公式法因式分解初三九年级数学用公式法求解一元二次方程

2.3 用公式法求解一元二次方程
基础题

知识点1 用求根公式解一元二次方程
1
1．利用求根公式求方程5x
2
＋＝6x的根时，a、b、c的值分别是( )
2
11
A．5，，6 B．5，6，
22
11
C．5，－6， D．5，－6，
22
2．方程x
2
－x－1＝0的一个根是( )
1－5
A．1－5 B.
2
－1＋5
C．－1＋5 D.
2< br>3．已知一元二次方程x
2
－x－3＝0的较小根为x
1
，则下面对x
1
的估计正确的是( )
A．－21
<－1 B．－31
<－2
C．21
<3 D．－11
<0
5
4．(陕西中考)若x＝－2是关于x的一元二次方 程x
2
－ax＋a
2
＝0的一个根，则a的值为( )
2
A．1或4 B．－1或－4
C．－1或4 D．1或－4
5．解方程：
(1)x
2
＋1＝3x；





(2)3x
2
＋2x＋1＝0.





知识点2 根的判别式
6．(铜仁中考)已知关于x的一元二次方程3x
2
＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．(河 北中考)若关于x的方程x
2
＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
8．(岳 阳中考)若关于x的一元二次方程x
2
－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝_____ ___．
9．对于二次三项式x
2
－10x＋36，小明同学得到如下结论：无论x 取何值，它的值都不可能是10.你是否同意他的
说法？请你说明理由．












知识点3 方案设计
10．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置 一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比
宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为 ( )
A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900
11．如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方 形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB
平行，另一条与AD平行，其余部分种花草 ，要使每一块花草的面积都为78 m
2
，那么通道宽应设计成多少米？设
通道宽为x m，则由题意列得方程为( )

A．(30－x)(20－x)＝78
B．(30－2x)(20－2x)＝78
C．(30－2x)(20－x)＝6×78
D．(30－2x)(20－2x)＝6×78
12．用一块长80 cm，宽60 cm的薄钢片，在四个角上各截去一个边长为x cm的小正方形，然后做成底面积为1 500
cm
2
无盖的长方体盒子，为了求出x，根据题意列出方程并整理后得____________．
[
中档题

13．(淄博中考)一元二次方程x
2
＋22x－6＝0的根是( )
A．x
1
＝x
2
＝2
B．x
1
＝0，x
2
＝－22
C．x
1
＝2，x
2
＝－32
D．x
1
＝－2，x
2
＝32
1
14．(达州中 考)方程(m－2)x
2
－3－mx＋＝0有两个实数根，则m的取值范围( )
4
55
A．m> B．m≤且m≠2
22
C．m≥3 D．m≤3且m≠2
15．若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)
2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为________________．
16．用公式法解方程：
(1)x
2
－3x＝5；





(2)(泰州中考)2x
2
－4x－1＝0.





17．(泰州中考)已知：关于x的方程x2
＋2mx＋m
2
－1＝0.
(1)不解方程，判别方程的根的情况；





(2)若方程有一个根为3，求m的值．







18．如图，在宽为20 米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要
551平方米 ，则修建的路宽应为多少米？








综合题

19．(淄博中考)关于x的一元二次方程(a－6)x
2
－8x＋9＝0有实根．
(1)求a的最大整数值；








(2)当a取最大整数值时，
①求出该方程的根；







②求2x
2
－

的值．
x
2
－8x＋11
32x－7


参考答案
基础题
1．C 2.B 3.A 4.B
5.(1)将原方程化为一般形式，得 x
2
－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b
2
－4ac＝(－ 3)
2
－4×1×1＝5＞0.∴x＝
－（－3）±53＋53－5
.∴x< br>1
＝，x
2
＝.
22
2×1
(2)∵a＝3，b ＝2，c＝1，∴b
2
－4ac＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．
9
6.B 7.B 8.
4
9.同意．理由如下：设x
2
－10x＋36＝10，∴x
2
－10x＋26＝0.∴Δ＝10
2
－4× 1×26＝－4＜0，即方程没有实数根．∴
无论x取何值，它的值都不可能是10.∴小明同学的说法 是正确的．
10.B 11.C 12.x
2
－70x＋825＝0
中档题
－1＋5－1－5
13．C 14.B 15.x
1
＝，x
2
＝
22
16.(1)将原方程化为 一般形式，得x
2
－3x－5＝0.∵a＝1，b＝－3，c＝－5，b
2
－ 4ac＝(－3)
2
－4×1×(－5)＝9＋20＝
－（－3）±29
3± 29
3＋293－29
29>0.∴x＝＝.∴x
1
＝，x
2
＝.
222
2×1
2＋62－6
4±262±6
(2)∵a＝2 ，b＝－4，c＝－1，∴Δ＝(－4)
2
－4×2×(－1)＝16＋8＝24.∴x＝＝. ∴x
1
＝，x
2
＝.
4222
17.(1)∵b
2
－4ac＝(2m)
2
－4×1×(m
2
－1)＝4＞0，∴方程 有两个不相等的实数根．
(2)将x＝3代入原方程，得9＋6m＋m
2
－1＝0， 解得m
1
＝－2，m
2
＝－4.
18.设道路宽为x米，由题意 ，得(30－x)(20－x)＝551，解得x
1
＝1，x
2
＝49(舍) ．答：修建的路宽应为1米．
综合题
19．(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x
2
－8x＋9＝0有实根， 70
∴a－6≠0，Δ＝(－8)
2
－4×(a－6)×9≥0.解得a≤且a≠ 6.∴a的最大整数值为7.
9
(2)①当a＝7时，原一元二次方程变为x
2－8x＋9＝0，∴Δ＝(－8)
2
－4×1×9＝28.
－（－8）±28< br>∴x＝，即x＝4±7.∴x
1
＝4＋7，x
2
＝4－7.
2
②∵x是一元二次方程x
2
－8x＋9＝0的根，∴x
2
－8x＝ －9.
32x－732x－7
77729
∴2x
2
－
2< br>＝2x
2
－＝2x
2
－16x＋＝2(x
2
－8x) ＋＝2×(－9)＋＝－.
2222
x－8x＋11－9＋11