因式分解公式法三次方程求根公式

一元三次方程求根公式
三次方程新解法——盛金公式解题法
Shengjin’s Formulas
and Shengjin’s Distinguishing Means
and Shengjin’s Theorems from the Writings
to introduce to you and to solving a problem in mathematics
盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方 程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相
应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛 金推导出一套直接
用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新
判别法。
盛金公式
Shengjin’s Formulas
一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b－3ac；
B=bc－9ad；
C=c－3bd，
总判别式：
Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：
X1=X2=X3=－b(3a)=－cb=－3dc。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：
X1=(－b－(Y1＋Y2))(3a)；
X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)(6a)；
其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula
③）：
X1=－ba＋K；X2=X3=－K2，
其中K=BA，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：
X1= (－b－2Acos(θ3) )(3a)；
X2，3= (－b＋A(cos(θ3)±3sin(θ3)))(3a)；
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)(2A)，(A>0，－1 盛金判别法
Shengjin’s Distinguishing Means
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理
Shengjin’s Theorems
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时 ，盛金公式③无意义；当A≤0
时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0
的值 ？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B= 0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重
实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理 7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适
用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金
公式④解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现
的值必 定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运
用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s for
mula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。
与卡尔 丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率
较高；盛金判别法判别方程 的解较直观。重根判别式A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c
－3bd是最简明的式子，由A、 B、C构成的总判别式Δ=B－4AC也是最简明的式子
（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程 的根的判别式相同；盛金公式②中的
式子(－B±(B－4AC))2具有一元二次方程求根公式的形式 ，这些表达形式体现了数学
的有序、对称、和谐与简洁美。
以上结论，发表在《海南师范 学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；198
9年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46 -1014），第91—98页。范盛金，一元
三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINA
N TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，19
89）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one
variable cubic equation.
，
Fan Shengjin. PP·91—98 .
[编辑本段]
以下是传统解法






一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直 接把根表示出来
的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。
南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人
在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名
的。 （《数学九章》等）
一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表
在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实上，发现公式
的人并不 是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约1499~1557）.发现此公式后，
曾 据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生
兼数学家卡当得知塔塔 利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘
密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的 秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武
器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡当 千方百计地想探听塔
塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳
切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语
句晦涩的 诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。 卡当并没有信守自己的誓言，
1545年在其所著《重要 的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道：
这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布 里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求
之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种 证法。证法很难，我
把它叙述如下。从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。 塔塔利亚
知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无
异于背叛， 而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利
亚与卡当在米兰市的教堂进行了 一场公开的辩论。 许多资料都记述过塔塔利亚与卡
当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可信的是 ，名为卡当公式的一元三次方程
的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔 利亚及许多
文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法
的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证
明过程是卡当自己给 出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔利亚泄露
给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密 公之于世，加速了一元三次方程求根公式的
普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，公式的 名称，还是应该称为方
塔纳公式或塔塔利亚公式；称为卡当公式是历史的误会。 一元三次方程应有三个 根。
塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加
深， 到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。

塔 尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤
了头部和舌头，从此说话 结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，
这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫 了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到
了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人 各出30道题，由对方去
解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出 来。
塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法
告诉他 ，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，
还发誓，永远不泄漏塔尔 塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元
三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当 不顾原来的信约，在他的著作《关于代
数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把 这个方法叫作“卡
当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。
至于一元四次方程ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生弗拉利
找到了。
关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，这里不介绍了。
一元三次、四次方程求根 公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，
三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没 有得到结果的人当中，不乏有大数
学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。
不过，对这个问 题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求
根公式。那么又是什么样的一元 n次方程才没没有求根公式呢？
不久，这一问题在19世纪止半期，被法国数学家伽罗华利用他创 造的全新的数
学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。
一元三次方程的求 根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方
程的求根公式的配方法只能将型如ax^3 +bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式
化为x^3+px+q=0的特殊型。
ax^3+bx^2+cx+d=0
为了方便，约去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令x=y-k3
代入方程(y-k3)^3+k(y-k3)^2+m(y-k3)+n=0


(y-k3)^3中的y^2项系数是-k
k(y-k3)^2中的y^2项系数是k
所以相加后y^2抵消
得到y^3+py+q=0
其中p=(-k^23)+m
q=(2k^327)-(km3)+n
一元三次 方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一
元二次方程及特殊的高次方程的求 根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的
形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三 次方程的求根公式的形式应该为x=A^
(13)+B^(13)型，即为两个开立方之和。归纳出了一 元三次方程求根公式的形式，下
一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方 法如下：
（1）将x=A^(13)+B^(13)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(13)(A^(13)+B^(13))
（3）由于x=A^(13)+B^(13)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(13)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(13) x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作
比较，可知
（5）－3(AB）^（13）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了 一元二次方程的求根公式问
题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如a y^2+by+c
=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（ba）,y1*y2=ca
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝ba，-（p3）^3＝ca
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(12)）(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(12)）(2a)
可化为
(11)y1＝－(b2a)-((b2a)^2-(ca))^(12)
y2＝－(b2a)+((b2a)^2-(ca))^(12)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝ba，-（p3）^3＝ca代入（11）可得
(12)A＝－(q2)-((q2)^2＋（p3）^3）^(12)
B＝－(q2)+((q2)^2＋（p3）^3）^(12)
(13)将A，B代入x=A^(13)+B^(13)得
(14)x=（－(q2)-((q2 )^2＋（p3）^3）^(12)）^(13)+（－(q2)+((q2)^2＋（p
3）^3）^ (12)）^(13)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该 有三个根，
不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
ax3+bx2+cx+d=0
记：
p=
（
27a2d-9abc+2b3
）
(54a3) q=(3ac-b2
）

（
9a2
）

X1=-b< br>（
3a
）
+
（
-p+
（
p2+q3
）
^(12))^(13)+
（
-p-
（
p2+q3
）
^(12))^(13)

下面介绍一个三次方求根计算方法：

f{m}=m(k+1)=m(K)+{A
㎡
.(k)-m(k)}1n.
n是方次，A被开方数。
例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。我们可以随意代入一个数m，
例如2，那么：
第一步，2+[5（2×2）-2]×13=1.7;
第二步，1.7+[5(1.7×1.7)-1.7]×13=1.71;
第三步，1.71+[5(1.71×1.71)-1.71]×13=1.709;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。