OR值的计算公式高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学案设计

第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习目标

以两角 和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角的正弦、余弦和正切公式,理解推
导过程,掌握其应用< br>.

合作学习

一、复习回顾,承上启下
复习:
cos(
α-β
)
=

cos(
α+β
)
=

sin(
α-β
)
=

sin(
α+β
)
=

tan(
α+β
)
=

tan(
α-β
)
=

.

练习:
(1)在△
ABC
中,sin
A
sin
B<
cos
A
cos
B
,则△
ABC
为( )
A.直角三角形

B.钝角三角形
C.锐角三角形

D.等腰三角形
(2)cos
-
sin的值为( )
A.0

B.2
C.

D.
-

思考:已知
<β<α<
, cos(
α-β
)
=
,sin(
α+β
)
=-.< br>求sin 2
α.
我们由此能否得到sin
2
α
,cos 2
α
,tan 2
α
的公式呢?




二、学生探索,揭示规律
1
.
sin 2
α=
2sin
α
cos
α.

22
2
.
cos 2
α=
cos
α-
sin
α=

=

.

变式:
2
2cos
α=
1
+
cos 2
α

2
2sin
α=



3
.
tan 2
α=






三、运用规律,解决问题
【例1】已知sin 2
α=<α<
,求sin 4
α
,cos 4
α
,tan 4
α
的值
.






【例2】在△
ABC
中,cos
A=
,tan
B=
2,求tan(2
A+
2
B
)的值
.




四、变式演练,深化提高
1
.
不查表,求值:sin 15°
+
cos 15°
.





2
.
求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值
.





3
.
已知cos
α=
,cos(
α-β
)
=
,且0
<β<α<.

(1)求tan 2
α
的值;
(2)求
β.





五、反思小结,观点提炼




布置作业

1
.
课本P
135
练习第1,2,3,4,5题
.

2
.
课本P
138
习题3
.
1A组第14,15, 16,17,18,19题;B组第1题
.

参考答案
三、运用规律,解决问题
【例1】解:由
<α<
,得<
2
α<
π
.

又因为sin 2
α=
,
所以cos 2
α=-=-=-.

于是sin 4
α=
2sin 2
α
cos 2
α=
2
××
(
-
)
=-
;
22
cos 4
α=
1
-
2sin2
α=
1
-
2
×
()
=
;
tan 4
α==-.

【例2】解:方法一:在△
ABC
中,由cos
A=
,0
π,得
sin
A=
,


所以tan
A=
,
tan 2
A=
,
又tan
B=
2,
所以tan 2
B==-.

于是tan(2
A+
2
B
)
=.

方法二:在△
ABC
中,由cos
A=
,0
π,得
sin
A=.

所以tan
A=.
又tan
B=
2,
所以tan(
A+B
)
==-
,
于是tan(2
A+
2
B
)
=
tan[2(
A+B
)]
= .

四、变式演练,深化提高
1
.
解:原式
=.

2
.
解:原式
=
cos 80°cos 60°cos 40°cos 20°
=

=.

3
.
解:(1)由cos
α=
,0
<α<
,得sin
α=.

∴tan
α==
4
.
于是tan 2
α==-.

(2)由0
<β<α<
,得0
<α-β<.

又∵cos(
α-β
)
=
,∴sin(
α-β
)
=.

由
β=α-
(
α-β
),得
cos
β=
cos[
α-
(
α-β
)]
=
cos
α
cos(
α-β
)
+
sin
α
sin(
α-β
)
=.

∴
β=.

五、反思小结,观点提炼
1
.
先由学 生回顾本节课都学到了什么?有哪些收获?对前面学过的两角和与差的公式有
什么新的认识?对三角函数 式的变化有什么新的认识?怎样用二倍角公式进行简单三角函数
式的化简、求值与恒等式证明?
2
.
教师画龙点睛:本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导,明白从一般到特殊的思想,< br>并要正确熟练地运用二倍角公式解题
.
在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一 个题
目能有多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程、规范解题步骤,领悟
变换思路,强化数学思想方法的目标
.