波长公式倍角公式转换

1.三角函数恒等变形公式
（1）两角和与差公式


（2）二倍角公式


（3）三倍角公式


（4）半角公式


（5）万能公式

， ，
（6）积化和差
，
，
，
（7）和差化积

，
，
，






2.基础知识疑点
（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？
实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任
意角，可正可负。另 外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同：
。
（2）怎样正确理解正切的和差角公式？
正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：
①推导正切和角公式的关键步骤 是把公式
“分母”都除以
②公式
都不等于
，从而“化弦为切”，导出了
都适用于
。
为任意角，但运用公式
。
时，必须限定，
，右边的“分子”、
③用代替，可把转化为，其限制条件同②。
（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？
①不用计算器或查表，只通过笔算 求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三
角函数值。
②能由两个单角的三 角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角
的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的 大小（注意这两个条件缺一不可）。
③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或 条件等式，化简三角
函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的 最大值
或最小值。
（4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？
先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分
别相除，得到，由此得到的三个公式：，
，< br>式中根号前的符号，由
分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公
所在的象限来确定，如 果没有给出限制符号的条件，根号前面应
保持正、负两个符号。另外，容易证明 。

3.三角函数变换的方法总结
（1）变换函数名
对于含同角的三角函数式，通常利 用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过
“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来 减少或统一所需变换的式子中函数的
种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和 化归以有利于问题的解
决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足
为0，求a、b的关系。
和,且a、b均不
解析：已知
显然有：
2
由①×cosθ＋②×cosθ，得：2acos
2
θ＋2bcosθ=0
即有：acosθ＋b=0
又 a≠0
所以，cosθ＝－ba ③
将③代入①得：a（－ab）
2
－b（－ba）＝2a
即a
4
＋b
4
＝2a
2
b
2

∴ （a
2
－b
2
）
2
＝0即｜a｜＝｜b｜ < br>点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关
系式
。


（2）变换角的形式
对于含不同角的三角函数式，通常利用各种 角之间的数值关系，将它们互相表示，改变
原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是 角的拆变．它应用广泛，方式
灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）； 2α－β可变为
（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α） 的半角等
等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－
解析：设θ＋15°＝α，则
原式＝sin（α＋60°）＋cos（α+30°）－
cos（θ＋15°）的值。
cosα
cosα ＝（sinαcos60°＋cosαsin60° ）＋（cosαc os30°－sinαsin30°）－
＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα
＝0
点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。

【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A） ，试证明：tan（α＋β）＝< br>证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin（α＋β）
所以有：sin（α＋β） cosβ－cos（α＋β） sinβ＝Ａsin（α＋β）
∴ sin（α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos（α＋β） sinβ

∴ tan（α＋β）＝
点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解 题突
破的关键。
（3）以式代值
利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式， 将原式中的1或其他特殊值用式子代
换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常 见且最灵活。“1”可以
看作是sin
2
x＋cos
2
x, sec
2
x－tan
2
x, csc
2
x－cot
2
x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解
题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：
解析：原式＝
＝
＝
＝



点评：1＝“”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。

（4）和积互化
积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就 是和积互化的特殊情
形。这往往用到倍、半角公式。
【例5】解三角方程：sin
2
x＋sin
2
2x＝sin
2
3x
解析：原方程变形为：
（1－cos2x）＋（1－cos4x）＝（1－cos6x）
即： 1＋cos6x＝cos2x＋cos4x
2cos
2
3x＝2cos3x cosx
得： cos3x sin2x sinx＝0
解得： x＝＋ 或 x＝ （）
∴ 原方程的解集为｛x| x＝＋ 或 x＝,｝
点评：题中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是为
了提取公 因式。

（5）添补法
与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原 式作一定的添项裂项会使某
些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是 添补法的一种
特殊情形。

【例6】求证：＝
证明：左边＝
＝

＝
＝
＝＝右边
∴ 原式成立。
点评：本例中采用“加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较强，目的都是为了便于分解因式进行约分化简。

（6）代数方法
三角问题 有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变
形，从而将三角问题转换成代 数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式
等方法。
【例7】锐角α、β满足条件
A.α+β≠
C.α+β＞
B.α+β＜
D.α+β＝


，则下列结论中正确的是（ ）
解析：令sin,则有
整理得： （a－b）
2
＝0 即a＝b
即： sin
2
α＝cos
2
β （α，β同为锐角）
∴ sinα＝cosβ

∴ α＋β＝，故应选D。
点评：本例用 设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分广
泛，往往能收到简捷解题的效果 ．

（7）数形结合
有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思 形，数形渗透，两者交融，
则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法 都是数形结合
的思想。
【例9】已知：，，求的值。
解析：∵点Ａ，Ｂ均在单位圆上。
由已知条件知：AB的中点坐标为Ｃ（16,18），即直线ＡＢ过
定点C
如下图所示

