问题公式诱导公式教案

诱导公式教案
教学目标
1．通过本节课的教学，使学生掌握诱导公式的推导方法和记忆方法．
2．会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三
角关系式的化简和证明．
3．培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完
善学生的基本数学思想和数学意识．
教学重点与难点
诱导公式的推导．
教学过程设计
师： 我们前面学习过诱导公式一，请说出诱导公式一及其文字叙
述．它在转化任意角的三角函数中所起的作用 是什么？
生：(学生口述的同时，教师板书诱导公式一．)
sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα，
tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k∈Z)
文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．
它在转化任意角的三角函数中所起的作用是 ：把求任意角的三角函
数值的问题，转化为求0°～360°(或0～2π)之间角的三角函数值的问< br>题．
师：(副板书)试求出sin 2016°的值．
生：由公式一，
sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216°．
(至此，绝大多数同学已无法再演算下去了．)
(以旧知识的复习，导出新的问题，使学生新的求 知欲得到激发，渴
望得到回答，以达到以旧带新，以旧拓新的目的．)
师：能否导出一些 新的公式来解决这类问题？可先看这道具体问题
如何求解．我们知道0°～90°之间的角的三角函数值 可以通过查表求
得．那么，能否借助一个工具，在0°～90°之间找到一个角α，把求
sin 216°的值的问题转化为求α角的三角函数值问题？(进一步诱导，
使学生进入愤悱状态．)
师：(投影图1)216°角的终边OP在第三象限内，将OP反向延长，
与单位圆交于P ′点，则在0°～90°之间找到一个角α=216°－
180°=36°．由于△OPM≌△OP′M ′，所以有MP=M′P′．又因为
sin 216°=MP，sin 36°=M′P′，而MP与M′P′的长度相同、方向
相反，所以有sin 216°=－sin 36°．这样便把求sin 216°的值的问题，
转化为可查表的36°角的三角函数求值问题．
你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？(向“公式
化”过渡．实际上我们 先经过了一次将三角问题几何化——利用正弦
线．)
生：sin 216°=sin(180°＋36°)=－sin36°．
师：180°～270°之间角的余 弦函数问题，是否也可以通过这种变
换，转化为求α角在0°～90°之间的三角函数问题？(迁移作用 )
(师适当提示：观察余弦线的数量关系．)

生：……
师：180°～270°之间角的正切、余切函数的求值问题，是否也可
以通过这样的变换转化求值？
生：……
师：可见180°～270°之间角的三角函数求值问题都可以通过类似< br>的变换求出三角函数的值．能否把这种变换求值的方法，总结成公式形
式？
(从具体问题的求解，到公式的形成是一种质的飞跃．)
师：(适当提示：先把180°～270°之间的角用α(α是0°～90°
之间的角)表示出来．)
生：(板书)
sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，
tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．
师：这组公式通常称为诱导公式二．观察其结构特征：① 同名函数
关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原
三角函数 值的符号相同．(为总结公式的记忆方法打基础．)
师：任意角的三角函数值问题，可以由公式一 化为0°～360°之间
角的三角函数值问题；180°～270°之间角的三角函数值，又可通过诱< br>导公式二化为0°～90°之间角的三角函数值，从而得出函数值；那么
90°～180°、27 0°～360°之间的角的三角函数值问题，能否转化为
0°～90°之间角的三角函数值来求出解答？ (横向联想，公式二的归纳
过程，会对学生的思维产生正向的影响．)
(师提示：由对称 性找出角的终边间的关系，再证出三角函数线的数
量关系，正切、余切函数的诱导公式可由同角三角函数 的基本关系式推
出．)
生：……(讨论的同时，完成图2．)

师：(板书)
生：(板书完成)
sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，
tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．
(及时评价、反馈．)
师：这组公式通常称为诱导公式三．观察其结构特征：①同名函数
关系；②符号规律是：右边符号与－α 所在的第四象限角的原三角函数
值的符号相同．
生：(完成板书)
sin(180°－α)=sinα， cos(180°－α)=－cosα，
tan(180°－α)＝－tanα，cot(180°－α)＝－cotα．
(师及时评价、反馈．)
师：这组公式通常称为诱导公式四．观察其结构特征：①同名函数
关系；②符号规律：右边符号与180°－α所在的第二象限角的原三角
函数值的符号相同．
师：由于360°－α角与－α角的终边相同，它们的同一三角函数
值相等，所以有(板书)
sin(360°－α)=－sinα， cos(360°－α)=cosα，
tan(360°－α)＝－tanα， cot(360°－α)＝－cotα．
师：目前，连 同公式一，我们一共得到了五组诱导公式，利用它们，
可以求出任意角的三角函数值．为使公式更具一般 性，不妨大胆猜测：
若公式中的角α为任意角，公式是否仍能成立？(推广到一般性．)
生：……
师：大胆猜测，还要小心求证．没有大胆猜测，就没有事物的发展
和进步；(鼓 励猜想)，没有经过证明的结论总是危险的．我们可先以公式
二为例，证明究竟谁猜的对．(要证明猜测 的结论，学生情绪进一步高涨．)
师：(投影图3)

