压实度计算公式倍角公式和半角公式一

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倍角公式和半角公式
一

目标认知：
学习目标：


1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式；
2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公
式）；
3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用．

学习重点：

倍角公式及其变形．

学习难点：

倍半角公式变形及应用．

内容解析：

1．倍角公式

在和角公式中令


=，即得二倍角公式：
；
；
．
注意：
（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二
倍角与单角的三
角函数之间的互化问题．
（2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与，与
等，也为
引出半角作准备．
（3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式．
（4）二倍角的正切公式成立的条件：
（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．
．
（6）公式的逆用及变形：

．
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2．半角公式

由倍角公式变形得到：
； ； ；
前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式：
； ； ；
其中正负号由的象限确定．
借助倍角公式还可得到另一个半角公式：
不必考虑正负．
，好处在于可以
3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）
（1）积化和差：




（2）和差化积：















本周典型例题：
1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．
解析：∵ ∴
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∴sin2a = 2sinacosa =
cos2a =

tan2a =
2．已知，求．
解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论．


3．求值：
=．

（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）cos20°cos40°cos80°；

解析：（1）=；
（2）＝；
（3）＝；
（4）＝；
（5）cos20°cos40°cos80° =

注意：关注（5）的结构特点．

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4．化简：
（1）
（2）
（3）


（4）
解析：（1）
（2）
（3）


（4）







5．已知：，求．
解析：
先关注角——已知中的两个角互为余角．则有：


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，
．

6．证明
解析：左==右，
另解：右=左．
7．已知函数．
（1）求的周期与单调区间；
（2）设 ，，求的值．
解析：倍角公式与辅助角公式相结合．
（1）整理化简



所以周期为，增区间，

（2），进而
所以
8．已知函数
减区间
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（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域．
解析：（1）









单调递减，









由
函数图象的对称轴方程为
2）
因为在区间上单调递增，在区间上
所以当时，取最大值 1
又，当时，取最小值
所以函数在区间上的值域为







（





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9．已知函数
的最小正周期及最值；
．
（Ⅰ）求函数
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
解析：（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；
当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．


参考答案：
函数是偶函数．
．
DCB

2008
8．解： ——降次
∵ ∴