身高体重公式诱导公式的化简与求值20题

诱导公式的化简与求值20题


一．解答题（共20小题）
1．已知角α终边上一点P（﹣，1）
（1）求的值
（2）写出角α的集合S．

2．已知角α的终边经过点P（，﹣）．
（1）求sinα的值．
（2）求式

3．已知角α终边上一点A的坐标为
（1）求角α的集合（6分）
（2）化简下列式子并求其值：

4．（1）已知tanα=2，求的值
（6分）
，
﹣的值
（2）已知cos（75°+α）=，其中﹣180 °＜α＜﹣90°，求sin（105°﹣α）+cos（375°﹣α）的值．

5．已知α是第三象限角，且
（1） 化简f（α）；
（2） 若

6．已知角α的终边上一点P（x，4），且cosα=﹣．
（1）求x的值；
（2）求sin（α+π）的值；
（3）将角α的终边沿顺时针旋转π弧度得到角β，求sinβ的值．

，求f（α）的值．

1


7．已知
（1）化简f（α）
（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．

8．求值：①sin870°+cos660°+tan1215°﹣tan（﹣300°）+cot（﹣33 0°）
②

9．已知sin（3π+θ）=，求
的值．

10．已知
（1）求sinx﹣cosx的值；
（2）求

11．已知α是第四象限角，且
（1）求tanα的值；
（2）求

的值．
．
的值．
．
+
．
12．已知 ．
①化简f（α）．
2
②若sinα是方程10x+x﹣3=0的根，且α在第三象限，求f（α）的值．
③若a=

13．（1）已知
（2）已知

14．已知f（α）=
（1）化简f（α）；

，求f（α）的值．
，求sinα﹣cosα的值．
且，求cosα﹣sinα的值．

2


（2）若α是第三象限角，且cos（
（3）若

15．已知f（a）=
（1）化简f（a）；
（2）若角a的终边经过点P（﹣2，3），求f（a）的值．

16．已知
（1）若α是第三象限角，
（2）若
，求f（α）的值；
．
．
，求f（α）的值．
）=，求f（α+π）的值；
，求f（α）的值．

17．已知0＜α＜π，tanα=﹣2．
（1）求sin（α+）的值；
（2）求
22
的值；
（3）2sin
α﹣sinαcosα+cosα

18．已知α是第三象限角，且f（α）=
（1）化简f（α）；
（2）若tan（π﹣α）=﹣2，求f（α）的值；
（3）若α=﹣420°，求f（α）的值．

．
19．已知．
（Ⅰ）化简f（α）；
（Ⅱ）若α是第三象限角，且

20．（1）已知

（2）已知α为第二象限角，化简 ．
，计算：
，求f（α）的值．

3



诱导公式的化简与求值20题

参考答案与试题解析


一．解答题（共20小题）
1．已知角α终边上一点P（﹣
（1）求
（2）写出角α的集合S．

考点： 任意角的三
角函数的定
义；运用诱导
公式化简求
值．
专题： 计算题．
分析： 先求出点P
（﹣，1）
到原点的距
离， 再由定义
求出角α的三
角函数值，
（1）先用诱
导公式化简，
再代入角α的
三角函数值
求值；
（2）写出角α
的集合S，由
于本题中的
角是一个特
殊角，故可以
用终边相同
的角将它表
示出来．
解答： 解：点P（﹣
，1）到原
点的距离是
2，由定义
sinα=，
cosα=﹣
（1）

，1）
的值
4


=
=﹣
=
=﹣
（2）由
sinα=，
cosα= ﹣
知角α的终边
与角的
终边相同，故
α=2kπ+，
k∈z
故
S={α|α=2kπ+
，k∈z}
点评： 本题考查任
意角三 角函
数的定义以
及终边相同
角的表示，利
用诱导公式
化简求值，求< br>解本题的关
键是熟练掌
握定义与诱
导公式，基础
概念只有在
掌 握熟练得
基础上才能
正确运用它
做题，不出错
误．