∠xOC＝∴
∴据万能公式得：
点评：本题用和 差化积公式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方
法。数形结合方法在三角变换中应用 类型颇多，篇幅所限，仅举一例，本文不赘。从六、七
两种方法可以看出，将代数、几何与三角有机联系 起来，综合运用，在解三角变换题中，不
仅构思精巧，过程简易，趣味横生，而且还沟通数学知识的纵横 关系，也有利于多向探求，
广泛渗透，提高和发展学生的创造性思维能力。
以上探讨了三角变 换中的七种变换思想和解题方法，在实际解题中这些方法是交织在
一起的，混合于同一问题中灵活使用。 掌握这些变换方法的前提是熟悉公式，善于公式的变
形运用，同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维 考虑问题。
【
典型例题
】
例1.化简cos（
π
＋
α
）＋cos（
解析：解法一：
原式＝cos［k
π
＋（
（＋
α
）＋cosk
π< br>cos（
π
－
α
），其中k∈Z。
＋
α
） ］＋cos［k
π
－（
＋
α
）＋sink
π
sin （
＋
α
）］＝cosk
π
cos（
＋
α
） ＝2cosk
π
cos（
sin
α

＋
α
）－sink
π
sin
＋
α
），（k∈Z）
当k为偶数时 ，原式＝2cos（
当k为奇数时，原式＝－2cos（
＋
α
）＝cosα
－
＋
α
）＝sin
α
－cos
α

总之，原式＝（－1）
k
（cos
α
－
解法二：由（kπ
＋
cos（k
π
－
（k
π
＋＋
α< br>）
sin
α
），k∈Z
－
α
）＝2k
π
，知
＋
α
＋k
π
）］＝cos［－（k
π
＋＋
α
）］＝cos
＋
α
）＋（k
π
－
－
α
）＝cos［2k
π
－（
∴原式＝2cos（k
π
＋
其中k∈Z

k
＋
α
）＝2×（－1）cos（
k
＋
α
）＝（－1）（c os
α
－sin
α
），
点评：原式＝cos（
k
π ＋＋α）＋cos（
k
π－－α）＝cos［
k
π＋（＋α）］＋cos［< br>k
π
－（

＋α）］这就启发我们用余弦的和（差）角公式。 例2.已知sin（α＋
β
）＝，cos（α－
β
）＝，求
解析 ：解法一：由已知条件及正弦的和（差）角公式，
的值。

解法二：（设未知数）令x＝

解之得

例3.在中，求的值和的面积。

解析：解法一：解方程组
。
得，故
。
解法二：由
，可得
因为，所以
及

，故，即
得

解方程组
（以下同解法一）
解法三：因为
所以
又，
，
。
得，故。
，
故
（以下同解法一）


例4.
解析：解法一：此题可利用降幂、积化和差、和差化积等公式进行恒等变形化简。
原式

解法二：利用“整体配对”思想，构造对偶式来解题
设

则

两式相加得
即

例5.（第5届IMO试题）证明



解析：设


则


∴
∴




































或

（舍去）




试题
一、选择题
1.已知
A.
2.
B.
的值为（ ）
C.
的值为（ ）
C.
D.
A. 0 B.
D.
3.


的值为（ ）
C.－A. 1 B.
D.

4. 的两内角A,B满足，则此三角形的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
5.已知
A.
6.
A.
7.若
A.
C.
8.函数
A.
B.－1 C.
，则的值为（ ）


B.
，则的值为（ ）
D.
,则的值为（ ）
D.
C.
B.
D.
的值域是（ ）
B. C. D.
9.已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
10. 等于（ ）
A.－1 B. 1 C. 2 D.－2

二、填空题
11.在
12.已知
13.观察下
中，已知tanA ,tanB是方程
，则
列各等式：
的值为
，
的两个实根，则
，，
根据其共同特点，写出能反映一般规律的等式 。
14.已知直线，A是之间的一定点，并且A点到的距离分别为，B是
直线上一动点，作A C
。

三、解答题：
15.化简
16.已知

AB，且使AC与直线交于点C，则面积的最小值为

，求的值
17.知函数，求
（1）函数的最小值及此时的的集合
（2）函数的单调减区间
（3）此函数的图像可以由函数
18.已知向量
（1）当
（2）当











，且
，且
∥
，
时，求
时，求
的值
的值
的图像经过怎样变换而得到
。




1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D 9. C 10. A
2
11.－7 12.
5
13.
?
三、解答题：
14. h
1
h
2

15.解：原式

16.解：
（2）＋（1）得
（2）－（1）得
17.解：由




（4）（3）得
（1）当

（2）由
（3）其图像可由
18.（1）由，得

时，，此时，由得
得减区间为
的图像向左平移

个单位，再向上平移2个单位而得到。
，

（2）由
得
而
所以