精度计算公式立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 导学案

全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）


立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算
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【学习目标】
(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的
概念．
(2)掌握各种距离的计算方法．
【重点、难点】
重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．
难点：把空间距离转化为向量知识求解．
【学法指导】
空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线
到面、面到面之 间的距离．其中以点到面的距离最为重要，
其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距< br>离，用向量法来求解。
【预习感知】
1．两点间的距离的求法．
设a＝( a
1
，a
2
，a
3
)，则|a|＝___________ ___，若A(x
1
，y
1
，
→
|＝__________ ______. z)，B(x，y，z)，则d＝|AB
1222AB
设l是过点P平行于向 量s的直线，A是直线l外定点．作
AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离
→
d等于线段AA′的长度，而向量PA在s上的投
→
影的大小|PA·s
0
|等于线段PA′的长度，所以根
据勾股定理有点A到直线l的距离d＝_____________．

3．点到平面的距离的求法
设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定
点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π
→
的距离d等于线段AA′的长度， 而向量PA在
→
n上的投影的大小|PA·n
0
|等于线段AA′的长
度，所以点A到平面π的距离d＝____________.

【预习检测】 < br>1．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，
则点P(4,3, 2)到l的距离为( )
32210
A.
2
B．
2
C.
2

2．点到直线距离的求法
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D．2 2．如图所示，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D1
的棱长为1，O
是底面A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，则O到平面ABC
1
D
1
的距离是( )
1223
A.
2
B．
4
C.
2
D．
2

3．已知长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝6，BC＝4，BB
1
＝3，则点B
1
到平面A
1
BC
1的距离为________．
【自主探究】
★求点到直线的距离
如图，在空 间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝
1，BC＝1，AA′＝2，求点B到直 线A′C的距离．



变式训练 已知直线l过定点A(2,3,1 )，且方向向量为n
＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为( )
32210
A．
2
B．
2
C．
2

D．2
★点面距
已知正方形ABCD的边 长为4，E、F分别是AB、AD的
中点，GC⊥平面ABCD，且|GC|＝2，求点B到平面EFG 的
距离．


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O是底面A
1
B
1
C
1
D< br>1
的中心，则点O的平面ABC
1
D
1
的距离为
( )
1223
A．
2
B．
4
C．
2
D．
2


【课堂检测】（见课堂多媒体，随堂检测）
【课后训练】
10．已知三棱柱ABC —A
1
B
1
C
1
的各条棱长均为a，侧棱
变式训练 如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，
垂直于底面，D是侧棱CC
1
的中点，问a
为何值时，点C到 平面AB
1
D的距离为1.






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