数列的递推公式通用版2020版高考数学大一轮复习第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换学案

Earlybird
第22讲

二倍角公式与简单的三角恒等变换


1
.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S
2α
:sin 2α
= .

(2)公式C
2α
:cos 2α
= = = .

(3)公式T
2α
:tan 2α
= .

2
.
常用的部分三角公式
(1)1
-
cos α
=
,1
+
cos α
= .
(升幂公式)
(2)1
±
sin α
= .
(升幂公式)
(3)sinα
=
,cosα
=
,
tanα
= .
(降幂公式)
(4)sin α
=
,cos α
=
,tan α
= .
(万能公式)
,cos φ
=
2
22
(5)
a
sin α
+b
cos α
=
,其中sin φ
=
公式)
3
.
三角恒等变换的基本技巧
(1)变换函数名称:使用诱导公式
.

(2)升幂、降幂:使用倍角公式
.

(3)常数代换:如1
=sinα
+
cosα
=
tan
.

(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式
.


常用结论
半角公式:
sin
=±



题组一

常识题
1
.
[教材改编] sin 15°
-
cos 15°的值是
.

,cos
=±
,tan
=±
22
.
(辅助角
==.


Earlybird
2
2
.
[教材改编] 已知
f
(
x
)
=
sin
x-
(
x
∈R),则< br>f
(
x
)的最小正周期是
.

3
.
[教材改编] 已知cos(α
+
β)
=
,c os(α
-
β)
=
,则tan αtan β的值为
.

4
.
[教材改编] 已知sin θ
=
,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为
.

题组二

常错题
◆索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数 值求角时范围不清致误;
a
sin
α
+b
cos α
=< br>sin(α
+
φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求
解 目标的符号确定)
.

5
.
已知sin
=
,则cos
= .

6
.
已知α,β均为锐角,且tan α
=
7,tan β
=
,则α
+
β
= .

7
.
sin α
-
cos α
=
sin(α
+
φ)中的φ
= .

,则sin α
-
cos α
= .
8
.
已知sin 2α
=
,2α∈







探究点一

三角函数式的化简
例1 [2018·东莞考前冲刺] 化简:cos
x-+
sin
x+=
(

)
22


A
.
1
+
cos 2
x
B
.
1
+
sin 2
x

C
.
1
+
cos 2
x
D
.
1
+
sin 2
x

(2)化简:tan α
+
A
.
cos α B
.
sin α
=
(

)
C
.
D
.







[总结反思] (1)化简标准:函 数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根
式、尽量不含绝对值等
.
(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用
.


Earlybird
变式题
A
.
2sin 3
C
.
2cos 3
+
B
.-
2sin 3
D
.-
2cos 3
=
(

)
探究点二

三角函数式的求值
角度1

给值求值
例2 (1)已知sin(α
-
β)cos α
-
cos(α
-
β)sin α
=
,则cos 2β的值为 (

)
A
.
B
.

C
.-
D
.-

(2)[2018·厦门外国语学校月考] 已知tan θ
+
A
.
B
.

C
.
D
.

=
4,则cos
2
=
(

)






[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角 函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问
题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标 用已知条件表达出来
.

变式题 (1)[2018·菏泽模拟] 已知α∈
A
.
C
.±
B
.±
D
.

的值为 (

)

,sin
=
,则tan(π
+
2α)
=
(

)
(2)[2018·广州七校联考] 若sin
-
α
=
,则cos
A
.-
B
.-

C
.
D
.

角度2

给角求值
例3 [2019·重庆南州中学月考]
A
.
1 B
.
C
.


D
.

-
tan 20°
=
(

)







Earlybird
[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊
角,或者能够正负相消,或 者能够约分相消,最后得到具体的值
.

变式题 tan 70°cos 10°(
A
.
1 B
.
2
C
.-
1 D
.-
2
tan 20°
-
1)
=
(

)
角度3

给值求角
例4 若sin 2α
=
,sin(β
-
α)
=
A
.
B
.

C
.
或 D
.
或
,且α∈,β∈,则α
+
β的值是 (

)






[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:
①
已知正切函数值,则选正切函数
.

②
已知正、余弦函数 值,则选正弦或余弦函数
.
若角的范围是0,,则选正、余弦皆可;若角的
范围是(0 ,π),则选余弦较好;若角的范围为
-
,,则选正弦较好
.

变式题 已知α,β∈(0,π),且tan(α
-
β)
=
,tan β
=-
,则2α
-
β的值为
.

探究点三

三角恒等变换的综合应用
例5 已知函数
f
(
x
)
=
4cos
x
·si n
(1)求
a
的值及
f
(
x
)的单调递减区间;
(2)若α∈,
f
+a
的最大值为3
.

=
,求cos α的值
.









[总结反思] (1)求三角函数解析式
y=A< br>sin(ω
x+
φ)(
A>
0,ω
>
0)时要注意φ 的取值范围
.
(2)
根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角 函数值的符号
.

