下拉公式常用的诱导公式

常用的诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间
的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的
关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间
的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六： π2±α与α的三角函数值之间的关系：














sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα
sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：
“变”是指正弦变余 弦 ，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义
是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看 n·(π2)±α是第几象限角，
从而得到等式右边是正号还是负号。 一全正；二正弦；三两切；四余弦
这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值
都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内只
有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余
全部是“－”。
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其他三角函数知识
同角三角函数的基本关系式






















倒数关系
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。

倒数关系
对角线上两个函数互为倒数；
商数关系
六边形任意一顶点上的函 数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘
积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可 得商数关系
式。
平方关系
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等
于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式












sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ )(1－tanα ·tanβ)
tan（α－β）＝(tanα－tanβ)(1＋tanα ·tanβ)
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
tan2α＝2tanα(1－tan^2(α))
半角的正弦、余弦和正切公式
sin^2(α2)＝(1－cosα)2
cos^2(α2)＝(1＋cosα)2
tan^2(α2)＝(1－cosα)(1＋cosα)
万能公式
sinα＝2tan(α2)(1＋tan^2(α2))
cosα＝(1－tan^2(α2))(1＋tan^2(α2))
tanα＝(2tan(α2))(1－tan^2(α2))
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1－3tan^2(α))
三角函数的和差化积公式








sinα＋sinβ＝2sin((α＋β)2) ·cos((α－β)2)
sinα－sinβ＝2cos((α＋β)2) ·sin((α－β)2)
cosα＋cosβ＝2cos((α＋β)2)·cos((α－β)2)
cosα－cosβ＝－2sin((α＋β)2)·sin((α－β)2)
三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
cosα·sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]
cosα·cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
sinα·sinβ＝－ 0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)]
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公式推导过程
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2si nαcosα(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα(1＋tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导
tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α)－co sαsin^2(α)
－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα




















＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^3(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
和差化积公式推导
首先, 我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cos b-co
sa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*co
sb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差
化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)
2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:








sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)