圆的的面积公式高中数学三角恒等式变形解题常用方法

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高中数学三角恒等式变形解题常用方法
.知识分析
1. 三角函数恒等变形公式
（1）两角和与差公式



（2）二倍角公式


（3）三倍角公式


（4）半角公式


（5）万能公式
， ，
（6）积化和差
，
，

1

一



1
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，

（7）和差化积
，
，
，


2. 网络结构
22

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3. 基础知识疑点辨析
（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式
实际上 ，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个
任意角，可正可负。另外，公 式虽然形式不同，结构不同，但本质相同：
。

33
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（2）怎样正确理解正切的和差角公式
正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：
①推导正切和角公式的关键步骤是把公式母”都除以
②公式
，从而“化弦为切”，导出了
都适用于
。
， 右边的“分子”、“分
为任意角，但运用公式时，必须限定，都不
等于
③用
。
代替，可把转化为，其限制条件同②。
（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用
①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。
②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的< br>三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。
③能运用这些 和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函
数式，要注意公式可以正用， 逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最
小值。
（4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么
先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别
相除，得到，由此得到的三个公式：， ，
分 别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在
的象限来确定，如果没有给出限制符 号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易
证明

4. 三角函数变换的方法总结

。
44
v1.0 可编辑可修改 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三
角变换的解 题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中
涉及面广，是常用的解 题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒
等变换的技巧，不但能加深对三角 公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能
力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处 。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的
解题技巧作初步的探讨研究。
（1）变换函数名
对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公 式，通过“切
割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类 ，
这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现
解题途径。
【例1】已知θ同时满足
a、b的关系。
和,且a、b均不为0，求
解析：已知
显然有：

由①×cos< br>2
θ＋②×cosθ，得：2acos
2
θ＋2bcosθ=0
即有：acosθ＋b=0
又 a≠0
所以，cosθ＝－ba ③
将③代入①得：a（－ab）
2
－b（－ba）＝2a
即a
4
＋b
4
＝2a
2
b
2

∴ （a
2
－b
2
）
2
＝0即｜a｜＝｜b｜
点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系
式。

（2）变换角的形式

55
v1.0 可编辑可修改 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原
角的形式， 从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，
如α可变为（α＋β ）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）
＋α；α／2可看作α／4的 倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－
解析：设θ＋15°＝α，则
原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα
cosα
cos（θ＋15°）的值。
＝（sinαcos60°＋cosαsin60°

）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－
＝sinα＋
＝0
cosα＋cosα－sinα－cosα
点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其 余的角变成某特殊角与这个“基本量”
的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。

【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β） （其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝

证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）
所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β）
∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ
∴ tan（α＋β）＝
点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破
的关键。
（3）以式代值
利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值 用式子代换，
往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看 作是

66
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sin
2
x＋cos
2
x, sec
2
x－tan
2
x, csc
2
x －cot
2
x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解
题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：
解析：原式＝
＝
＝
＝
点评：1＝“

（4）和积互化

”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。
积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂 和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
【例5】解三角方程：s in
2
x＋sin
2
2x＝sin
2
3x
解析：原方程变形为：
（1－cos2x）＋（1－cos4x）＝（1－cos6x）
即： 1＋cos6x ＝cos2x＋cos4x
2cos
2
3x ＝2cos3x cosx
得： cos3x sin2x sinx ＝0
解得： x＝＋ 或 x＝ （）
∴ 原方程的解集为｛x| x＝＋ 或 x＝,｝

77
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点评：题中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是为了
提取公 因式。

（5）添补法
与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原 式作一定的添项裂项会使某些问
题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是 添补法的一种特殊情
形。

【例6】求证：＝
证明：左边＝
＝
＝
＝
＝
∴ 原式成立。
＝右边
点评：本例中采用“加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较 强，
目的都是为了便于分解因式进行约分化简。

（6）代数方法
三角 问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，
从而将三角问题转换 成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。
【例7】锐角α、β满足条件，则下列结论中正确的是（ ）

88
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A.α+β≠ B. α+β＜
C. α+β＞ D. α+β＝
解析：令sin,则有
整理得： （a－b）
2
＝0 即a＝b
即： sin
2
α＝cos
2
β （α，β同为锐角）
∴ sinα＝cosβ
∴ α＋β＝，故应选D。
点 评：本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分广泛，
往往能收到简捷 解题的效果．