5


2．已知角α的终边经过点P（，﹣）．
（1）求sinα的值．
（2）求式﹣的值

考点： 任意角的三
角函数的定
义；运用诱导
公式化简求
值．
专题： 计算题．
分析： （1）求出
|OP|，利用三
角函数的定
义，直接求出
sinα的值． （2）利用诱
导公式化简
表达式，根据
角的终边所
在象限，求出
cosα=，可得
结果．
解答： 解：（1）
∵|OP|=
，
∴点P在单位
圆上．（2分）
由正弦函数
的定义得
sinα=﹣（5
分）
（2）原式
=
（9分）
=
..（10分）
由余弦的定

6


义可知，
cosα=（11
分）
即所求式的
值为（12
分）
本题考查任
意角的三角
函数的 定义，
运用诱导公
式化简求值，
考查计算能
力，推理能
力，是基础< br>题．
，
点评：

3．已知角α终边上一点A的坐标为
（1）求角α的集合（6分）
（2）化简下列式子并求其值：

考点： 三角函数的
化简求值；终
边相同的角；
同角三角函
数间的基本
关系；诱导公
式的作用．
计算题．
（1）根据角
的终边过一
个定点，根据
三角函数的
定义做出角
的正弦值，根
据角的终边
在第四象限，
写出与角终
边相 同的所
有的角的集
合．
（2）首先用
诱导公式进
行整理，再把正割与余割
变化成正弦
（6分）
专题：
分析：

7


与余弦的形
式，约分整理
出最简形式，
得到结果．
解答： 解：（ 1）点P
到原点的距
离为
r=
根据三角函
数的定义，得
…． （2分）
∵点P在第四
象限，也就是
角α在第四象
限…．（4分）
∴α的集合是
…（6分）
（2）原式
=
…．（8分）
=
=﹣sinα=
点评： 本题考查三
角函数的恒
等变化求值即终边相同
的角，本题解
题的关键是
先用诱导公
式进行整理，
再 把正割与
余割变化成
正弦与余
弦．本题是一
个中档题目．


8


4．（1）已知tanα=2，求的值
（2）已 知cos（75°+α）=，其中﹣180°＜α＜﹣90°，求sin（105°﹣α）+cos（375°﹣ α）的值．

考点： 同角三角函
数基本关系
的运用；运用
诱导公式化
简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）利用诱
导公式化简
表达式，应用
tanα=2求出
，
代入化简后
的表达式即
可求出原式
的值．
（2）利用诱
导公式化简
sin（105°﹣α）
+cos（375°﹣
α），为2sin
（75°+α），
利用
求出2sin
（75°+α）即
可．
解答： 解：（1）原
式
=
（2分）
=（3
分）
∵
，
∴

9


（6分），∴
原式=（7
分）

（2）原式=sin
（7 5°+α）
+cos（15°﹣α）
=2sin（75°+α）
（9分）
∵
，且﹣105°＜
75°+α＜﹣
15°，
∴sin（75°+α）
＜
0∴
（12分）
故原式
=（14
点评：
分）
本题考查诱
导公式的应用，同角三角
函数的基本
关系式，考查
计算能力，是
基础题．

5．已知α是第三象限角，且
（1） 化简f（α）；
（2） 若

考点： 运用诱导公
式化简求值；
同角三角函
数间的基本
关系．
，求f（α）的值．

10


专题： 计算题．
分析： （1） 直接利
用诱导公式
化简f（α），
应用正切化
为正 弦、余弦
函数，推出结
果；
（2） 求出
的最简形式 ，
弦长f（α）的
表达式，通过
同角三角函
数的基本关
系式求出它< br>的值．
解答： 解：（1）f（α）
=
=
=
=
=﹣cosα
（2）∵cos
（）
=﹣sinα=，
∴sinα=﹣，
∵α是第三象
限角，
∴cosα=﹣

