积化和差和差化积公式2.3 用公式法求解一元二次方程教案

2.3 用公式法求解一元二次方程

1．经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式的由来．
2．会用公式法求解一元二次方程(重点)．
3．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况．(重点)

阅读教材P41～43，完成下列问题：
(一)知识探究
1．对于一元二次方程a x
2
＋bx＋c＝0(a≠0)，当b
2
－4ac≥0时，它的根是____ ________．这个
式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为__ ______．
2．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由 ________来判定．我们把________叫
做一元二次方程ax
2
＋bx＋ c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．当b
2
－
4ac__ ______0时，方程有两个不相等的实数根；当b
2
－4ac________0时，方程 有两个相等
的实数根；当b
2
－4ac________0时，方程没有实数根．
(二)自学反馈
1．用公式法解方程3x
2
＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )
12±12
2
－3×4
A．x＝
2
－12±12
2
－3×4
B．x＝
2
12±12
2
＋3×4
C．x＝
2
－（－12）±（－12）
2
－4×3×4
D．x＝
2×3
2．用公式法解下列方程：
(1)2x
2
－4x－1＝0; (2)4x
2
－3x＋1＝0.

活动1 小组讨论
例1 推导求根公式：ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)．
bc
解：方程两边同时除以a，得x
2
＋x＋＝0.
aa
bc
移项，得x
2
＋x＝－.
aa

1

2
bb
2
cb
2
b
2b－4ac
配方，得x＋x＋()＝－＋()，即(x＋)＝.
a2aa2a2a4a
2
2
∵a≠0，所以4a
2
＞0.
b
当b－4ac≥0时，得x＋＝±
2a
2
b
2
－ 4acb
2
－4ac
＝±.
4a
2
2a
－b±b
2
－4ac
∴x＝.
2a
－b±b
2
－4ac
一般地，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0( a≠0)，当b－4ac≥0时，它的根是x＝.
2a
22
当b
2
－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
例2 解方程：
(1)x
2
－7x－18＝0； (2)4x
2
＋1＝4x.
解：(1)这里a＝1，b＝－7，c＝－18.
∵b
2
－4ac＝(－7)
2
－4×1×(－18)＝121＞0，
7±121
∴x＝，
2×1
即x
1
＝9，x
2
＝－2.
(2)将原方程化为一般形式，得4x
2
－4x＋1＝0.
这里a＝4，b＝－4，c＝1.
∵b
2
－4ac＝(－4)
2
－4×4×1＝0，
－（－4）±0
1
∴x＝＝，
2×42
1
即x
1
＝x
2
＝.
2
用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a，b，c值，再判断Δ的正负．
活动2 跟踪训练
1．在用公式法解方程2x
2
－9x＝－8时，b
2
－4ac的值为________．
2．如果关于x的方程x
2
－2x ＋k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
3．利用判别式判定下列方程的根的情况：
3
(1)2x
2
－3x－＝0；
2
(2)16x
2
－24x＋9＝0；
(3)x
2
－42x＋9＝0；
(4)3x
2
＋10x＝2x
2
＋8x.
4．用公式法解下列方程：

2

1
(1)x
2
＋x－12＝0; (2)x
2
－2x－＝0；
4
(3)x
2
＋2x＝0; (4)x
2
＋25x＋10＝0.
活动3 课堂小结
1．求根公式的概念及其推导过程．
2．公式法的概念．
3．应用公式法解一元二次方程．
4．一元二次方程根的情况．


【预习导学】
(一)知识探究
－b±b
2
－4ac
1．x＝ 公式法
2a
2．b
2
－4ac b
2
－4ac ＞ ＝ ＜
(二)自学反馈
1．D 2.(1)这里a＝2，b＝－4，c＝－1.∵b
2－4ac＝(－4)
2
－4×2×(－1)＝24＞0，∴x＝
4±（－4）2
－4×2×（－1）
4±2666
＝，即x
1
＝1＋，x2
＝1－.(2)这里a＝4，b＝－3，c
2×2422
＝1.∵b
2
－4ac＝(－3)
2
－4×4×1＝－7＜0，∴原方程无实数解．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．17 2.k＜1 3.(1)有两个不相等 的实数根．(2)有两个相等的实数根．(3)无实数根．(4)有
两个不相等的实数根．
4 ．(1)x
1
＝3，x
2
＝－4.(2)x
1
＝


2＋32－3
，x
2
＝.(3)x
1
＝0，x< br>2
＝－2.(4)无解.
22

3