（7）数形结合
有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时 若能以数思形，数形渗透，两者交融，则
可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的 方程等方法都是数形结合的思
想。
【例9】已知：
解析：∵点Ａ，Ｂ
，，求
均在单位圆上。
的值。
由已知条件知：AB的中点坐标为Ｃ（16,18），即直线ＡＢ过
定点C
如下图所示


99
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∠xOC＝∴
∴据万能公式得：
点评：本题用和差化积公式也不难求得，但在三角 问题中利用单位圆是常见的研究方法。
数形结合方法在三角变换中应用类型颇多，篇幅所限，仅举一例， 本文不赘。从六、七两种方
法可以看出，将代数、几何与三角有机联系起来，综合运用，在解三角变换题 中，不仅构思精
巧，过程简易，趣味横生，而且还沟通数学知识的纵横关系，也有利于多向探求，广泛渗 透，
提高和发展学生的创造性思维能力。
以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法， 在实际解题中这些方法是交织在一起
的，混合于同一问题中灵活使用。掌握这些变换方法的前提是熟悉公 式，善于公式的变形运用，
同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。三角变换的技巧除了以 上七个方面外，
还有平方消元，万能置换，利用正余弦定理进行边角转换，利用辅助角，借用复数表示等 方法
我们以后有机会再介绍。

5. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究
非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由
于 涉及到的三角公式及其变形灵活多样，因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类
问题的重点， 现在我们通过一个题目的解法探寻，体会非特殊角三角函数的求法。
【题目】求的值。
分析 1：这是一道给角求值中非特殊角的化简求值问题，仔细观察可看出在所求式子中有
一项是正切函数、一 项是正弦函数，因此通常运用切割化弦，然后通过通分化简，使其化为特
殊的三角函数值。
解法1：







1010
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点评：通分以后，要将和式转化为积式，需将拆项为，这是将和式
转化为积式中常用的变形手段 ，在将和差化积后要尽可能的出现特殊角特殊值，这样才有可能
使化简得以进行下去。
分析2 ：运用切割化弦，通过通分化简后，若不考虑将和式转化为积式，而是对角进行变
换，观察到运算的式子 中出现的两角为20°，40°，与特殊角比较则会有60°－40°＝20°，
变角后再应用两角差的 正弦公式展开进行化简。
解法2：







分析3：我们在运用“切割化弦”时，若不利用商数关系，而是将 tan20
0
利






用半角公式
解法3：

进行化弦，也能进行求值。

1111
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分析4：从以上路径可以看出，而是一个特殊的三角函 数值，考
，这样问题就转化虑它等于什么呢
为等式的验证。
解法4：
，因而考虑可否会有




∴有





的验证，问题就得以点评：本路径采用了综合法，只进行等式
解决。

1212
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分析5：利用倍角公式可得到，能否再对角进行 适当的变换，出现
特殊角，我们发现40°＝60°一20°，这样变角后利用两角差的正弦公式展开化 简，也能求
值。
解法5：

将等式可写成





两边同除以

点评：本题利用综合法求得了
得


的值，在这里首先进行角的变 换，然后利用
两角差的正弦公式展开，合并同类项后，再进行弦化切割，从而得到所要求的值。
以上我们探寻了不查表求非特珠角的三角函数的值的问题，对于这类问题，要从多方面考
虑解决的方法 ，在这里我们是从三角函数的“变名”“变角”“变式”“切割化弦”弦化切割”
等方面而进行了三角恒 等变形，这在以后的学习训练中要逐步体会掌握。

【典型例题】
例1. 化简cos（
解析：解法一：
π
＋
α
）＋cos（
π－
α
），其中
k
∈Z。
原式＝cos［
kπ
＋（＋
α
）］＋cos［
kπ
－（＋
α
）］＝cos
kπ
cos（＋
α
）－sin
k
π
sin（＋
α
）＋cos
kπ
cos（＋
α
）＋sin
kπ
si n（＋
α
）＝2cos
kπ
cos（＋
α
），
（< br>k
∈Z）
当
k
为偶数时，原式＝2cos（

