公式锁定单元格2同角三角函数基本关系式与诱导公式 教案

第



11
讲

同角三角函数基本关系式与诱导公式





1



概述
高中数学
人教版区域

适用年级
课时时长（分钟）
高中一年级
120
适用学科
适用区域
知识点
同角三角函数的基本关系
六组诱导公式

π
1.能利用单位圆中的 三角函数线推导出
2
±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公
教学目标
式.
sin x
2.理解同角三角函数的基本关系式：sin
2
x ＋cos
2
x＝1，
cos x
＝tan x
3. 应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断

sin x
理解同角三 角函数的基本关系式：sin
2
x＋cos
2
x＝1，
cos x
＝tan x；应用诱导公
式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断

sin x
理解同角三角函数的基本关系式：sin
2
x＋cos
2
x＝1，
cos x
＝tan x；应用诱导公
式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断

教学重点
教学难点
【教学建议】
本节课是在学生掌握了任意角的三角函数的定义单位圆及三 角函数线，三角函数值在各象限的符号等
知识点的基础上进行的.同角三角函数的基本关系式是三角函数 的模块的重点之一也是历年高考考查的热点，
为三角函数的求值、关系式的化简、恒等式的证明等提供了 知识基础，同时也初步向学生渗透三角函数与
代数结合辩证分析的基本思想和方法.
【知识导图】
2

平方关系
同角三角函数关系
商数关系
诱导公式的推导
三角函数定义
诱导公式
诱导公式的应用
应用 求值问题




教学过程


一、导入
[考情展望]

1.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.
2.借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值.

3


二、知识讲解


知识点1．同角三角函数关系

1．平方关系：sin
2
α＋cos
2
α＝1
sin α
π
2．商数关系：tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)
cos α2
知识点2 诱导公式

组数
角
正弦
余弦
正切
[方法技巧]
诱导公式记忆口诀
一
2kπ＋α(k
∈Z)
sin α
cos α
tan α
二
π＋α
－sin_α
－cos_α
tan_α
三
－α
－sin_α
cos_α
－tan_α

四
π－α
sin_α
－cos_α
－tan_α
五
π
－α
2
cos_α
sin_α

六
π
＋α
2
cos_α
－sin_α
< br>kπ
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变 ”是指“当k为奇数时，正
2
弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”.“符号看 象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α
为锐角时，原函数值的符号”.

4


三、例题精析

例

题1


【题干】


的值为（ ）
A．


B．




C．



D．



【答案】D
【解析】
化简















，故选D.

例

题2


【题干】已知点



是角 终边上的一点，则



（ ）
A．


B．


C．

D．


【答案】A
【解析】
∵点



是角 终边上的一点，
∴


，
∴






．
故选A．


例

题3


【题干】已知 是第二象限的角，且


，则 的值是（
A．


B．


C．

D．



【答案】D
5

）

【解析】
∵ 是第二象限的角，且

，∴



，
∴





，故选 ．


例题4



【题干】化简







= ( )
A． sin2+cos2 B． sin2-cos2 C． cos2-sin2 D． ± (cos2-sin2)
【答案】A
【解析】根据诱导公式，化简













又因为
且












.所以选A
例题5





【题干】已知
sinα
（
π+α
）
=
﹣

，且
α
是第一象限角

（
1
）求
cosα
的值

（
2
） 求
tan
（
π+α
）
cos
（
π
﹣
α
）﹣
sin
（

+α
）的值．

【答案】（
1
）
【解析】

（
1
）
sin(π+α)=
﹣
sinα=
﹣
所以
cosα==




；（
2
）





，

所以
sinα=


且
α
是第一象限角

tancos=-tanαcosα
﹣
sin
（
2
）（
π+α
）（
π
﹣
α
）﹣
sin
（

+α
）（
=
．


+α
）
=
﹣
tanαcosα
﹣
cos α=
﹣
sinα
﹣
cosα=
6


四 、课堂运用


基础


1. 若


，且 为第二象限角， （ ）
A．

B．

C．

D．



【答案】B
【解析】
因为


，且 为第二象限角，
所以


，



，故选B.


2. 给出下列各函数值：①

；②

；③ ； ④





.

是（ ）
A． ① B． ② C． ③ D． ④
【答案】C
【解析】
sin（﹣1000°）=sin（﹣2×360 °﹣280°）=﹣sin280°=cos10°＞0，
cos（﹣2200°）=cos（﹣6×360°﹣40°）=cos40°＞0，
tan（﹣10）=﹣tan（3π+0.58）=﹣tan（0.58）＜0







=﹣




=




＞0

故选：C．

3. 已知 是第四象限角，且 ，则 _______， ________．
【答案】









【解析】
∵ 是第四象限角，且 ，
∴


，即 ，
7
其中符号为负的

将其代入恒等式



可得


即


，（舍负），






，.



，








，

故答案为

巩固




4. 已知sin θ＋cos θ＝ ，则sin θ－cos θ的值为( )．
A．




B． －




C．




D． －




【答案】D
【解析】
由

可得



，




则









故选

5. 已知 ，则

__________．
【答案】1
【解析】
，
原式






















.
故答案为：1.

