中心公式第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

[选题明细表]
知识点、方法
同角三角函数基本关系
诱导公式
诱导公式在三角形中应用
三角函数求值
一、选择题
1.已知cos α=k,k∈R,α∈(,π),则sin(π+α)等于( A )
题号
1,2,10
3,4,6,15
5,7,11,12
8,9,11,12,13,14
(A)-
(C)±
(B)
(D)-k

解析:由cos α=k,α∈(,π)得sin α=
所以sin(π+α)=-sin α=-.故选A.
,
2.已知cos 31°=a,则sin 239°·tan 149°的值是( B )
(A)
(C)
(B)
(D)-


解析:sin 239°·tan 149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=
-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°=.故选B.
3.(2018·湖州调研)已知sin(+α)=-,α∈(,π),则tan α等于
( C )
(A) (B)- (C)- (D)
解析:cos α=sin(+α)=-,
又α∈(,π),则sin α=
则tan α==-,故选C.
=,
4.若sin(π+α)=,α∈(-,0),则tan α等于( B )
(A) (B)- (C)- (D)-
解析:sin α=-sin(π+α)=-,
因为α∈(-,0),
所以cos α==.
所以tan α==-.故选B.
5.若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cos B-sin A,sin B-cos A)
在( B )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:因为△ABC是锐角三角形,则A+B>,
所以A>-B>0,B>-A>0,
所以sin A>sin(-B)=cos B,
sin B>sin(-A)=cos A,
所以cos B-sin A<0,
sin B-cos A>0,
所以点P在第二象限.故选B.
6.若sin(-α)=,则cos(+2α)等于( A )
(A)- (B)-
(C) (D)
解析:因为(+α)+(-α)=,
所以sin（-α）=sin[-（+a）]=cos(+α)=.
则cos(+2α)=2cos
2
(+α)-1=-.故选A.
7.在△ABC中,sin(-A)=3sin(π-A),且cos A=-cos(π-B),则C
等于( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为sin(-A)=3sin(π-A),
所以cos A=3sin A,
所以tan A=,
又0又因为cos A=-cos(π-B),
即cos A=cos B,
所以cos B=cos=,
又0所以C=π-(A+B)=.故选C.
8.已知θ为第二象限角,sin θ,cos θ是关于x的方程 2x
2
+
(-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sin θ-cos θ等于( B )
(A) (B) (C) (D)-
解析:因为sin θ,cos θ是方程2x
2
+(-1)x+m=0(m∈R)的两根,
所以sin θ+cos θ=,sin θcos θ=.
可得(sin θ+cos θ)
2
=1+2sin θcos θ,
即=1+m,
所以m=-.
因为θ为第二象限角,
所以sin θ>0,cos θ<0,
则sin θ-cos θ>0.
因为(sin θ-cos θ)
2
=(sin θ+cos θ)
2
-4sin θ·cos θ
=-2m
=1-+
=,
所以sin θ-cos θ==.故选B.
二、填空题
9.已知=7,则tan α= ,又tan(α-β)=-,则tan
= .
解析:已知===7,则tan α=.
因为tan(α-β)=-,
所以tan β=tan[α-(α-β)]
=
=
β
=3.
答案: 3
10.(2019·桐乡一中高三模拟)若tan α+
,tan
2
α+
解析:因为tan α+
= .
=+==3,
=3,则sin αcos α=
所以sin αcos α=,
tan
2
α+=(tan α+)
2
-2=9-2=7.
答案: 7
11.在△ABC中,已知sin A=10sin Bsin C,cos A=10cos Bcos C,则
tan A= ,sin 2A= .
解析:由sin A=10sin Bsin C,cos A=10cos Bcos C得
cos A-sin A=10cos(B+C)=-10cos A,
所以sin A=11cos A,
所以tan A=11,sin 2A=
答案:11
==.
12.已知关于x的方程4x
2
-2(m+1)x+m=0的两个根 恰好是一个直角三
角形的两个锐角的余弦值,则实数m的值为 .
解析:设直角三角形的两锐角为A,B,则A+B=,
由题意知
可得
由①②得(

)
2
=1+,


解得m=或m=-(舍).
答案:
13.若
解析:由
=2,则sin(θ-5π)sin (-θ)= .
=2,
得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),
两边平方得1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos θ),
故sin θcos θ=,
所以sin(θ-5π)sin(-θ)=sin θcos θ=.
答案:
三、解答题
14.已知-π(1)求sin x-cos x的值;
(2)求的值.
解:(1)由已知,得sin x+cos x=,
两边平方得sin
2
x+2sin xcos x+cos
2
x=,
整理得2sin xcos x=-.
由-π所以cos x>0,所以sin x-cos x<0,
因为(sin x-cos x)
2
=1-2sin xcos x=,
所以sin x-cos x=-.
(2)
=
=
=

=-.
15.是否存在α∈(- ,),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos(-
β),cos(-α)=-cos(π +β)同时成立?若存在,求出α,β的值;
若不存在,请说明理由.
解:存在.
假设存在α,β满足条件,
由已知条件可得
由①
2
+②
2
得sin
2
α+3cos
2
α=2.
又sin
2
α+cos
2
α=1,

所以cos
2
α=,
所以cos α=±.
因为α∈(-,),
所以cos α=,所以α=±.
当α=时,由②式知cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,此时①式成立;
当α=-时,由②式知cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,此时①式不成立,故舍去.
所以存在α=,β=满足题意.