11


=﹣，∴f
（α）=﹣
cosα=
点评：

本题是基础< br>题，考查诱导
公式的应用，
同角三角函
数的基本关
系式的应用，
考查计算能
力，常考题
型．

6．已知角α的终边上一点P（x，4），且cosα=﹣．
（1）求x的值；
（2）求sin（α+π）的值；
（3）将角α的终边沿顺时针旋转π弧度得到角β，求sinβ的值．

考点： 任意角的三
角函数的定
义；运用诱导
公式化简求
值．
计算题．
（1）利用三
角函数的定
义，求出x的
值；
（2）直接利
用诱导公式
化简sin
专题：
分析：
（α+π），然
后求出它的
值；
（3）将角α
的终边沿顺
时针旋转π
弧度得到角
β，然后直接
利用诱导公

12


式，求sinβ的
值．
解：（1）因
为cosα=﹣，
所以
解答：
，所以，x=﹣
3；
（2）因为
cosα=﹣，所
以sin（α+π）
=cosα=﹣；
（3）将角α
的终边沿顺
时针旋转π
弧度得到角
β，
，sinβ= sin
（）
=cosα=﹣．
点评： 本题是基础
题，考查三角
函 数的定义，
诱导公式的
应用，考查计
算能力．

7．已知
（1）化简f（α）
（2）若α是第三象限角，且

考点：
专题：

，求f（α）的值．
运用诱导公
式化简求值．
计算题．
13


分析： （1）利用诱
导公式化简f
（α ）的结果
为cosα．
（2）利用诱导公式求出
sinα，再由同
角三角函数
的基本关系
求出cosα，从< br>而得到f（α）
的值．
解答： 解：（1）
=
=cosα．
（2）
∵
，
∴
，
又∵α为第三
象限角，
∴
，
∴
．
点评： 本题考 查同
角三角函数
的基本关系，
诱导公式的
应用，以及三
角函数在各< br>个象限中的
符号，化简f
（α ）是解题

14


的突破口．

8．求值：①sin870°+cos660°+tan1215° ﹣tan（﹣300°）+cot（﹣330°）
②

考点： 运用诱导公
式化简求值．
专题： 计算题．
分析： ①先利用诱
导公式： 终边
相同的角的
三角函数值
相等，将题中
的角化到[0°，
360° ）上，再
利用诱导公
式将其转化
为锐角三角
函数值即可
②先利用诱
导公式化简
所求三角式，
再利用同角
三角函数基
本关系式化
简即可
解答： 解：
①sin870°+co
s660°+tan121
5 °﹣tan（﹣
300°）+cot（﹣
330°）
=sin
（720°+ 150°
）+cos（720°
﹣60°）+tan
（﹣
360°+60°）
+cot（﹣
360°+30°）
=sin150°+cos
（﹣60°）
+tan60°+cot3
0°
=sin30°+cos6
0°+tan60°+co
t30°

．

15

=++

=1+2
②
+

=
=
=

=
点评：
=﹣1
本题考查了
诱导公式的
运用和同角
三角函 数基
本关系式的
运用，细心和
运用恰当的
公式是解决
本题的关键

9．已知sin（3π+θ）=，求
的值．

考点：
专题：
分析：
+
运用诱导公
式化简求值．
计算题．
先根据诱导
公式化简已
知得到sinθ
的值，然后把
原式也利用诱导公式及
同角三角函
数的基本关
系化简后，把
sinθ代入求值
即可．

16


解答： 解：∵sin
（3π+θ）=﹣
sinθ=，
∴sinθ=﹣，
原式=
+
=+
=+
=
==
=
点评：
18．
此题要求学
生灵活运用
诱导公式及
同角三角函
数间 的基本
公式化简求
值，做题的思
路是把所有
余弦都要化
成正弦．

