劳务费公式必修四诱导公式习题

必修四诱导公式习题课件

三角函数的诱导公式习题课（一）
一．复习
我们学习了三角函数的六组诱导公式．这六组公式揭示了角
与角的三角函数值之间的联系，其中 公式五、六还可实现正
弦函数与余弦函数的相互转化．
为了便于记忆，可以把诱导公式简单的概括为“奇变偶不变，
符号看象限”．
二．诱导公式的作用：
利用诱导公式可以把任意角（轴角除外）的三角函数转化为
锐角的三角函数．
诱导公式提示我们要观察未知角和已知角之间的联系，为解
题提供方向．
三．例题讲解
“诱导公式”这节的常见题型为求值问题、化简问题、证明
问题等，这 次课我们主要谈一谈求值的相关问题．
例1的值为__________ ．分析 需要用诱导公式把的正弦值
转化为某个锐角的三角函数值来求解．解析评析 在求具体
角的三角 函数值时，注意把该角（轴角除外）的三角函数转
化为锐角的三角函数求解，转化步骤为：负角变正角， 大角
变小角，小角变锐角．
例2 已知，则__________ ．
分析 注意到两个角互补，因此可以根据诱导公式先求出
角的正弦值与余弦值，再求
解析 因为，
所以，又角为锐角，所以，
因此．
评析 诱导公式告诉我们两个角互余， 其中一个角的正弦值
等于另一个角的余弦值；两个角互补，它们的正弦值相等，
余弦值互为相反 数，正切值互为相反数．因此在解题时注意
观察两个角互余、互补的关系，会为解题提供方向．
例3 若，求
分析 注意到，，所以可以转化为来求解．
解析 由于，而，且为锐角，所以，所以，
即．
评析 在解题时应该养成化一般角为锐角的习惯，这样往往
更容易看出两个角之间的联系．
例4 已知， 为第三象限角， 则
_______ ．
分析 把分别看成整体，注意到与互补、 。因此可由
诱导公式分别计算它们的余弦值．
解析 由于，
所以；由于所以，又因为 为第三象限角且，所以为第四
象限角，因此，所以因此原式．，评析 ⑴ 我们应该把类似
这样的和角或差角分别看成整体，这样更容易寻找它们之间
的关系．⑵ 观察未知角和已知角之间的联系往往是解题的
关键．
例5 求的值
分析 当 为偶数时，角的终边在 轴正半轴；当 为
奇数时，角 的终边在 轴负半轴，化简结果是不同的，
因此要先对 进行分类讨论．
解析 ⑴当 为偶数，即时，原式
⑵当 为奇数，即时，原式
综上所述，当 为偶数时，原式；当 为奇数时，原式．
评析 在用诱导公式化简形如的式子时，要注意对 进行
“奇、偶”的分类讨论．
例6 若函数，求的值．
分析 连续求102个三角函数值是不可能的，必须发现这102
个数的变化规律．易知
所以，因此 第13个数开始重复，也就是连续12个数为一个
循环．这是我们观察出来的规律，是否有理论依据呢？ 我们
来看具体解法．
解析 因为，
所以．所以12个这样的函数值为一个循环．又因为
而，所以
评析 ⑴ 由诱导公 式可发现这些三角函数的函数值按一定周
期循环出现，这样在求值时可以化多为少，化繁为简；⑵
寻找循环规律也是解决多个数相加、相乘的常用思路．
小结 利用诱导公式处理求值问题时，要有意识的观察两个
角之间的联系，同时注意以下细节
尽量把任意角（轴角除外）化为锐角来处理；
注意未知角与已知角之间互余或互补的关系，这会为解题提
供方向；
化简形如的式子时，要注意对n进行“奇、偶”的分类讨论；
整体的看待和角与差角能更容易的找到两个角之间的联系．
三角函数的诱导公式习题课（二）
上次课我们处理了利用诱导公式求值的相关问题，这次课我
们谈一谈化简和证明问题以及较难的 求值问题．
例1 化简的结果是_____ ．
分析 先利用诱导公式把角化简，再凑完全平方公式．解析
因为角2为第二象限角，所以．因此原式．
评析 化简2次根式的时候，往往需要把根式里面凑成平方
的形式，而常数1往往根据需要写成 某个角正弦与余弦平方
的和的形式．
例2 已知为的三个内角，
求证：；．
分析 注意到，所以可用诱导公式加以证明．
证明 因为为的三个内角，所以，
因为，
所以。 所以原命题均成立．
评析 这两个结论在今后处理与三角形有关的问题时有着广
泛的应用．另外类似的结论还有
例3 已知，求证：．
分析 注意已知条件，只有当角
时，其正弦值才能得1，所以可以把角 用角 表示，从
而完成证明．
证明 由于，根据三角函数的定义，有．所以，所以
所以原命题成立．
评析 ⑴ 注意当某个角正弦值为1时，这个角的终边只能落
在y轴正半轴上；⑵ 一般证明等式的思路是“从左推 右”
或“从右推左”、或证明“等式两边都等于一个相同的式
子”．
例4中，若，
，求的三个内角．
分析 ⑴ 求角，要先求该角的某个三角函数值，再根据该角
所在的象限定出该角的具体值．⑵ 已知条件要先用诱导公
式进行化简，其中
也可以把 看成锐角，这样为第四象限角，所以
解析 由已知条件可得，两式
平方相加可得：
所以，因此，即．
若，则．因为，所以若，则，所以且，不合题意，舍去．
综上所述，中，．
评析 ⑴ 虽然形如的诱导公式没有正式给出，但实际上诱导
公式是可以推广的，只要是形如“轴角”
的形式，都可用规律“奇变偶不变，符号看象限”化简．⑵
在三角形中求角时，要注意求该角的余弦或正切值，因为这
样便于判断该角是锐角还是钝角．
例5 若，化简
分析 由于 为任意整数，所以 与必然奇、偶互异，因
此要对 进行奇、偶分类．
解析 ⑴当 为奇数，即时，原式
⑵当 为偶数，即时，原式
评析 当出现时,要注意对 进行奇、偶分类
综上：原式．例6 已知函数，
且，求的值．
分析 由于题 中涉及的角很大，所以先用诱导公式化简再求
值；另外题中未知参数较多，这时往往要考虑整体代换．
解析 因为
所以，所以
评析 ⑴ 当题目中出现的角很大时，应先用诱导公式进行化
简；⑵ 本题中的未知参数较多，一一求解显然不现实 ，当
把看成整体处理时，问题将被大大简化．解题时应注意整体
代换思想的应用．
小结 诱导公式在三角函数的“求值”、“化简”、“证明”
等问题中有着广泛的应用，既能提 供化简依据，又能提供解
题思路，是我们学习三角函数重要的基础公式．