变式题 设函数
f
(
x
)
=
sin
x+
cos
x+
1
.

(1)求函数
f
(
x
)的值域和单调递增区间;
(2)当
f
(α)
=
,且
<
α
<
时,求sin
的值
.

Earlybird

















第22讲

二倍角公式与简单的三角恒等变换
考试说明 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及 二倍角的正弦、余弦、正切公式,
进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对 这三组公式不要求记
忆)
.


【课前双基巩固】
知识聚焦
1
.
(1)2sin αcos α

(2)cosα
-
sinα

2cosα
-
1

1
-
2sinα

(3)
2
.
(1)2sin

2cos

(2)sin
±
cos
(3)
222
2222


(4)

(5)sin(α
+
φ)
对点演练
1
.-
[解析] sin 15°
-
cos 15°
=
2sin 15°
-
cos 15°
=
2(sin 30°sin 15°
-
cos
30°cos 15°)
=-
2cos(30°
+
15°)
=-
2cos 45°
=-
2
.
π

[解析]
f
(x
)
=
sin
x-=-
2
.

,故< br>f
(
x
)的最小正周期
T==
π
.

3
.-
[解析] 由cos(α
+
β)
=
,co s(α
-
β)
=
,
得

解得 所以tan αtan β
==-.

Earlybird
4
.-
[解析]
∵
sin θ
=
,θ为第二象限角,
∴
cos θ
=-
,
∴
sin 2θ
=
2sin θcos
θ
=
2
××=-.

=
1
-
2s in
2
=
=
1
-=.
5
.
[解析] 由题意知,cos
6
.
[解析] tan(α
+
β)
== -
1,又0
<
α
+
β
<
π,所以α
+β
=.

sin α
-
cos α,则cos φ
=
,sin φ
=-
, 7
.
2
k
π
-
,
k
∈Z

[解析] sin α
-
cos α
=
所以φ
=
2
k
π
-
,
k
∈Z
.

8
.-
[解析] 因为2α∈0,,所以α∈0,,所以sin α
-
cos α
<
0,所以sin α
-
cos
α
=-
【课堂考点探究】
例1

[思路点拨] (1)先 根据余弦的二倍角公式降幂,再根据两角和与差的余弦公式化简得
结果;(2)先化切为弦,再通分,然 后利用两角差的余弦公式求解
.

(1)B

(2)C

[解析] (1)cos
2
=-=-=-.

+
sin
2
=+=
1
+
cos
2
x
cos
+
sin 2
x
sin
-
cos 2
x
cos
-
sin 2
x
sin
=
1
+
sin 2
x
sin
=
1
+
sin 2
x
,故选B
.

(2)tan α
+=+


=
=
=
=
=

.
故选C
.

变式题

D

[解析]
+=
=
=
===-
2c
os 3
.

例2

[思路点拨] (1)根据两角差的正弦公式进行化简,求得sin β的值,再根据二倍角公
式,即可得到答案;(2)由已知条件求得sin θcos θ的值,再由二倍角的正、余弦公式及诱
导公式求值
.

(1)A

(2)B

[解析] (1)由题意得sin(α
-
β)cos α
-
cos(α
-
β)sin α
=
sin(
-
β)
=-
sin
β
=
,
所以sin β
=-
,所以cos 2β
=
1
-
2sinβ
=
,故选A
.

(2)由tan θ
+
得
2
=
4,
=
4,
+=
4,即
∴
sin θcos θ
=
,

Earlybird
∴
cos
2
=====.

,sin变式题

(1)A

(2)B

[解析] (1)
∵
α∈
α
=-
2,
=
cos α
=
,
∴
sin α
=-
,tan
∴
tan(π
+
2α)
=
tan 2α
=
(2)cos
2
==
=-
cos
.

=-
cos
=
cos
=-
1
-
2sin
2
=-=-.

例3

[思路点拨] 首先利用同角三角函 数关系式,将切化弦,之后利用诱导公式化简,借助
于两角差的正弦公式及辅助角公式求得结果
.

C

[解析]
20°
=
-
tan
-=
·cos
·
===
,故选C
.

变式题

C

[解析] 原式
=
10°
= =×
2sin(20°
-
30°)
=-=
-
1
.< br>
例4

[思路点拨] 转化为求cos(α
+
β)的值,再求角α
+
β的值
.

A

[解析]
∵
α∈
又0
<
sin 2α
=<
,
,
∴
2α∈,
∴
2α∈
,
,即α∈,
∴
cos 2α
=-=-.∵
β∈,
∴
β
-
α∈
又sin(β
-
α)
=
,
,< br>∴
cos(β
-
α)
=-∴
β
-
α∈
=-
,


∴
cos(α
+
β)
=cos[2α
+
(β
-
α)]
=
cos 2αcos(β
-
α)
-
sin
2αsin(β
-
α)
=-
又α∈
×-×=.

