年假计算公式三角函数、诱导公式、三角恒等变换习题

一．选择题（共15小题）
1．若α是第四象限角，sin（
A．
2．已知cos（2α﹣
A．﹣
3．已知：sin
A．﹣
+α）＝﹣，则sin（
C．
﹣α）＝（ ）
D．﹣ B．﹣
）＝﹣
B．
，其中
B．﹣
2
，α∈（0，），则cos（α﹣
C．
）＝（ ）
D．﹣
，则tan2α＝（ ）
C． D．
4．已知2sinθ+cosθ＝0，则sinθcosθ﹣cos
θ的值（ ）
A．
5．已知
A．
B．
，则
B．
），cos（
B．

）﹣sin
C．
C．
＝（ ）
C．
，则sin（

，则sin（
D．
D．
）的值是（ ）
D．
）＝（ ）

D．
6．已知α∈（﹣
A．
7．若α，β均为锐角且cos
A． B．
，cos（α+β）＝﹣
C．
8．若cos（
A．
﹣α）＝，则sin2α＝（ ）
B． C．﹣ D．﹣
9．已知sinθ+cosθ＝，
A． B．﹣
），β∈（0，


，则sinθ﹣cosθ的值为（ ）
C． D．﹣
，则（ ）
C．2α﹣β＝ D．2α+β＝
10．设α∈（0，
A．3α﹣β＝
），且tanα＝
B．3α+β＝
11．已知点A的坐标为（4
纵坐标为（ ）
，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的
第1页（共28页）


A． B．
2
C． D．
12．扇形的周长为6cm，面积是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1
13．已知sin（
A．
B．4
）＝，则cos（
B．
sinx+cosx）（
B．π
C．1或4
）的值等于（ ）
C． D．
D．8
14．函数f（x）＝（
A．
cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）
C． D．2π
的值为（ ）
C． D．1
15．设tan（5π+α）＝m，则
A． B．﹣1
二．填空题（共10小题）
16．已知
17．
，且tan（α+β）＝，则tanβ的值为
＝ ．
18．设角α、β是锐角，若（1+tanα）（1+tanβ）＝2，则α+β＝ ． 19．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣
20．如果圆心角为
）＝，那么tan（α +）的值是 ．
的扇形所对的弦长为2
，
，则扇形的面积为 ．
）﹣cosα﹣2λ＝0，4β+sinβcosβ+λ
33
21．若α∈[0，π] ，β∈[﹣
＝0，则cos（
]，λ∈R，且（α﹣
+β）的值为 ．
，则x﹣y＝ ． 22．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany＝2，
23．已 知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝ ．
24．设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝ ．
25．函数
三．解答题（共15小题）
26．已知函数f（x）＝
零点，且 |x
2
﹣x
1
|的最小值为．
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的定义域是 ．
+（ω＞0），x
1
，x
2
是函数f（x）的

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设α，β∈（0，
（α﹣β）的值．
27．已知
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
，且α为第二象限角．
的值；
的值．
）+2cosx．
2
），若f（）＝，f（）＝﹣，求cos28．设函数f（x）＝sin（2x﹣
（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域； a＝b，c（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝，
＝1+， 求△ABC的面积．
29．已知sinα+cosα＝．
（1）求sin（
（2）若α
）cos（）的值；
β终边在y＝2x上，求为第二象限角，且角
的值．
30．已知函数f（x）＝cosx+
2
sin（π﹣x）cos（π+x）﹣
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]的单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A，B ，C，的对边分别为a，b，c，已知f（A）＝﹣1，a
＝2，bsinC＝asinA，求△ABC 的面积．
31．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2b﹣3c）cos A+2acosB＝0．
（1）求cosA的值；
（2）若a＝3，b+c＝5，求△ABC的面积．
32．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求边b，c．
＝bsinA．
．
33．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin
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（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
34．在△ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3csinB＝4asinC．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求sin（2B+）的值．
+sinA） 35． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinB+csinC＝a（
（1）求A的 大小；
（2）若a＝，B＝，求△ABC的面积
222
36．已知在△ABC中， A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b﹣c＝8，△ABC的面积
为2．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，求sinA+sinB的值．
37．如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝，点D在线段BC上．
（1）若∠ADC＝π，求AD的长；
（2）若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．

