检验公式三角函数诱导公式及记忆方法

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三角函数诱导公式
目录
诱导公式的本质
常用的诱导公式
其他三角函数知识
公式推导过程
诱导公式的本质
常用的诱导公式
其他三角函数知识
公式推导过程

诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π2)±α的三角函数转化为角
α的三角函数。
常用的诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα k∈z
cos（2kπ+α）=cosα k∈z
tan（2kπ+α）=tanα k∈z
cot（2kπ+α）=cotα k∈z
sec（2kπ+α）=secα k∈z
csc（2kπ+α）=cscα k∈z
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之
间的关系：
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sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之
间的关系：
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之
间的关系：
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
公式六： π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2+α）=cosα
cos（π2+α）=－sinα
tan（π2+α）=－cotα
cot（π2+α）=－tanα
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sec(π2+α)=-cscα
csc(π2+α)=secα
sin（π2－α）=cosα
cos（π2－α）=sinα
tan（π2－α）=cotα
cot（π2－α）=tanα
sec(π2-α)=cscα
csc(π2-α)=secα
推算公式：3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（3π2+α）=－cosα
cos（3π2+α）=sinα
tan（3π2+α）=－cotα
cot（3π2+α）=－tanα
sec(3π2+α)=cscα
csc(3π2+α)=-secα
sin（3π2－α）=－cosα
cos（3π2－α）=－sinα
tan（3π2－α）=cotα
cot（3π2－α）=tanα
sec(3π2-α)=-cscα
csc(3π2-α)=-secα
[1]

诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶，“ 变与不变”指的是三角函数
的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看
n·(π2)±α是第几象限 角，从而得到等式右边是正号还是负号。
符号判断口诀：
“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象限内只有正
弦是“+”，其余全部是“－”； 第三象限内只有正切和余切是“+”，其
余全部是“－”； 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。
“ASCT”反Z。意即为“all(全部 )”、“sin”、“cos”、“tan”按
照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。
其他三角函数知识
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同角三角函数的基本关系式
倒数关系
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系
sinαcosα=tanα=secαcscα
cosαsinα=cotα=cscαsecα
平方关系
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。
倒数关系
对角线上两个函数互为倒数；
商数关系
六边形任意一顶点上的函数值等于与它 相邻的两个顶点上函数值的乘
积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关< br>系。）。由此，可得商数关系式。
平方关系
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等
于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ )(1－tanα ·tanβ)
tan（α－β）=(tanα－tanβ)(1+tanα ·tanβ)
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二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α)
tan2α=2tanα(1－tan^2(α))
半角的正弦、余弦和正切公式
sin^2(α2)=(1－cosα)2
cos^2(α2)=(1+cosα)2
tan^2(α2)=(1－cosα)(1+cosα)
tan(α2)=(1—cosα)sinα=sinα1+cosα
万能公式
sinα=2tan(α2)(1+tan^2(α2))
cosα=(1－tan^2(α2))(1+tan^2(α2))
tanα=(2tan(α2))(1－tan^2(α2))
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)－3cosα
tan3α=(3tanα－tan^3(α))(1－3tan^2(α))
三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin((α+β)2) ·cos((α－β)2)
sinα－sinβ=2cos((α+β)2) ·sin((α－β)2)
cosα+cosβ=2cos((α+β)2)·cos((α－β)2)
cosα－cosβ=－2sin((α+β)2)·sin((α－β)2)
三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ=[sin(α+β)+sin(α－β)]
cosα·sinβ=[sin(α+β)－sin(α－β)]
cosα·cosβ=[cos(α+β)+cos(α－β)]
sinα·sinβ=－ [cos(α+β)－cos(α－β)]
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公式推导过程
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2si nαcosα(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα(1+tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3α=sin3αcos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α=(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα
=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)
=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα
=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))
=4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)－3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道
sin(a+b)=sina*cos b+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道
cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
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所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和
差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么
a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)

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