电机转速公式求实系数一元三次方程根的实用定律

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求实系数一元三次方程根的实用公式



在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿
用“卡丹公式”，即：对于一元三次方 程：

设，

则它的三个根的表达式如下：







其中，

我们先用该公式解一个一元三次方程：
解：
p
= 9，
q
=6，
T
= 3，
D
=
原方程的三个根为





。

18，

* *


这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：

其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、
、表达式不明确。

其二、当时，以及（如此例中的）违背了
现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。

因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、
不直观、不严密的。

下面我们推导一个实用的改进型求根公式。

实系数一元三次方程可写为
令 ，代入（1）得 （2）

（1）

其中，

不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程
即可。
< br>不妨设
p
、
q
均不为零，令
y
=
u
+
v
（3）

代入（2）得， （4）

的求根公式
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选择
u
、
v
，使得
代入（4）得，
，即
（6）

（5）

将（5）式两边立方得， （7）

联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：

， 且

问题归结于上述方程组的求解。

即求关于
t
的一元二次方程的两根、，

设，，，

，，

又记的一个立方根为，则另两个立方根为
其中，为1的两个立方虚根。

以下分三种情形讨论：

1）若
可求得
取，
，即
D
>0，则、均为实数，

，，

，

* *
在，组成的九个数中，

有且只有下面三组满足
即、；、；、，

，

也就是满足
方程（2）的根为，
，

，，

这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，

其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，

这里的根式
2）若
可求得
同理，可求得
及
时，

，取


都是在实数意义下的。

，即

方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。

3）若，即
D
<0时，

* *
，
p
<0，，

则、均为虚数，求出、并用三角式表示，

就有
其中
T
，
，
都是实数，

，





同理，

其中，且

取，，

则




* *

显然，当且仅当取，；，；，

这三组时才满足，

，，，

于是方程（2）得三个实根为
具体表示出来就为：




其中
当

时，方程（2）有三个实根。

的求根公式如下：

综上所述，实系数一元三次方程
令，，，

，
1）当

时，方程有一个实根和两个共轭虚根，

* *



2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，

，
3）当
，

时，方程有三个实根，



，

上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是
实用性的。

这里用以下几个解一元三次方程的实例来说明该公式的应用。

例一、解方程
解：
p
=
。

27，
q
=54，
D
=0，

，。

原方程的根为
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例二、解方程
解：
p
=9，
q
=4，
。


D
=31>0，

原方程有一个实根和两个共轭虚根：





例三、解方程。

解：
p
= 9，
q
=6，
D
= 18<0，

原方程有三个实根：




通过差表或计算器、计算机可计算得：


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这在工程技术上是极其有用的。