38．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度< br>为15°，向山顶前进10米后到达点B，又从点B测得斜度为α，建筑物的高CD为5米．
（Ⅰ）若α＝30°，求AC的长；
（Ⅱ）若α＝45°，求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．
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39．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，A B＝14，∠BDA＝60°，∠BCD
＝135°，求BC的长．

40．如图所 示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时
10海里的速度向方位 角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里小时的速度追击，求我
艇追上走私船所需要的最短时间．

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一．选择题（共15小题）
1．若α是第四象限角，sin（
A．
+α）＝﹣，则sin（
C．
﹣α）＝（ ）
D．﹣ B．﹣
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵α是第四象限角，sin（
∴cos（
则sin（
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．
2．已知cos（2α﹣
A．﹣
【分析】先判断α﹣
）＝﹣
B．
，α∈（0，），则cos（α﹣
C．
）＝（ ）
D．﹣
）．
为
+α）＝
﹣α）＝sin[﹣（
＝
+α）＝﹣
，
+α）＝，
，∴+α仍是第四象限角，
+α）]＝cos（
为锐角，再利 用二倍角公式，求得cos（α﹣
）＝﹣，α∈（0，），2α﹣【解答】解：∵cos（2α﹣
锐角，
cos（2α﹣
故选：B．
）＝﹣＝2
为钝角，故α﹣
﹣1，∴cos（α﹣）＝，
【点评】本题主要考查二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
3．已知：sin
A．﹣
，其中
B．﹣
，则tan2α＝（ ）
C． D．
【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化 简，整理
求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα﹣ cosα
＝0，联立求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值，利用二倍角的正切函数公式 即可
计算得解．
【解答】解：∵把sinα+cosα＝，①，两边平方得：（sinα+c osα）＝
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2
，即1+2sinαcosα

＝，
，
，
∴2sinαcosα＝﹣
∵
∴sinα＞ 0，cosα＜0，sinα﹣cosα＞0，
∴（sinα﹣cosα）＝1﹣2sinαcosα ＝
2
，解得：sinα﹣cosα＝，②，
①+②得：2sinα＝，即sinα＝，cosα＝﹣，
则tanα＝﹣，tan2α＝
故选：D．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关 系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，
属于基础题．
4．已知2sinθ+cosθ＝0，则sinθcosθ﹣cos
θ的值（ ）
A． B． C． D．
2
＝．
【分析】根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式 加
上一个分母1，变成同角的正弦与余弦的平方和，变成正切，得到结果．
【解答】解：∵2 sinθ+cosθ＝0，∴tanθ＝﹣，∴sinθcosθ﹣cos
θ＝
2
＝＝ ＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应 用切与弦之间
的互化问题，本题是一个基础题．
5．已知
A．
，则
B．
＝（ ）
C． D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．
【解答】解 ：∵已知，∴平方可得1﹣2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝
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，
则
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
6．已知α∈（﹣
A．
），cos（
B．
）﹣sin

）﹣sin
C．
，则sin（

）的值是（ ）
D．
+α）
＝sin2α＝2sinαcosα＝，
【分析】由cos（，打开可得cos（+α）＝，在求解sin（
＝，利用和与差即可求解．
【解答】解：由题意：cos（
即cos﹣sinα﹣sinα＝
cos（+α）＝< br>，
，
）﹣sin，
可得：
即cos（
∵α∈（﹣
则
+α）＝
），
） +α∈（0，
∴sin（
则sin（
＝
+α）＝．
）＝sin[（+α）
．
]＝sin（+α）cos﹣cos（+α）sin
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正余弦公式，构造思想，难度不大，属于基
础题．
7．若α，β均为锐角且cos
A． B．
，cos（α+β）＝﹣
C．
，则sin（
D．
）＝（ ）

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β）的值，进而由 cosβ
＝cos[（α+β）﹣α]，利用两角差的余弦函数公式可求cosβ的值，利用同角三角函 数基本
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关系式可求sinβ的值，根据诱导公式，二倍角公式即可得解．
【解答】解：∵α，β均为 锐角，且cos
∴sinα＝＝，sin（α+β）＝
，cos（α+β）＝﹣
＝，

+∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（ α+β）sinα＝
＝，
可得：sinβ＝
∴sin（
故选：B．
＝，
22
）＝﹣cos2β＝sin
β﹣cosβ＝﹣＝．
【点 评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，同角三角
函数基本关系式，诱导 公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求
解能力和转化思想，属于中档题．
8．若cos（
A．
﹣α）＝，则sin2α＝（ ）
B． C．﹣ D．﹣
【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α＝cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案． < br>法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值
【解答】解：法1°：∵cos（
∴sin2α＝cos（
法2°：∵cos （
∴（1+sin2α）＝
∴sin2α＝2×
故选：D．
【点评】本题考 查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余
弦是关键，属于中档题．
﹣α）＝，
﹣α）＝2cos（
2
﹣2α）＝cos2（
﹣α）＝
，
，
﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，
（sinα+cosα）＝，
﹣1＝﹣
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9．已知sinθ+cosθ＝，
A． B．﹣
，则sinθ﹣cosθ的值为（ ）
C． D．﹣
【分析】由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcos θ＝，再根据sinθ﹣cosθ＝﹣
，计算求得结果．
【解答】解：由sinθ+cosθ＝，
＝，
，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ
∴2sinθcosθ＝．
∴sinθ﹣cosθ＝﹣
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关 系，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，
属于基础题．
10．设α∈（0，
A．3α﹣β＝
），β∈（0，），且tanα＝

，则（ ）
C．2α﹣β＝ D．2α+β＝
＝﹣＝﹣，
B．3α+ β＝
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）＝cosα，由该等式左右两边角的关系可排除< br>选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）＝cosα，则答案可求．
【解答】解：由tanα＝
，
即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）＝cosα＝sin（
∵α∈（0，
∴当
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基
础题．
），β∈（0，），
）＝cosα成立．
），
，得：
时，sin（α﹣β）＝sin（
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11．已知点A的坐标为（4
纵坐标为（ ）
A． B．
，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的
C． D．
【分析 】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进
行求解即可．
【解答】解：∵点 A的坐标为（4
∴设∠xOA＝θ，则sinθ＝
，1），
＝，cosθ＝＝，
将OA绕坐标原点O逆时针旋转
则OB的倾斜角为θ+
至OB，
，
）＝7（sinθcos+cosθsin）＝7（×
，则|OB|＝|OA|＝
则点B的纵 坐标为y＝|OB|sin（θ+
+
故选：D．
）＝+6＝，
【点评】本 题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公
式是解决本题的关键．
12．扇形的周长为6cm，面积是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．8
2
2
【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6 cm，面积是2 cm，
列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，
则
选C．
【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．
13．已知sin（
A．
）＝，则cos（
B．
）的值等于（ ）
C． D．
，解得α＝1或α＝4．
第11页（共28页）


【分析】直接利用
【解答】解：因为
所以cos（
故选：B．
与
与
互余，即可求出所求结果．
互余，
）＝， ）＝sin（
【点评】本题考查诱导公式的应用，函数值的求法，考查计算能力．
14．函数f（x）＝（
A．
sinx+cosx）（
B．π
cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）
C． D．2π
【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【解答】解：函数f（x）＝（
＝2sin（2x+
∴T＝π，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
15．设tan（5π+α）＝m，则
A． B．﹣1 C．
的值为（ ）
D．1
），
sinx+cosx）（cosx﹣sinx）＝2sin（x+）? 2cos（x+）
【分析】利用诱导公式，再将所求值的关系式转化为关于tanα的关系式即可．
【解答】解：∵tan（5π+α）＝m，
∴tanα＝m，
∴
＝
＝
＝．



故选：C．
【点评】本题考查三角函数的诱导公式的作用，考查同角三角函数间的基本关系，考查
转化思想与运算 能力，属于基础题．
二．填空题（共10小题）
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16．已知，且tan（α+β）＝，则tanβ的值为 ﹣1
【分析】首先利 用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变型成正切函数，进一
步求出结果．
【解答】解：已知
转换为：
整理得：
解得：tanα＝2，
由于tan（α+β）＝
所以：
解得：tanβ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考察学生的运算能力和转
换能力， 属于基础题型．
17．＝ 1 ．
，
，
，
，
，
【分析】利用两角和与差的三角函数以及诱导公式化简求解即可．
【解答】解
．
故答案为：1．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及诱导公式的应用，考查计算能力．
18．设角α、β是锐角，若（1+tanα）（1+tanβ）＝2，则α+β＝ ．
：
【分析】首先，根据条件（1+tanα）（1+tanβ）＝2，化简，得到tan（α+β）＝1， 然后，
结合α，β都是锐角，从而确定α+β的值．
【解答】解：∵（1+tanα）（1+tanβ）＝2，
∴1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，
∴tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ＝1
∴tan（α+β）＝1，
∵α，β都是锐角，
第13页（共28页）