＋
α
）＝cos
α
－sin
α

1313
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当
k
为奇数时，原式＝－2cos（
总之 ，原式＝（－1）
k
（cos
α
－
＋
α
）＝sin
α
－cos
α

sin
α
），
k
∈Z
解法二：由（
kπ
＋＋
α
）＋（
kπ
－－
α
）＝2
kπ
，知
cos（
kπ
－－
α
）＝cos［2
kπ
－（＋< br>α
＋
kπ
）］＝cos［－（
kπ
＋＋
α
） ］＝cos
（
kπ
＋＋
α
）
＋
α
）＝2 ×（－1）
k
cos（＋
α
）＝（－1）
k
（cos
α
－∴原式＝2cos（
kπ
＋sin
α
），其中
k∈Z

点评：原式＝cos（
kπ
＋＋
α
）＋co s（
kπ
－－
α
）＝cos［
kπ
＋（＋
α
）］＋cos
［
kπ
－（＋
α
）］这就启发我们用余弦的和（差） 角公式。

例2. 已知sin（α＋
β
）＝，cos（α－
β
）＝，求
解析：解法一：由已知条件及正弦的和（差）角公式，
的值。

解法二：（设未知数）令
x
＝


1414
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解之得

例3. 在中，求的值和的面积。
解析：解法一：解方程组得，故
。
。
解法二：由及得
，可得
因为，所以，故，即

解方程组得，故。
（以下同解法一）
解法三：因为，
所以。
又，

1515
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故，
（以下同解法一）

例4.
解析：解法一：此题可利用降幂、积化和差、和差化积等公式进行恒等变形化简。
原式

解法二：利用“整体配对”思想，构造对偶式来解题
设

则

两式相加得
即

例5. （第5届IMO试题）证明
解析：设


1616
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则


∴
∴或（舍去）

【模拟试题】
一、选择题：
1. 已知的值为（
A. B.
D.
2. 的值为（ ）
A. 0

D.
3. 的值为（
A. 1
C. －


）






B.
C.
B.
D.
1717

C.



）


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4. 的两内角A,B满足，则此三角形的形状为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角
形 D. 不能确定
5. 已知，则的值为（ ）
A. B.

D.
6. ,则的值为（
A.
1 C.

7. 若，则的值为（ ）
A.

C.


8. 函数的值域是（ ）
A. B.
D.

）
B.




C.
－
D.
B.
D.
C.
1818





v1.0 可编辑可修改
9. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（ ）
A. B. C.
D.
10.
A. －
等于（ ）

1 B.
C. 1
2 D. －2

二、填空题
11. 在中，已知tanA ,tanB是方程的两个实根，则
12. 已知，则的值为
13. 观察下列各等式：，< br>，
点，写出能反映一般规
，根据其共同特
律的等
式 。
14. 已知直线
上一动点，作AC
，A是之间的一定点，并且A点到的距离分别 为
面积的最小值为
，B是直线
AB，且使AC与直线交于点C，则
。

三、解答题：
15. 化简

1919
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16. 已知，求的值
17. 证明：
18. 知函数，求
（1）函数的最小值及此时的的集合
（2）函数的单调减区间
（3）此函数的图像可以由函数的图像经过怎样变换而得到
19. 已知向量，。
（1）当，且∥时，求的值
（2）当，且时，求的值
【试题答案】
一、选择题：
1. C 2. B 3. D
C 5. A
6. C 7. B 8. D
C 10. A
二、填空题：
11. －7
13.
14.
三、解答题：
15. 解：原式

4.
9.
12.
2020
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16. 解：
（2）＋（1）得
（2）－（1）得
17. 略
18. 解：由
（4）（3）得

（1）当时，，此时，由得
（2）由得减区间为
（3）其图像可由的图像向左平移个单位，再向上平移2个单位而得到。
19.（1）由，得，

（2）由
得
而
所以


2121
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关于简单三角变换的问题
1、同角的三角函数有三种关系：
平方关系：sinα＋cosα=1；
22
商式关系：；
倒数关系：tanαcotα=1．
它们的主要应用有：
（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个，求其他两个；
（2）化简三角函数式；
（3）证明简单三角恒等式等．
同角三角函数变换，要突出弦、切互化，同时要注意 各种变换技巧，如“1”可以用“sin
α＋cosα”代换等．
2
2
2、 诱导公式有两组，可概括为对k·90°±α(α∈Z)的各三角函数值满足规律“奇变偶不变，
符号看 象限”，即当k为偶数时，得α的同名函数；当k为奇数时，得α的余名函数；然后
在前面加一个把α看 成锐角时原函数的符号．在利用诱导公式求任意角的三角函数值时，不
必拘泥于课本上列出的几个步骤， 可以结合三角函数的性质，灵活使用．
3、三角函数的恒等变换中最基本、最常见的变换有：
（1）公式变换：要注意正确理解公式中和、差、倍的相对性，抓住公式中角、函数、结
构 的特点，灵活地对公式进行正向、逆向及变形使用；

