均数的公式诱导公式的化简与求值

诱导公式的化简与求值
1．已知角α终边上一点P（﹣，1）
（1）求的值
（2）写出角α的集合S．

考点： 任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．
专题： 计算题．
分析：
先求出点P（﹣，1）到原点的距离，再由定义求出角α的三角函数值，
（1）先用诱导公式化简，再代入角α的三角函数值求值；
（2）写出角α的集合S，由于本题中的角是一个特殊角，故可以用终边相同的角将它表示出来．
解答：
解：点P（﹣，1）到原点的距离是2，由定义sinα=，cosα=﹣
（1）==﹣==﹣
（2）由sinα=，cosα=﹣
故S={α|α=2kπ+，k∈z}
知角α的终边与角的终边相同，故α=2kπ+，k∈z
2．已知角α的终边经过点P（，﹣）．
（1）求sinα的值．
（2）求式﹣的值

考点： 任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．
（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．
解答：
解：（1）∵|OP|=
∴点P在单位圆上．（2分）
由正弦函数的定义得
sinα=﹣（5分）
（2）原式=（9分）
，
=..（10分）
由余弦的定义可知，cosα=（11分）
即所求式的值为（12分）
3．已知角α终边上一点A的坐标为
（1）求角α的集合（6分）
（2）化简下列式子并求其值：（6分）
，

考点： 三角函数的化简求值；终边相同的角；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．
专题： 计算题．
分析： （1）根据角的终边过一个定点，根据三角函数的定义做出角的正弦值，根据角的终 边在第四象限，
写出与角终边相同的所有的角的集合．
（2）首先用诱导公式进行整理，再把 正割与余割变化成正弦与余弦的形式，约分整理出最简形式，
得到结果．
解答：
解：（1）点P到原点的距离为r=
根据三角函数的定义，得…．（2分）
∵点P在第四象限，也就是角α在第四象限…．（4分）
∴α的集合是
（2）原式=
…（6分）
…．（8分）
==﹣sinα=
4．（1）已知tanα=2，求的值
（2）已知cos（75 °+α）=，其中﹣180°＜α＜﹣90°，求sin（105°﹣α）+cos（375°﹣α）的值．

考点： 同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
专题： 计算题．
分析：
（1）利用诱导公式化简表达式，应用tanα=2求出，代入化简后的表 达式即可求出原式
的值．
（2）利用诱导公式化简sin（105°﹣α）+cos（375 °﹣α），为2sin（75°+α），利用
求出2sin（75°+α）即可．
解答：
解：（1）原式=
=
∵
∴（6分），∴原式=
（3分）
，
（2分）
（7分）

（2）原式=sin（75°+α）+cos（15°﹣α）=2sin（75°+α）（9分）
∵
∴sin（75°+α）＜0∴
故原式=（14分）
，且﹣105°＜75°+α＜﹣15°，
（12分）
5．已知α是第三象限角，且
（1） 化简f（α）；
（2） 若，求f（α）的值．

考点： 运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．
专题： 计算题．
分析： （1） 直接利用诱导公式化简f（α），应用正切化为正弦、余弦函数，推出结果；
（2） 求出
系式求出它的值．
解答：
解：（1）f（α）=
的 最简形式，弦长f（α）的表达式，通过同角三角函数的基本关

==
=
（2）∵cos（
∴sinα=﹣，
=﹣cosα
）=﹣sinα=，
∵α是第三象限角，
∴cosα=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=
6．已知角α的终边上一点P（x，4），且cosα=﹣．
（1）求x的值；
（2）求sin（α+π）的值；
（3）将角α的终边沿顺时针旋转π弧度得到角β，求sinβ的值．

考点： 任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）利用三角函数的定义，求出x的值；
（2）直接利用诱导公式化简sin（α+π），然后求出它的值；
（3）将角α的终边沿顺时针旋转π弧度得到角β，然后直接利用诱导公式，求sinβ的值．
解答：
解：（1）因为cosα=﹣，所以，所以，x=﹣3；
（2）因为cosα=﹣，所以sin（α+π）=cosα=﹣；
（3）将角α的终边沿顺时针旋转π弧度得到角β，
﹣．
，sinβ=sin（）=cosα=
7．已知
（1）化简f（α）
（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．

考运用诱导公式化简求值．
点：
专计算题．
题：
分（1）利用诱导公式化简f（α ）的结果为cosα．
析： （2）利用诱导公式求出sinα，再由同角三角函数的基本关系求出cosα，从而得到f（α）的值．
解解：（1）
答：
==
cosα．
（2）∵
又∵α为第三象限角，∴
，∴
，∴
，
．
点本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简f（α ）
评： 是解题的突破口．

8．求值：①sin870°+cos660°+t an1215°﹣tan（﹣300°）+cot（﹣330°）
②

考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 计算题．
分析： ①先利用诱导公式：终边相同的角的三 角函数值相等，将题中的角化到[0°，360°）上，再利用诱
导公式将其转化为锐角三角函数值即可
②先利用诱导公式化简所求三角式，再利用同角三角函数基本关系式化简即可
解答： 解：①sin870°+cos660°+tan1215°﹣tan（﹣300°）+cot（﹣330°）
=sin（720°+150°）+cos（720°﹣60°）+tan（﹣360°+60°）+c ot（﹣360°+30°）
=sin150°+cos（﹣60°）+tan60°+cot30°
=sin30°+cos60°+tan60°+cot30°
．
=++
=1+2
②
=
=
=

+




=
=﹣1
点评： 本题考查了诱导公式的运用和同角三角函数基本关系式的运用，细心和运用恰当的公式是解决本题
的关键