体脂公式二倍角公式化简求值的方法与技巧

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二倍角公式化简求值的方法与技巧

作者：胡彬

来源：《数理化学习·高一二版》2013年第01期

二倍角公式的应用非常广泛，但是，如果从使用方法这一角度来探究的话，可以从以下三
个角度来说明.
一、顺用二倍角公式化简求值
例1 若cos（π4+x）=35，1712π 分析：顺用二倍角公式就是通过分析题设条件，找到运用
二 倍角公式sin2x=2sinxcosx、cos2x=2cos2x-1=1-2sin2x=cos2x- sin2x化简求值的突破口.解答该
题时注意x=（π4+x）-π4，及2x=2（π4+x）-π 2两种变换方式.
解：原式=2sinxcosx+2cos2x1-tanx=2 sinxcosx（1+tanx）1-tanx=sin2x·tan（π4+x），
而sin2x=sin[2（π4+x）-π2] =-cos2（π4+x）=
-[2cos2（π4+x）-1]=725.
tan（π4+x）=sin（π4+x）cos（π4+x）=-43，所以，
原式=725·（-43）=-2875.
点评：此题把π4+x作为整体，并注意 角的变换2·（π4+x）=π2+2x，运用二倍角公式，问
题就化难为易，化繁为简.所以在解答有 条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数
的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角 .
二、逆用与顺用相结合运用二倍角公式化简求值
例2 化简： （sinα+cosα-1）（sinα-cosα+1）sin2α.
分 析：逆用二倍角公式就是我们有时要采取“迂回”的方式，构造出例如cos2x-sin2x的形
式， 从而获得cos2x.
解：原式
=（2sinα2co sα2-2sin2α2）（2sinα2cosα2+2sin2α2）4sinα2cosα2cosα
=sinα2（cosα2-sinα2）（cosα2+sinα2）cosα2cosα
=sinα2（cos2α2-sin2α2）cosα2cosα=sinα2cosαcosα2cosα= tanα2.