2222
v1.0 可编辑可修改
（2）角度变换：要善于分析角之间的和、差、倍、半的关系，要特别注意能否产生 特殊
角，正确使用诱导公式及辅助角公式；
（3）函数变换：弦切互化；
（4）1的变换：如1= sinα＋cosα，1= tanαcotα，
22
等；
（5）幂的变换：用公式
4、三角恒等变换的基本题型有三种．
（1）求值：
来升、降幂．
①给角求值，其关键是正确分析角间的关系，准确地选用公 式，将非特殊角转化为特殊角
或将非特殊角的三角函数值相约或相消；
②给值求值，其关键是分析已知和待求式之间的角、函数、结构的差异，有目的地消化；
③给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值，在对应函数的单调区间内求解．
（2）化简：
①未指明答案的恒等变形，应把结果化为最简形式；
②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，如一角一函数形式，以便研究函数的
各种性质．
（3）证明：
主要有两种：无条件恒等式证明和条件恒等式证明．
5、在求值、化简、证明中应注意的问题有：

2323
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（1）三角式化简的目标．
①项数尽可能少；
②三角函数种类尽可能少；
③角尽可能少、小；
④次数尽可能低；
⑤分母尽可能不含三角式；
⑥尽可能不带根号；
⑦能求出值的要求出值．
（2）三角运算的基本原则．

③异角化同角；（角分析法）

⑦常数的处理（特别注意“1”的代换）．
（3）几个重要的三角变换思想
①sinα·cosα→凑倍角公式；
②1±cosα→升幂公式；
③1±sinα→配方或化为1±cos(π2－α)再升幂；

2424
v1.0 可编辑可修改
④asinα＋bcosα→辅助角公式；
⑤tgα±tgβ→两角和与差的正切公式逆用．
三、例题讲解：
例1、求证：tan3A－tan2A－tanA=tan3A·tan2A·tanA．
证明：欲证等式即为tan3A(1－tan2A·tanA)=tan2A＋tanA，
即
根据正切的和角公式，
．
结论成立．
小结：1、分析法“执果索因”，便于寻找解题途径，也是三角恒等式证明中的一种常用
方法；
2、本题可以推广如下：若α=β＋γ，则tanα－tanβ－tanγ=tanα·tanβ· tanγ．特
殊地，若△ABC是非直角三角形，则
（1）tanA＋tanB＋tanC=tanA·tanB·tanC，
（2）tan
n
A＋tan
n
B＋tan
n
C=tan
n
A·t an
n
B·tan
n
C．
例2、已知
求常数a、b的值．
(a≠0)的定义域为[0，]，值域为[－5，1]，
分析：观察函数的特征，需将它化 归为形如y=Asin(ωx＋φ)＋B型三角函数求值域，特
别注意此时x∈[0，]，故首先要求出 ωx＋φ的范围并进而求出sin(ωx＋φ)的取值范围，
同时注意系数A的符号．

2525
v1.0 可编辑可修改
解：

（1）

求得a=2，b=－5．

（2）

求得a=－2，b=1．

例3、已知sinα是sinθ和cosθ的等差中项，sinβ 是sinθ和cosθ的等比中项，求证：cos4
β－4cos4α=3．
证明：由已知条件得：
2sinα=sinθ＋cosθ，①
sin
2
β=sinθ·cosθ．②
①式平方得：4sin
2
α=1＋2sinθcosθ，③
②式代入③得：4 sin
2
α=1＋2sin
2
β，

