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三阶魔方的公式角函数诱导公式及推导

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 00:55
tags:诱导公式

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三角函数诱导公式:
所谓三角函数诱导公式,就是将角n·(π2)±α的三角函数转化
为角α的三角函数。
常用公式:公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=?-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)= tanα
cot(π+α)=cotα
公式三: 任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关
系:
sin(π-α)= sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关
系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)= cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六: π2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π2+α)=cosα
sin(π2-α)=cosα
cos(π2+α)=-sinα
cos(π2-α)=sinα
tan(π2+α)=-cotα
tan(π2-α)=cotα
cot(π2+α)=-tanα
cot(π2-α)=tanα
推算公式:3π2 ± α与α的三角函数值之间的关系:
sin(3π2+α)=-cosα
sin(3π2-α)=-cosα
cos(3π2+α)=sinα
cos(3π2-α)=-sinα
tan(3π2+α)=-cotα
tan(3π2-α)=cotα
cot(3π2+α)=-tanα
cot(3π2-α)=tanα
诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。
“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶,“变与不变 ”指的是三角函数的名称
的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限 ”
的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π2)±α是第几象
限角,从而 得到等式右边是正号还是负号。以cos(π2+α)=-sinα为例,
等式左边cos(π2+α) 中n=1,所以右边符号为sinα,把α看成锐角,所以
π2<(π2+α)<π,y=cosx在区 间(π2,π)上小于零,所以右边符号为
负,所以右边为-sinα。
符号判断口诀: < br>全,S,T,C,正。这五个字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种
三角函数值都是 “+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三
象限内只有正切和余切是“+”,其余 全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,
其余全部是“-”。
也可以这样理解:一、二 、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余
弦指的是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未提 及的都是负值。
“ASTC”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos ”按照将
字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。
另一种口诀:正弦一二切一三,余弦一四紧相连,言之为正。
推导过程:
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα[cos
2< br>(α)+sin
2
(α)],
(因为cos
2
(α)+sin
2
(α)=1)
再把分式 上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα[1+tan
2
(α)]
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3α=sin3αcos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα) =[2sinαcos
2
(α)+cos
2
(α)sinα-sin3
(α)][cos
3
(α)-cosαsin
2
(α)-2sin
2
(α)cosα]
上下同除以cos
3
(α),得:
tan3α=[3tanα-tan3
(α)][1-3tan
2
(α)]
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos
2
(α)+[1-2sin
2
(α)]sinα
=2sinα-2sin
3
(α)+sinα-2sin
3
(α)
=3sinα-4sin
3
(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=[2cos
2
(α)-1]cosα-2cosαsin
2
(α)
=2cos
3
(α)-cosα+[2cosα-2cos
3
(α) ]
=4cos
3
(α)-3cosα

sin3α=3sinα-4sin
3
(α)
cos3α=4cos
3
(α)-3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacos b-cosasinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
同理,若把两式相减,就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosacosb- sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
同理,两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]2
这样,我们就得到了积化和差的公式:
cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]2
sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)2]cos[(x-y)2]
sinx- siny=2cos[(x+y)2]sin[(x-y)2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)2]cos[(x-y)2]
cosx- cosy=-2sin[(x+y)2]sin[(x-y)2]
三角函数
同角三角函数的基本关系式
倒数关系
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系
sinαcosα=tanα=secαcscα
cosαsinα=cotα=cscαsecα
平方关系
sin
2
(α)+cos
2
(α)=1
1+tan
2
(α)=sec
2
(α)
1+cot
2
(α)=csc
2
(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间1”的正六边形为模型。
倒数关系
对角线上两个函数互为倒数;
商数关系
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻 的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条
虚线两端的三角函数值的乘积,下面4个也存在这种关系。) 由此,可得商数关系式。
平方关系
在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值 的平方和等于下面顶点上的三
角函数值的平方。
两角和差公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ )(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanαtanβ)
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=c os
2
(α)-sin
2
(α)=2cos
2
(α)-1= 1-2sin
2
(α)
tan2α=2tanα[1-tan
2
(α)]
tan[(12)α]=(sin α)(1+cos α)=(1-cos α)sin α
半角的正弦、余弦和正切公式
sin
2
(α2)=(1-cosα)2
cos
2
(α2)=(1+cosα)2
tan
2
(α2)=(1-cosα)(1+cosα)
tan(α2)=(1—cosα)sinα=sinα1+cosα
万能公式
sinα=2tan(α2)[1+tan
2
(α2)]
cosα=[1-tan
2
(α2)][1+tan
2
(α2)]
tanα=[2tan(α2)][1-tan
2
(α2)]
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin
3
(α)
cos3α=4cos
3
(α)-3cosα
tan3α=[3tanα- tan
3
(α)][1-3tan
2
(α)]
三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]
三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]

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