∴0＜α+β＜π，
∴α+β＝
故答案为：
，
． < br>【点评】本题重点考查了两角和的正切公式及其灵活运用，属于中档题．解题关键是正
确利用两角 和的正切公式进行求解．
19．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，那么tan（α+）的值是 ．
【分析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可．
【解答】解：因为tan（α+β）＝，，
所以tan（α+）＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝
＝．
． 故答案为：
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，基本知识的考查．
20．如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为 ．
【分析】先求出扇形的半径，再利用扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵圆心角为
∴扇形的半径为2，
∴扇形的面积为
故答案为：．
＝．
的扇形所对的弦长为2，
【点评】此题主要考查了扇形的面积公式，正确理解记忆公式是解题关键．
21．若α∈[0 ，π]，β∈[﹣
＝0，则cos（
，]，λ∈R，且（α﹣
．
是方程 x+sinx﹣2λ＝0 的两个实数解．再由
3
3
）﹣cosα﹣2λ＝0，4β+ sinβcosβ+λ
33
+β）的值为
【分析】由题意可得﹣2β和α﹣
和2β的范围都是[﹣，
﹣α
]，方程 x+sinx﹣2λ＝0在[﹣
第14页（共28页）
，]上只有一个解，可


得﹣α＝2β，即
3
+β＝，由此求得 cos（
3
+β）的值．
3
【解答】解：∵4β+sinβcosβ+λ＝ 0，∴（﹣2β）﹣2sinβcosβ﹣2λ＝0，即 （﹣2β）+sin
（﹣2β ）﹣2λ＝0．
再由 （α﹣
故﹣2β和α﹣
）﹣cosα﹣2λ＝0，可得 （α﹣
3
3
）+sin（α﹣
3
）﹣2λ＝0．
是方程 x+sinx﹣2λ＝0 的两个实数解．
，
，
]，所以 ﹣α 和2β的范围都是[﹣
3
再由α∈[0，π]，β∈[﹣
由于函数 x+sinx 在[﹣
上只有一个解，
所以，
故答案为
﹣α＝2β，∴
．
3
，]，
，]]上单调递增，故方程 x+sinx﹣2λ＝0在[﹣
+β＝，∴cos（+β）＝．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，式子的变形是解题的关键，属于
中档题．
22．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany＝2，，则x﹣y＝ ．
【分析】由题意 可得cosxcosy＝，进而可得cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny＝，由余
弦函数可知x﹣y的值．
【解答】解：由题意可得tanxtany＝＝2，
解得cos xcosy＝，故cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny＝
故x﹣y＝2kπ±，k ∈Z，
又0＜y＜x＜π，所以0＜x﹣y＜π．
所以x﹣y＝
故答案为：


【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．
23．已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝ ．
【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，再利用两角和差
的正弦公式化简为2sin（α+β）＝﹣1，可得结果．
第15页（共28页）


【解答】解：sinα+cosβ＝1，
两边平方可得：sin
α+2sinαcosβ+cosβ＝1，①，
cosα+sinβ＝0，
两边平方可得：cos
α+2cosαsinβ+sinβ＝0，②，
由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，
∴2sin（α+β）＝﹣1．
∴sin（α+β）＝
故答案为：．
．
22
22
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属 于基本知
识的考查，是基础题．
24．设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝ ﹣
【分析】f（x）解析式提取
．
，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的 正弦函数，
，与sin
θ+cosθ＝1联立即
22
由x＝θ时，函数f（x ）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ＝
可求出cosθ的值．
【解答】解：方法一：f（x）＝sinx﹣2cosx＝
（其中cosα＝，sinα＝），
（sinx﹣cosx）＝sin（x﹣α）
∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ＝
又sin
θ+cosθ＝1，
联立得（2cosθ+）+cos
θ＝1，解得cosθ＝﹣
22
22
，
．
））， 方法二：f（x）＝sinx﹣2cosx＝（其中tanφ＝﹣2，φ∈（﹣
， 因为当x＝θ时，f （x）取得最大值，所以θ+φ＝
所以θ＝
所以cosθ＝cos（
故答案为：﹣
，
）＝sinφ＝﹣．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角 函数间的基本关系，以及正
第16页（共28页）


弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
25．函数的定义域是 Z） ．
【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分
别利用正 弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可
【解答】解：要使函数有意义，需
解得： （k∈Z）
即2kπ+
故答案为
≤x≤2kπ+π （k∈Z）
Z）
【点评】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式
的方法
三．解答题（共15小题）
26．已知函数f（x）＝
零点，且|x
2﹣x
1
|的最小值为
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设α，β∈（0，
（α﹣β）的值．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式整理出f（x）＝sin（2ωx﹣
求得ω； < br>（Ⅱ）根据f（x）解析式可求解出cosα，sinβ；再利用同角三角函数关系求出sinα，cos β；
代入两角和差余弦公式求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝
＝2in（2ωx﹣），
．
＝π，得ω＝1．
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+（ω＞0），x
1
，x
2
是函数f（x）的
．
），若f（）＝，f（）＝﹣，求cos
），根据周期
+＝sin2ωx﹣cos2ωx
∵|x
2
﹣x
1
|的最小值为
∴＝，即T＝

（ Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）＝sin（2x﹣
∴f（
sin（β﹣
则sinβ＝
）＝sin（α+
﹣
，
），∴sinα＝，cosβ＝
﹣
），
）＝cosα＝，f（
，
）＝）＝sin（α+
）＝sin（β﹣π）＝﹣sinβ＝﹣
又α，β∈（0，，
+＝． ∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝
【点评】本题考查三角 函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、
辅助角公式、同角三角函数关系以及两 角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，
属于常规题型．
27．已知
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
，且α为第二象限角．
的值；
的值．
，利用诱导公式，二【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求
倍角公式即可计算得解；
（Ⅱ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值，根据同角三角 函数基本关系
式可求tan2α的值，根据两角和的正切函数公式即可计算得解．
【解答】（本小题满分为14分）
解：（Ⅰ）由已知，得
∴
（Ⅱ）∵，得
，…………（2分）
．…………（7分）
，…………（10分）
∴． …………（14分）
注：先求
错误扣（2分）．
，得类似给分，公式给出正确可酌情给分，结果计算
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【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的
正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基
础题．
28．设函数f（x）＝sin（2x﹣
（Ⅰ）当x∈[0，
）+2cosx．
2
]时，求函数f（x）的值域；
a＝b，c（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对 的边分别为a，b，c，且f（A）＝，
＝1+，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）利用两 角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的值域
进行求解即可；
（Ⅱ）根据条件求出A的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解 ：（Ⅰ）f（x）＝sin（2x﹣
＝sin（2x+
∵x∈[0，
）+1，
]，∴2x+∈[，]，
）+2cosx＝
2
sin2x+cos2x+1
∴≤sin（2x+）+1≤2，
∴函数f（x）的值域为[，2]；
（Ⅱ）∵f（A）＝sin（2A+
∴sin（2A+）＝
＜2A+
a＝
＜
b，
×，
，∴2A+＝，即A＝，
）+1＝，
∵0＜A＜π，∴
由正弦定理，∵
∴sinA＝sinB＝
，
，则B＝
∴sinB＝
∴0＜B＜
． ∴sinC＝sin（A+B）＝
∵，∴b＝2，
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∴S
△
ABC
＝bcsinA＝．
【点评】本题主要考 查三角函数的恒等变换，解正弦定理以及三角形的面积公式的应用，
利用辅助角公式进行化简是解决本题 的关键．
29．已知sinα+cosα＝．
（1）求sin（
（2）若α
）cos（）的值；
β终边在y＝2x上，求为第二象限角，且角
的值．
【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin（
（）的值． < br>）cos
（2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanβ的值，再利用诱导公式，同角三 角
函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：（1）∵sinα+cosα＝，∴1 +2sinα?cosα＝，∴sinα?cosα＝﹣
＝﹣cosα（﹣sinα）＝cosαsinα＝﹣．
．
（2）α为第二象限角，且角β终边在y＝2x上，则根据三角函数的定义得到tanβ＝2．