2626
v1.0 可编辑可修改
即2cos2α=cos2β．④
④式平方得：4cos
2
2α=cos
2
2β，
再降幂：2(1＋cos4α)=(1＋cos4β)，
∴cos4β－4cos4α=3．
小结：在三角变换中，为了达到化繁为简的目的，降幂应该是最主要的手段，但在某些情
况 下，升幂也是必要的．
例4、已知 ，求：
（1）x＋2xy＋y的最大值与最小值；
22
（2）求3x＋4y的最大值与最小值．
分析：由已知条件的结构特征：两 数的平方和为1，联想到sin
2
θ＋cos
2
θ=1，由此可作
三 角代换，将上述问题转化成三角函数的最值问题．因而本题考查三角函数作为工具被应用的
能力．
解：


2727
v1.0 可编辑可修改
（2）

例5、如图所示，一条河宽1千米，两岸各有一座城市A和B，A和B的直线距 离是4千米，
今需铺设一条电缆线连结A与B．已知地下电缆的修建费是2万元千米，水下电缆的修建费
是4万元千米．假定河两岸是平行直线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用最少．

分析：解决实际应用问题，关键是建立数学模型．此处有两种选择：一是建立函数模型，
可 以考虑以AD或DB为自变量，函数式易立，但最值难求；二是建立三角模型，转化为求三角
函数最值， 处理稍容易些．
解：设∠CAD=θ，由AC=1，AB=4，则
．
依题意，设由A到B铺设电缆的总费用为y，则

2828
v1.0 可编辑可修改

答：水下电缆应从距B城（）千米处向A城铺设．
2929



v1.0 可编辑可修改
8.基本初等函数(Ⅱ)及三角恒等变换


同角三角函数关系式：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1,1＋tan2α＝sec2α，1＋cot2α＝csc2α；
(2)倒数关系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1，tanαcotα＝1；
(3)商数关系：tanα＝sinαcosα，cotα＝cosαsinα.
① 诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变，符号看象限。此外在应用时，不论α取什么值，我们始终
视α为 锐角。否则，将导致错误。诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：a.负角变正角，
再 写成2kπ＋α，0≤α＜2π；b.转化为锐角。
②求角的方法：先确定角的范围，再求出关于 此角的某一个三角函数(要注意选择，其标准有二：一是
此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据 条件易求出此三角函数值).
③三角函数的图象与性质：
三角函数 y＝
sin
x y＝
cos
x y＝
tan
x y＝
cot
x
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) (n
π
－，n
π
＋) (n
π
，n
π
＋
π
)
值域 [－1,1] [－1,1] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
当
x
＝2
k
π＋ 当
x
＝2
k
π时，
最大(小)
值(k∈Z)
时，
y
max＝1；
y
max＝－1；
无
当
x
＝2
k
π－ 当
x
＝2
k
π＋π
时，
y
min＝－1 时，
y
min＝－1
无

3030
v1.0 可编辑可修改
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
周期性
T
＝2π
T
＝2π
T
＝π
T
＝π
有界性 有界 有界 无界 无界
在[2
k
π－，
在[(2
k
－1)π，
2
k
π＋]
单调性
(
k
∈Z)
2
k
π]
在(
k
π－，
上都是增函数， 上都是增函数，
在(
k
π，
k
π＋π)
k
π＋)
在[2
k
π＋， 在[2
k
π，(2
k
＋
1)π]
2
k
π＋]
上都是减函数
上都是减函数
内都是增函数
内都是减函数

(ⅰ)公式间的关系
相除相除相除
(ⅱ)辅助角公式：asinα＋bcosα＝√a*a+b*bsin(α＋φ)(辅助角φ所在象限由点(a ，b)的象限决
定，tanφ＝ba).
(ⅲ)三角函数的化简、计算、证明的恒等变形 的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之
间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三 角函数变换的核心；第二看函数名称之间的关系，通常
“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的 技巧有：

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v1.0 可编辑可修改
a.巧变角(已知角 与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变
换。如α＝(α＋β )－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β
＝ 2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等).
b.三角函数名互化(切割化弦).
c.公式变形使用如：tanα±tanβ＝tan(α＋β)(1?tanαtanβ).
d.三角函数次数的降升(降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2 α2；升幂公式：1＋cos2α
＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α).
e.式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).
f.常值变换主要指“1”的变换(1＝ sin2x＋cos2x＝sec2x－tan2x＝tanxcotx＝tanπ4＝sinπ2
＝… ).


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