6. 已知sin(
A．

B．


C．








，则cos（60°–α）的值为
D． –




【答案】C
8

【解析】
cos（60°–α）=sin[90°–（60°–α）]=sin（30°+α）=，故选C．




拔高




7. 已知 ，
，则 等于（ ）
A．




B．




C．

D．



【答案】B
【解析】由 ．整理可得：2sin
2
=3cos ，即：（2cos -1）（cos +2）=0，
∵-1＜cosA＜1，解得：cosA=，由题
，则




.

故选B.

8. 已知 ，且


（1）求 的值；（2）求

的值.
【答案】（1） ；（2） .



【解析】
（1）∵

，∴

，

，
∵ ，∴sinx＜0，cosx＞0，∴sinx﹣cosx＜0，



，
∴

；




（2）由（1）知， ，解得
，

， ，




























．


9



课堂小结

1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．
2．注意 公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确
定符号 ．注意“1”的灵活代换．
3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．


10



课后作业


基础




















1.



（ ）
A．






B． C． D．
【答案】C
【解析】

































故选C.

2. 已知

，

，则 _________， __________．
【答案】

--


【解析】
由题

，

，则cos

sin




tan




























;





即答案为(1).

(2).


3π
π，
?
，tan α＝2，则cos α＝________sin α＝________ 3. 已知α∈
?
2
??
【答案】cos α＝－
25
5
.
sin
?
??

5
5
sin α
?
?
tan α＝
cos α
＝2，
【解析】依题意得
?

?
?
sin
2
α＋cos
2
α＝1，
< br>25
1
3π
5
由此解得cos
2
α＝
；又α ∈(π，)，因此cos α＝－.
sin
?
??

525
5

11


巩固


4.
在平面直角坐标系
xOy
中，角
?
与角
?< br>均以
Ox
为始边，它们的终边关于
y
轴对称
.
1
，则
sin
?
=_________
．

3
1
【答案】
3
若
sin
?
=
【解析】
因为
?
与
?
关于
y
轴对称，则
?
?
?
?
?
?2k
?
，所以
sin
?
?
?
??2k
?
?
?
?
?sin
?
?
5. 已知

.求 ；
【答案】

；
【解析】
∵
∴

6. 计算:
【答案】0
【解析】





拔高











1

3
， ，平方可得：
.


，









=






=







7. 已知cos(75°＋α)＝

，α是第三象限角，
(1)求sin(75°＋α) 的值．
(2）求cos(α－15°) 的值．
(3)求sin(195°－α)+cos(105
o
－α)的值．
【答案】（1）－

;（2）－

; (3)

.
【解析】

12

（1）∵cos(75°＋α)＝

>0，α是第三象限角，

∴75°＋α是第四象限角，

且sin(75°＋α)＝











（2）cos(α－15°)= cos[90°－(75°＋α)]= sin(75°＋α)= －
(3)sin(195°－α) +cos(105
o
－α)

＝sin[180°＋(15°－α)]+cos[180
o o
－(75°＋α)]

＝－sin(15°－α) －cos(75°＋α)

＝－sin[90°－(75°＋α)] －cos(75°＋α)

＝－2cos(75°＋α)＝


.

1
8. 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
5
(1)求tan α的值；
(2)把
1
用tan α表示出来，并求其值．
cos
α－sin
2
α
2
2





1
?
【解析】 (1)联立方程
?
sin α＋cos α＝
5
， ①
?
α＋cos
2
α＝1， ②


1
由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin
2
α－5sin α－12＝0.[2分]
5
43
?
α＝－
，[4分] ∵α是三角形的内角，∴
?
sin α＝
55
?
4
∴tan α＝－.[6分]
3
sin
2
α＋cos
2
α
c os
2
α
sin
2
α＋cos
2
α
tan
2
α＋1
1
(2)
2
＝＝＝，[8分]
cos< br>α－sin
2
α
cos
2
α－sin
2
α< br>cos
2
α－sin
2
α
1－tan
2
α< br>cos
2
α
tan
2
α＋1
41
∵tan α＝－，∴
2
＝[10分]
3
cos
α－sin
2
α
1－tan
2
α
?
－
4
?
2
＋1
?
3
?
25
＝＝－.[12分]
47
－?
2
1－
?
?
3
?

9. 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
?
sin A＝2sin B， ①
【解析】 由已知得
?

?
3cos A＝2cos B， ②
2
①
2
＋②
2
得2cos
2
A＝1，即c os A＝±.
2
(1)当cos A＝
23
时，cos B＝，又A、B是三角形的内角，
22

13

ππ
7
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝
π.
4612
(2)当cos A＝－
23
时，cos B＝－. 又A、B是三角形的内角，
22
35
ππ
7
∴A＝
π，B ＝π，不合题意．综上知，A＝
，B＝，C＝
π.
464612



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教学反思

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