10．已知
（1）求sinx﹣cosx的值；
（2）求的值．
．

17



考点： 运用诱导公
式化简求值；
同角三角函
数间的基本
关系．
专题： 三角函数的
求值．
分析： （1）利用同
角三角函数
基本关系式
直 接求出sinx
和cosx的值，
进而求出结
果．
（2）先利用
诱 导公式化
简所求的式
子，将原式分
子分母同除
以cos
2
x ，转
化成tanx的
表达式去解．
解答： 解：
∵
sinx=﹣< br>2cosx，又
sin
2
x+cos
2
x=
1，∴5cos
2
x=1，
∴
（1）
（2）原式
=
=
…（12分）
点评： 本题考查同

18


角三角函数
基本关系式
的应 用和三
角函数的诱
导公式，计算
要准确，属于
中档题．

11．已知α是第四象限角，且．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．

考点： 同角三角函
数间的基本
关系；诱导公
式的作用．
专题： 计算题．
分析： （1）由题意
知求出
，再求tanα
的值．
（2）利用诱
导公式，
等价转化为
．
解答： 解：（1）由
题意知，
，
∴
；
（2）
=


19


点评：
．
本题考查诱
导公 式的合
理运用，解题
时要认真审
题，注意三角
函数恒等变
换的灵活运
用．

12．已知 ．
①化简f（α）．
2
②若sinα是方程10x+x﹣3=0的根，且α在第三象限，求f（α）的值．
③若a=

考点： 三角函数的
化简求值；诱
导公式的作
用．
计算题．
①把f（α）的
分子最后一
，求f（α）的值．
专题：
分析：
项的角
﹣α变为6π﹣
（+α），
分母第一项
的角3π+α变
形为2π+
（π+α），第
二项中的角
变形为﹣
（π+α），最
后 一项变形
为4π+
（+α），
然后各项利
用诱导公式
及正弦、余弦< br>函数的奇偶
性进行化简，

20


约分后即可
得到最简结
果；
②把已知的
方程分解因
式后， 求出方
程的两个解，
由sinα是方
程10x
2
+x﹣
3= 0的根，且
α在第三象
限，可得出
sinα的值，代
入第一问化
简后 的式子
中，即可求出
f（α）的值；
③把α的值变
形为﹣6π﹣
， 代入第一
问化简后的
式子中，利用
诱导公式及
正弦函数的
奇偶性化简 ，
再利用特殊
角的三角函
数值即可求
出（fα）的值．
解答： 解：
①
=
=
=﹣sinα；…
（4分）
②由方程
10x
2
+x﹣

21


3=0，解得：
，
又α在第三象
限，
∴
，
则
；…（8分）
（3）当
a=
时，
．…（12分）
点评： 此题考查了
三角函数的
恒等变形，涉
及的知识有：
正弦、余 弦函
数的奇偶性，
诱导公式，函
数的值，以及
特殊角的三
角函数值， 灵
活变换角度，
熟练掌握诱
导公式是解
本题的关键．

13．（1）已知
（2）已知且，求cosα﹣sinα的值．

考点： 运用诱导公
式化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1） 由题意
得
sinα+cosα=
，平方可

22

sinα﹣cosα的值．，求

得
2sinαcosα=﹣
，代入sinα
﹣cosα=﹣
=﹣
进行运算．
（2）由题意
得cosα﹣
sinα=﹣
=﹣
，把已知 条件
代入运算．
解答： 解：（1） 已
知
，
∴sinα+cosα=
，