＝
由第一问得到
，
，
＝
故 ＝+＝，即要求的式子的值为
．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式， 同角三角函数的基本关系，
属于基础题．
30．已知函数f（x）＝cosx+
2
sin（π﹣x）cos（π+x）﹣
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]的单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A，B ，C，的对边分别为a，b，c，已知f（A）＝﹣1，a
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＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角，诱导公式和辅助角化简，结合三角函数的单调性即可求解．
（Ⅱ ）由f（A）＝﹣1，求解角A，a＝2，bsinC＝asinA，利用正余弦定理化简，即可求
解△ ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得
＝
由
可得
又x∈[0，π]
∴函数f（x）在[0，π]的单调递减区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由f（A）＝﹣1，可得∵△ABC中是锐角三角形，∴
∴
又
∴，即




＝﹣1．
和．


．k∈Z
＝
又bsinC＝asinA，正弦定理可得
∴bc＝a＝4
∴． 2
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，正弦定理的运用，利用三角函数公式将
函 数进行化简是解决本题的关键．
31．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （2b﹣3c）cosA+2acosB＝0．
（1）求cosA的值；
（2）若a＝3，b+c＝5，求△ABC的面积．
【分析】（1）推导出2sinBcos A﹣3sinCcosA+2sinAcosB＝0，从而2sin（A+B）＝3sinCcosA，
由此能求出cosA的值．
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（2）由，得．由由余弦定理可得．由此能求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）（2b ﹣3c）cosA+2acosB＝0，所以2sinBcosA﹣3sinCcosA+2sinAcosB＝ 0，
所以2（sinAcosB+sinBcosA）＝3sinCcosA，即2sin（A+B） ＝3sinCcosA
因为A+B+C＝π，所以sin（A+B）＝sinC≠0，所以3cosA ＝2，即
（2）因为
由余弦定理可得
因为a＝3，b+c＝5，所以
故△AB C的面积为
，解得
．
，所以．
，
．
．
【 点评】本题考查角的余弦值、三角形的面积的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础
知识，考查运算求解 能力，是中档题．
32．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求边b，c．
．
【分析】（1）由题意利用 正弦定理、两角和差的三角公式、诱导公式求得cosA的值，可
得A的值．
（2）由题意利 用三角形面积公式求得bc的值，再利用余弦定理求得b+c的值，可得b、
c的值．
【解答】解：（1）由及正弦定理得，
22
整理得，sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosA，即 sin（A+B）＝2sinCcosA．
因为sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，且sinC≠0，
所以，．
．
，
又0＜A＜π，所以，
（2）因为△ABC的面积
所以，bc＝4．①
由余弦定理得，a＝b+c﹣2bccosA，
所以，b+c＝8，②
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22
222


联立①②解得，b＝c＝2．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式， 两角和差的三角公式，
属于中档题．
33．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
（ 2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a+a﹣a+1＞1且1+a
﹣a+1＞ a，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．
【解答】解：（1）asin＝bsinA，即为asin＝acos＝bsinA，
2
222
＝bsinA．
可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA，
∵sinA＞0，
∴cos＝2sincos，
若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，
∴sin＝，
由0＜B＜π，可得B＝；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，
由余弦定理可得b＝
22
＝，
22
由三角形ABC为锐角三角形，可得a+a﹣a+1＞1且1+a﹣a+1＞a，
解得＜a＜2，
可得△ABC面积S＝a?sin＝a∈（，）．
【点评】本题考 查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒
等变换，以及化简运算能力，属于 中档题．
34．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sinB＝4asinC．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求sin（2B+）的值．
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【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；
（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．
【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理
3csinB＝4asinC，
得 3bsinC＝4asinC，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得
＝ ，得bsinC＝csinB，又由
cosB＝＝＝﹣．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinB＝
cos2B＝cosB﹣sinB＝﹣，
故sin（2 B+）＝sin2Bcos
22
＝，从而sin2B＝2sinBcosB＝﹣，
+cos2Bsin＝﹣×﹣×＝﹣．
【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两 角和的正弦公式，二倍角的正余
弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中 档题．
35．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinB+csinC＝a （
（1）求A的大小；
（2）若a＝，B＝，求△ABC的面积
22
+sinA）
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b+c＝a（
进而可求cosA＝，从而可得A的值．
+a），可得b+c﹣a＝
222
，（2）利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理可得b，根据三角形的面
积公式 即可计算得解．
【解答】解：（1）∵bsinB+csinC＝a（
∴由正弦定理可得：b +c＝a（
∴b+c﹣a＝
∴2bccosA＝
222
22
+sin A），
+a），
，
bc，解得：cosA＝，可得：A＝
，
．
（2）∵sinC＝sin（A+B）＝
第24页（共28页）


