰ

证明：

，


，




，


，




，


，
B
是三角形中的内角，

，

，


或

，


不合实际

或

，

即原题得证．


Ⅱ

解：

的面积






，



，


，


，

又

，

，


或

，


当


时，




当


时，


．

综上，


或


．






【解析】本题考 查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的
运用，属于中档题．
Ⅰ 利用正弦定理，结合两角和的正弦公式，即可证明 ；
Ⅱ 若 的面积
大小．


，则






，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的


4.
【答案】解：

在

中，





，






















，






则




























．



在

中，由正弦定理得，

在

中，由余弦定理得














，

即

．



【解析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．


本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．


5.

【答案】解：

Ⅰ


在

中，因为



，

，

，

由余弦定理得








，

所以







，

整理得

，

解得

，所以

，

所以

是等边三角形，所以



．


Ⅱ


法
1
：由于


是

的外角，

所以



，因为

的面积是
所以













，

，所以

，

在

中，由余弦定理可得


















，

所以



，

在

中，由正弦定理得









，





所以







．




法
2
：作

，垂足为
D
，


因为

是边长为
2
的等边三角形，

所以






，

因为

的面积是
所以






，





，


所以

，所以

，

在

中，








，

所以







，









，




所以








































．



【解析】本题主要考查了余弦定 理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数的定义，两角差
的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了 计算能力和数形结合思想，考查了转化思想，
属于中档题．


Ⅰ


在

中，由余弦定理得

，解得

，可得

是等边三角
形，即可得解．


Ⅱ


法
1
：由已知可求



，利用三角形面积公式可求

，进而利用余弦定
理可求
AB
，在

中，由正弦定理可求







的值．

法
2
：作

，垂足为
D
，可求：






，利用三角形面积公
式可求
PB
，进而可求
BD
，
AB
，利用三角函数的定义可求







，









利用两角差的正弦函数公式可求









的值．




6.
【答案】解：




































．





在

中，


，

可得：








，



由余弦定理可得


















，

即有






，当且仅当


时，取得等号，

则

面积














，



即有


时，

的面积取得最大值

．



【解析】本题考查三 角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的
余弦定理和面积公式，以及基本不 等式的运用，属于中档题．


利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；


运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．

7.
【答案】解：

Ⅰ



，










，即





，


由









变形得：



，


整理得：



，又


；


Ⅱ

，

由正弦定理知










，








，




，


















，



当且仅当


时取最大值，

故



的最大值为



．



【解 析】本题考查三角形面积公式正弦定理、余弦定理和三角函数的化简，正弦函数的
图象和性质，属于中档 题．
Ⅰ 利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式求出tan B
的值，即可求出B；
Ⅱ 先求出A的范围，再根据正弦定理表示出a，c，根据两角和差 的正弦公式，正弦函数
的图象和性质即可求出最大值．


8.
【答案】解：

Ⅰ




，



，









，

，

．


Ⅱ




















，


，









，


当，即时，矩形
CDEF
的面积
S
取得最大值

．





【解析】本题考查在实际问题中建立 三角函数模型，解题关键是根据图形建立起三角模型，
将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属 于中档题．


Ⅰ

先把矩形的各个边长用

表示出来，进而表示出矩形的面积；


Ⅱ

化简函数，利用

的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值．

9.
【答案】解：

设

，点
D
对跑道
AB
的视角为

．

过
A
作

于
D
．

因为
AB
的长为

，且
AB
所在的直线与
CD
的夹角为


，

所以






．


当


时，如图
1
：








，

在

中，










，





















．



当


时，如图
2
：





，

在

中，





，



















．

综上，








































．


当


时，



，符合上式，













．

所以














因为

















，











而
















，

当且仅当






，即

时，等号成立，

所以当

时，

取得最大值









．


又因为函数

在

上是增函数，

所以当

时，

取得最大值．

答：在海湾一侧的海岸线
CT
上距
C
点
6km
处的
D
点处观看飞机跑道的视角最大．< br>

【解析】本题考查了解三角形的应用，两角和与差的三角函数公式，正切、余切函数 的
图象与性质，利用基本不等式求最值，分类讨论思想和三角函数模型应用．
利用解直角三角形，结合对x的讨论得


计算得函数








；
利用基本不等式求最值得当 时， 取得最大值

，再利用正切函数在



上的
单调性得结论．


















，再利用两角差的正切函数公式
三角函数专题3—真题答案


1.
【答案】





【解析】解：由正弦定理得



，得





，

由余弦定理得
































































，


当且仅当




时，取等号，


故






，故
cosC
的最小值是








．


故答案为：

．



根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．

2.
【答案】











【解析】【分析】

本题考查求
AB
的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计
算能力，属于中档题．

【解答】

如图所示，延长
BA
，
CD
交于点
E
，则

在

中，



，



，



，


设




，







，




，

，


，










，












，


，

而



















，


的取值范围是










故答案为：










3.
【答案】解：

Ⅰ

中，








，







，




，

即




，







，


，



．


Ⅱ

已知

，

的面积为









，




，




















．




【解析】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中
档题．


Ⅰ

中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得


，从


而得到


，由此可得
C
的值．



Ⅱ

根据

的面积为



求得
a
的值，再利用余弦定理求得
c
的值．

4.
4.


Ⅰ

中，

，【答案】解：



，









，

















，


即





，即




．


，

，

，




，



，


．









Ⅱ


，


，


，或



由正弦定理可得，



，即




舍去

，




．








，


．








的面积为

















，





．



【解析】

Ⅰ

中，由条件利用二倍角公式化简可得




．

求得

的值，可得

的值，从而求得
C
的值．


Ⅱ

由


求得
cosA
的值．再由正弦定理求得
a
，再求得


的值，
从而求得

的面积为


的值．

本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．




5.
【答案】解：

根据条件知




，设此时甲到达
A
点，并连接
AP
，如图所示，则





；





在

中由余弦定理得，

























千米

；




可以求得




，设
t
小时后，且



，甲到达了
B
点，乙到达了
C
点，如图所示：

则

，

；


在

中由余弦定理得，










；

即




，



；

设

，



，

的对称轴为







；

且












；





即

的最大值为

，则此时

取最大值
即

在





上的最大值不超过
3
．



；

【解析】

用
OP
长度除以乙的速度即可求得




，当乙到达
P
点时，可设甲到达
A
点，
连接
AP
，放在

中根据余弦定理即可求得
AP
，也就得出



；


求出




，设





，且
t
小时 后甲到达
B
地，而乙到达
C
地，并连接
BC
，能够用
t
表示出
BQ
，
CQ
，并且知道




，这样根据余弦定理即可求出
BC
，即

，然后





求该函数的最大值，看是否超过
3
即可．

考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．

6.
【答案】解：

如图，


过
B
作

于
E
，过
A
作

于
F
，





，



，






，







．

设

，则

．









，


，

，


．




，







．




．


，







解得：

．


，

，

则

；


如图，

设
BC
与

切于
Q
，延长
QM
、
CO
交于
P
，







，






．

设

，则



，







，









设

半径为
R
，






、
O
到

上任一点距离不少于
80m
，

则

，

，





，



．

解得：

．


当且仅当

时
R
取到最大值．


时，保护区面积最大．


【解析】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位 置关系，解答的关键在于对题意的理
解，是中档题．
在四边形AOCB中，过B作 于E，过A作 于F，设出AF，然后通过解
直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；
设BC与 切于Q，延长QM、CO交于P，设 ，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，
得到x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．