1+2sinαcosα=
，2sinαcosα=
﹣，
∴sinα﹣
cosα=﹣
=﹣
=﹣．
（2）已知
，且

23


，cosα﹣sinα=
﹣
=﹣
=．
点评： 本题考查同
角三角函数
的基本关系
的应用，诱导
公式的应用，
判断所求式
子的符 号是
解题的关键．

14．已知f（α）=
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cos（
（3）若

考点：
专题：
分析：
诱导公式的
作用．
三角函数的
求值．
（1）利用诱
导公式化简
f（α）
=

）=，求f（α+π）的值；
，求f（α）的值．
，整理可得结
果．
（2）利用诱
导公式求得
sinα=﹣，再
利用同角三
角函数的基
本关系求得
cosα=﹣

24


，再由f
（α+π）=﹣
cos（π+α）
=cosα 求得
结果．
（3）利用诱
导公式可得f
（α）=﹣cos
（670π+）
=﹣c os，计
算求得它的
值．
解答： 解：（1）f（α）
=
=
=﹣cosα．
（2）若α是
第三象限角，
且cos
（）
=，
故﹣sinα=，
sinα=﹣，
∴cosα=﹣
=﹣．
∴f（α+π）=
﹣cos（π+α）
=cosα=﹣
．
（3）若
，则f（α）=

25


﹣
cos
﹣cos
（670π+
=﹣cos
．
点评： 本题主要考
查应用诱导
公式化简三
角函数式，同
角三角函数
的基本关系
的应用，要特
别注意符号
的选取，这是
解题的易错
点，属于基础
题．
）
=﹣
=

15．已知f（a）=
（1）化简f（a）；
（2）若角a的终边经过点P（﹣2，3），求f（a）的值．

考点： 诱导公式的
作用；任意角
的三角函数
的定义．
专题： 计算题．
分析： （1）利用三
角函数的诱
导公式即可
求得f（a）；
（2 ）角a的
终边经过点P
（﹣2，3），
利用任意角
的三角函数
的定义 ，可求
得（fa）的值．
解答： 解：（1）∵sin
．
（a﹣）=
﹣cosa，cos

26


（﹣a ）=
﹣sina，tan
（7π﹣a）=﹣
tana，tan（﹣
a﹣5π） =﹣tan
（5π+a）=﹣
tana，sin（a
﹣3π）=﹣
sina，
∴f（a）
=
=﹣cosa；
（2）∵a的终
边经过点P
（﹣2，3），
∴cosa=﹣
=﹣
，
∴f（a）
=
点评：
．
本题考查三
角函数的诱
导公式与任
意角的三角
函数的定义，
掌握诱导公
式是基础，属
于基础题．

16．已知
（1）若α是第三象限角，
（2）若

考点： 诱导公式的
作用；同角三
角函数间的
基本关系．
三角函数的
求值．
．
，求f（α）的值；
，求f（α）的值．
专题：

27


分析： 利用诱导公
式化简f（α）
得到最简结
果，
（1）由α为
第三象限 ，
sinα的值小于
0，得到cosα
的值小于0，
由sinα的值，
利用同角三
角函数间的
基本关系求
出cosα的值，
即可确定出f
（α）的值；
（2）将α的
度数代入f
（α）中，利
用诱导公式
化 简即可得
到结果．
解答： 解：f（α）
=
=﹣cosα，
（1）∵α是第
三象限角，
sinα=﹣＜
0，
∴cosα＜0，
∴cosα=﹣
=﹣，
则f（α）=﹣
cosα=；
（2）将α=﹣
代入
得：f（﹣
）=﹣cos
（﹣）=

28


﹣cos
（11π+）=
﹣cos（π+）
=cos=．
点评： 此题考查了
诱导公式的
作用，以及同
角三角函数
间的基本关
系，熟练 掌握
诱导公式是
解本题的关
键．

17．已知0＜α＜π，tanα=﹣2．
（1）求sin（α+）的值；
（2） 求的值；
（3）2sin
2
α﹣sinαcosα+cos
2
α

考点： 同角三角函
数间的基本
关系；诱导公
式的作用．
专题： 计算题．
分析： （1）由已知
中0＜α＜π，
tanα=﹣2， 根
据同角三角
函数关系，我
们可以求出
sinα，cosα的
值，代 入两角
和的正弦公
式，即可求出
sin（α+）
的值；
（2）利用 诱
导公式，我们
可以将原式
化为用α的三
角函数表示

