中位数公式椭圆上的点到直线距离最值问题

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椭圆上的点到直线距离最值问题

作者：饶雄

来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期

在解析几何中，椭圆上的点到直线的最短（长）距离或求动点到定直线的最短（长）距
离，是我们经常遇 到的问题，要解决它可以从多个方面入手.如归结为数形结合判别式法、参
数方程法和柯西不等式法，以 下我们举例说明.
数形结合判别式法
例1 求椭圆[x24+y212=1]上一点到直线l∶y=x-5的距离的最小值.
分析 作出直线[l]及椭圆（如图），观察图形，可以发现，利用平行直线与椭圆只有一个
交点，可以 求得相应的最小距离.
[F1][F][O][x][y][y=x-5]解 如图 ，虚线为与椭圆相切且与直线[y=x-5]平行的直线，而此直线
与[y=x-5]之距即为所求.
设虚线的直线方程为y=x+b，
[∴x24+y212=1，y=x+b.]
化简得[4x2+2bx+b2-12=0].
∵相切，
∴Δ=0.
∴b=±4，由图可知b=-4，
[∴]图中两直线之距为[d=-4+52=22].
[∴dmin=22.]
点拨 数形结合判别式法用到了直线与椭圆位置关系的相关知识，即：联立椭圆方程与 直
线方程得到的一元二次方程判别式等于0时，直线与椭圆相切，然后两平行直线间的距离即为
椭圆上的点到直线的最短（长）距离. 此方法的优点是用图形的直观化难为易，化抽象为具
体，从而达到简洁明了的解题效果. 能提高数形结合的灵活性，有助于思维能力的培养，有利
于解题能力的提高.
[参数方程法]