由正弦定理
∴S
△
ABC
＝absinC＝
，可 得：b＝
．
，
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形 的面积公式在解三
角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
36．已知 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b﹣c＝8，△ABC的面积
为2．
222
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，求sinA+sinB的值．
，可得：
，得到角C；
，由a+b﹣c＝8，及余
222
【分析】 （1）由△ABC的面积为2
弦定理可得：2abcosC＝8，可得tanC＝
（2）由（1 ）的结果，先求出ab，根据c，即可求出a+b，再由正弦定理可得sinA+sinB
＝，即可求出 结果．
，可得：， 【解答】解：（1）由△ABC的面积为2
222
由a+b﹣c ＝8，及余弦定理可得：2abcosC＝8，
故：tanC＝
（2）∵C＝
，可得：C＝；
，2abcosC＝8，
∴解得：ab＝8，
又a+b﹣c＝8，c＝2
由正弦定理，
＝．
【点评】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．
37．如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝，点D在线段BC上．
（1）若∠ADC＝π，求AD的长；
（2）若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．
222
，可得a+b＝6，
，得：sinA+sinB＝＝（a+b）
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【分析】（1）△ABD中，由正弦定理可得AD的长；
（2）利用BD＝2DC，△ACD的面积为
利用正弦定理可得结论．
【解答】解： （1）∵△ABC中，cosB＝，∴sinB＝
∵∠ADC＝π，∴∠ADB＝
△ABD中， 由正弦定理可得
．
，∴AD＝；
．
，求出BD，DC，利用余弦定理求出AC，
（2）设DC＝a，则BD＝2a，
∵BD＝2DC，△ACD的面积为
∴4＝，
，
∴a＝2
∴AC＝
由正弦定理可得
＝
＝4，
，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．
，∴sin∠CAD＝sin∠ADC，
∵sin∠ADB＝sin∠ADC，
∴＝4．
【点评】本题考查正弦、余弦定理 的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决
问题的能力，属于中档题．
38．如图所 示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度
为15°，向山顶前进10 米后到达点B，又从点B测得斜度为α，建筑物的高CD为5米．
（Ⅰ）若α＝30°，求AC的长；
（Ⅱ）若α＝45°，求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．
第26页（共28页）



【分析】（Ⅰ）根据三角形边角的关系，利用余弦定理求出AC的值；
（Ⅱ）利用正弦定理，求得BC和sin∠BDC，再利用三角函数关系求出cosθ的值．
【解答】解：（Ⅰ）当α＝30°时，∠ABC＝150°，∠ACB＝∠BAC＝15°，
所以BC＝AB＝10，由余弦定理得：
AC＝10+10﹣2×10×10×cos150 °＝200+100
∴AC＝10＝5+5；…6分
222
，
（Ⅱ）当α＝45°，在△ABC中，由正弦定理得
BC＝＝20×＝5（
＝
﹣），
在△BCD中，sin∠BDC＝﹣1，
﹣1…12分 又cosθ＝cos（∠ADC﹣90°）＝sin∠ADC＝
【点评】本题考 查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．
39．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，A D＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD
＝135°，求BC的长．

【分析】由余弦定理求得BD，再由正弦定理求出BC的值．
【解答】解：在△ABD中，设BD＝x，则BA＝BD+AD﹣2BD?AD?cos∠BDA，
即14＝x+10﹣2?10x?cos60°，整理得：x﹣10x﹣96＝0，
解之：x
1
＝16，x
2
＝﹣6（舍去）．
由正弦定理得：
∴．
，
2222
222
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【 点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，一元二次方程的解法，求出BD的值，
是解题的关键． < br>40．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时
1 0海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里小时的速度追击，求我
艇追上走私船所 需要的最短时间．

【分析】设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，根据各自的速度表示 出BC与AC，
由∠ABC＝120°，利用余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值 ．
【解答】解：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC＝10t，AC＝14t，
在△ABC中，∠ABC＝120°，根据余弦定理知：（14t）＝（10t）+12﹣2?12?10tc os 120°，
∴t＝2或t＝﹣（舍去），
故我艇追上走私船所需要的时间为2小时．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦
定理是解 本题的关键．
222



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