,
∴
α
+
β
=
,故选A
.
,β∈,
∴
α
+
β∈
变式题
-
[解析]
∵
α∈(0,π),tan
α
=
tan[(α
-
β)
+
β]
=
又
∵
tan 2α
=
=
=>
0,
=>
0,
∴
0
<
α
<.

=
∴
0
<
2α
<
,
∴
tan(2α
-
β)
===
1
.

∵
β∈(0,π),tan β
=-<
0,
∴<
β
<
π,
∴-
π
<
2α
-
β
<
0,
∴
2α
-
β
=-.


Earlybird
例5

[思路点拨] (1)利用两角差的正弦公式和 倍角公式对函数解析式化简整理,利用函数
的最大值求得
a
,进而根据正弦函数的单调 性得到
f
(
x
)的单调递减区间;(2)由题意易得
sin
=
,进而得到cos
=
,利用配角法可得cos α
=
cosα
-+
,从而得到结果
.

+a=
4cos
x
·
-
1
+a.

+a=
2sin
x
cos 解:(1)由题意知,
f
(
x
)
=
4cos
x< br>·sin
x-
2cos
2
x+a=
当sin
sin 2
x-
cos 2
x-
1
+a=
2sin
=
1时,
f
(
x
)取得最大值,此时
f
(
x
)
=
2
-
1
+a=
3,
∴a=
2
.

由
+
2
k
π≤2
x-
≤
+
2
k
π,
k
∈Z,得
+k
π≤
x
≤
+k
π,
k
∈Z,
∴f
(
x
)的单调 递减区间为
+k
π,
+k
π,
k
∈Z
.

(2)由(1)可知,
f
(
x
)
=
2sin
又α∈,
∴
α
-
∈
+
1,
∵f
,
∴
cos
=
,
∴
sin
=
,
=.

=
,
∴
cos α
=
cos
=
cos
-
sin
变式题

解:(1)依题意得
f
(
x
)
=
sin
x+
因为
-
2≤2sin≤2,所以
-
1≤2sin
cos
x+
1
=
2sin
+
1
.

+
1≤3,
即函数
f
(
x
)的值域是[
-
1,3]
.

令
-+
2
k
π≤
x+
≤2
k
π
+
,
k
∈Z,解得
-+2
k
π≤
x
≤
+
2
k
π,
k
∈Z,所以函数
f
(
x
)的单调递
增区间为
(2) 由
f
(α)
=
2sin
,
k
∈Z
.

+
1
=
,得sin
=.

=-
,
cos

因为
<
α
<
,所以
<
α
+<
π,所以cos
所以sin
=
sin 2
=
2sin
=-
2
××=-.



【备选理由】 例1考查三角函数式的化简;例2是给值求值问题;例3是给角求值问题的补
充,给出的是非特殊角;例4是给值求角问题,选择相应的三角函数求值是解题的关键
.

例1

[配合例1使用] 化简:sin(α
+
β)cos α
-
[sin(2α
+
β)
-
sin β]
= .

[答案] sin β
[解析] 原式
=
sin(α
+
β)cos α
-
[sin(α
+
β
+
α)
-
sin β]
=
sin(α
+
β)cos α
-
[sin(α
+
β)cos α
+
cos(α
+
β)sin α
-
sin β]
=
[sin(α
+
β)cos α
-
cos(α
+
β)sin α]
+
sin β
=
sin β
+
sin β
=
sin β
.


Earlybird
例2

[配合例2使用] [2018·资阳三诊] 已知角α的顶点与原点
O
重合,始边与
x
轴的正
半轴重合,若它的终边经过点
P
(2,1),则tanA
.-
7
C
.
D
.
7
[解析] A

由角α的顶点与原点
O
重合,始边与
x
轴的正半轴重合 ,且它的终边经过点
B
.-

=
(

)
P
(2,1),可得tan α
=
,
∴
tan 2α
=
例3

[配合例3使用] 若
a=
则
a
,
b
,
c
的大小关系为
A
.c B
.b
C
.a D
.b
[解析] C
a=
(cos16°
-
sin16°)
=
cos 30°,


22
2
==
,
∴
tan
2
== =-
7
.
故选A
.

,(cos16°
-
sin16°),
b=
sin 15°
+
cos 15°,
c=
(

)
cos 32°,
b=
sin 15°
+
cos 15°
=
c===
cos 28°,
又
∵y=
cos
x
在(0°,90°)上单调递减,
∴
cos 28°
>
cos 30°
>
cos 32°,
∴c>b>a.
故选C
.

例4

[配合例4使用] 已知α,β均为锐角,且sin α
=
,cos β
=
为
.

[答案]
-

[解析]
∵
α,β均为锐角,sin α
=
,cos β
=
,
,
,则α
-
β的值
∴
cos α
==
,sin β
==
∴
sin(α
-
β)
=
sin αcos β
-
cos αsin β
=×
又
∵-<
α
-β
<
,
∴
α
-
β
=-.

-×=-.