生：……
(师提示：可先由三角函数线或由三角函数定义，推出sin(180°＋α)
与sinα ，cos(180°＋α)与cosα的数量关系，再用同角三角函数的基
本关系式推出。
师：由此可见，α为任意角时，公式二仍然成立．类似于公式二的
推证方法，可以证明公式三也成立．而 180°－α可以写成180°＋(－
α)，360°－α又与－α角终边相同，容易推出，对任意角α ，公式三、
四、五也都成立．验证过程由同学们在课下完成．
(给学生留有细心体验发现的空间．)
(到此完成了又一次的升华．)
师：本节课 推得的公式较多，如何记忆这些公式呢？(机械记忆显然
不可行．)由推证公式的过程可知，其结构具有 一定的规律性：①等号两
边的函数名称相同；②符号规律：把α看作锐角时，等号右边的符号与
k·360°＋α(k∈Z)(第一象限角)、－α(第四象限角)、180°＋α(第三
象限角)、1 80°－α(第二象限角)、360°－α(第四象限角)所在象限的原
三角函数值的符号相同．(可回 顾图2)
综上所述，这些公式可以概括如下：
k·360°＋α(k∈Z)，－α，1 80°±α，360°－α的三角函数值，
等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函 数值的
符号．
师：(投影图4，用红色标出x轴)由于把α看作锐角时，k·360°< br>＋α，180°±α，－α，360°－α均可看作由x轴出发加或减α得
到的，所以这五组诱导 公式又可称为“水平诱导”公式．按如下方法记
忆：
水平诱导名不变；符号看象限．

师：下面给大家半分钟，体会上述记忆方法并考虑用弧度制如何表
示上述公式？
生：……
(师个别提问．及时反馈．这样可提高学生的学习积极性和学习效率．)
师：用诱导公式都可以解决哪些问题？(自问自答)
作用1：求值．一般可按如下步骤进行：

以上步骤可简化为：
负化正；正化主；主化锐角可查表．
(0°～360°之间的角α叫做主值或主角)
求下列各三角函数值
例1、tan 2025°=tan(5×360°＋225°)=tan 225°=tan(180°＋
45°)=tan 45°=1．
师：新学公式，不得跳步．( (各请一位同学板演，同时教师巡视．)
例2、cos(－519°)=cos 519°=cos(360°＋159°)=cos 159°
=cos(180°－21°)=－cos 21°=－0.933 6．
师：运用 熟练后，还可以总结出简炼快捷的求值方法．(提出更高的
目标．由公式指导实践是质的又一次升华．)
作用：化简或证明．可把复杂问题化简单，直到解决问题．
师：(小结)诱导公式( 二)～(五)的推导方法类似，应抓住角的终边位
置对称(关于原点、y轴、x轴对称)的特点及三角函 数的数量关系、同角
三角函数的关系．
记忆公式，要把握五组公式的结构特征：
(1)函数名称关系：函数名相同；
(2)符号规律：公式右边的符号为把α视为锐 角时，角k·360°＋
α(k∈Z)，－α、180°±α，360°－α所在象限的原三角函数值的 符
号．(回顾图2－7)
记忆：水平诱导名不变；符号看象限．
应用：( 1)计算求值．步骤可简单记为：负化正，正化主，主化锐角
可查表．(2)化简证明．要分析题目的三 个结构——代数结构、三角结构
和角的结构．
希望同学们今后在不断的应用实践中，总结 出更简捷的方法和解题
步骤．(鼓励学生不断实践和总结，以达到更好地使公式内化的目的．)
课堂练习：课本P215练习第3题．
课外题：课本P215练习．1、2、5
课堂教学设计说明
一、本节课的教学过程：
1．复习旧知识，引出新课；
2．由sin216°的求值过程，引导学生发现推证公式的方法和途径；
3．将解题过程抽象化、概括化，推出公式
sin(180°＋α)=－sinα．(其中α为0°～90°之间的角)
4．类比推出公式二，从而推出公式三、四、五；
5．推广到任意角并加以证明；
6．找规律，谈记忆；
7．讲应用，说方法；
8．例题、小结、练习、作业．
二、本节课的指导思想：
课本上采用的是直接给出90°～180°，180°～2 70°，270°～
360°之间的角，可以用180°－α，180°＋α，360°－
α( 0°≤α≤90°)来表示，然后加以证明出结论．其简捷、节约时间的
特点是显而易见的．但总有一种 把知识作为“结果”传授给学生的感觉，
学生只要接受、反复练习就算完成了“内化”的过程．而利用环 节1～5，
把从实践经验(解题)上升到理论高度(公式)，再由理论(公式)去指导实践
(解 题)的过程，展现给学生；也使学生的数学思想和数学意识得到了提高；
培养了学生“发现”问题．“解 决”问题的能力．
美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题
的持 续不断的活动．”思维永远是从问题开始的．所以本节课采用了逐
步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发 现”的方法，使学生始终处在兴
趣盎然的状态，课堂气氛活跃．
另外，本节课公式的验证 方法，是以学生已经掌握了“三角函数线”
为基础的，这样可以加强几何直观，便于理解和应用．在环节 4，先推
出诱导公式在0°～360°范围内成立的目的是：便于发现公式的结构特
征，理解求 值的步骤，以便学生掌握和熟练应用．



执教人：王东宇