29



的形式，弦化
切后，tanα=
﹣2，即可得
到答案．
（3）根据
sin
2
α+cos
2
α=
1，我们可以
将2si n
2
α﹣
sinαcosα+cos
2
α化为齐次分
式，弦 化切
后，代入
tanα=﹣2，即
可得到答案．
解答： 解：因为0＜α
＜π，tanα=﹣
2，所以
sinα=，
cosα= （1）sin
（α+）
=sinαcos+
cosαsin=
+
（）
×=

（2）原式
=
=
=﹣1
（3）原式
=

30


=
=
点评：

本题考查的
知识点是同
角三角函数
间的基本关
系，诱导公
式，两角和的
正弦公式，其
中（2）（3）< br>中齐次分式
弦化切是三
角函数给值
求值中最常
用的方法．

18．已知α是第三象限角，且f（α）=
（1）化简f（α）；
（2）若tan（π﹣α）=﹣2，求f（α）的值；
（3）若α=﹣420°，求f（α）的值．

考点： 诱导公式的
作用．
专题： 三角函数的
求值．
分析： （1）直接利
用诱导公式
化简函数 f
（α）为﹣
cosα．
（2 ）由tan（π
﹣α）=﹣2，
求得tanα=2，
再利用同角
三角函数的< br>基本关系求
出cosα的值
即可求得f
（α）=﹣cosα
的值．
（3）先利用
诱导公式求
得 cosα=cos
．

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（﹣420°）
=，即可求得
f（α）=﹣cosα
的值．
解：（1）f（α）
=
=
=﹣cosα．﹣
﹣﹣﹣ ﹣﹣
﹣﹣﹣（4分）
（2）∵tan（π
﹣α）=﹣2，
∴tanα=2． ﹣
﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣（5分）
．﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣
（6分）
∵α是第三象
限角，
∴
，∴f（α）
=．﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣（8分）
（3）
∵
，
∴f（α）=﹣
cosα=．
﹣﹣﹣﹣﹣
﹣（12分）
32

解答：



点评： 本题主要考
查同角三角
函数的基本
关系，诱导公
式的应用，属
于基础题．

19．已知．
（Ⅰ）化简f（α）；
（Ⅱ）若α是第三象限角，且

考点： 诱导公式的
作用；同角三
角函数基本
关系的运用．
计算题．
（Ⅰ）利用诱
导公式对函
数的解析式
化简整理求
得函数的解
析式．
（Ⅱ）利用诱
导公式整理
求得sinα的
值，进 而利用
同角三角函
数的基本关
系求得cosα
的值，代入函
数的解析 式
求得答案．
解：（Ⅰ）
，求f（α）的值．
专题：
分析：
解答：
=
=tanα
（Ⅱ）
=﹣

33


sinα=
∴sinα=﹣

∵α是第三象
限角
∴cosα=﹣
=﹣
∴f（α）
=tanα=
=2
点评：

，
本题 主要考
查了诱导公
式的化简求
值，同角三角
函数的基本
关系的应用．解题的关
键是熟练掌
握“奇边偶不
变，正负看象
限”的原则．
，计算：

20．（1）已知

（2）已知α为第二象限角，化简 ．

考点： 诱导公式的
作用；同角三
角函数间的
基本关系．
计算题．
（1）将所求
式子的分母1
用
专题：
分析：
sinα+cosα
代替，然后分
子分母同除
2
以cos
α，
（2）利用诱
导公式及三
角函数关系
式即可将

22
34


化简，并求得
其值．
解答： （1）解：
∵，
cosα≠0，
∴
=
=
==；
（2）∵α为第
二象限角，
∴
=
=
=﹣1．
点评： 本题考查三
角函数的诱
导公式及三
角函数间的
基本关系，关
键是熟练掌
握三角函数
的诱导公式
及三角函数
间的基本关
系 并灵活应
用，属于中档
题．

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诱导公式的化简与求值20题

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