wps公式编号三角函数公式及推导公式

三角函数公式及推导公式




与的三角函数值之间的关系：

公式六：

及
与
的三角函数值之间的关系：


记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形 如（2k+1）90°±α，则函数名称
变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变 正切。形如
2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意
义：
k×π2±a(k∈z)的三角函 数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，
前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符 号；
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原
三角函 数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：



记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在
第三象限） ，正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三
象限是负值，正切函数的函数值在第三 象限是正值．这样，就得到了诱导公式
二．
以诱导公式四为例：


若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第
二象限），正弦函数 的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值
在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第 二象限是负值．这样，就得到
了诱导公式四．
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：



特别提醒：三角函 数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函
数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数 化简的要求是项数要最少，次
数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
基本公式
和差角公式
二角和差公式






证明如图，负号的情况只需要用- β代替β即
可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程
与tan(α+β)相同．
证明正切的和差角公式


证明正弦、余弦的和差角公式



三角和公式


和差化积





口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正
减正，余在前，余减余，负正弦．
积化和差





倍角公式
二倍角公式


三倍角公式






证明：

sina
3
=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cosa
3
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sina
3
=3sina-4sin^3a

=4sina(34-sin^2a)
=4sina[(√32)-sina][(√32)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2s in[(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(
60°-a)2]cos[60° +a)2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cosa
3
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34)
=4cosa[cos^2a-(√32)^2]
=4cosa(cosa- cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)2]cos[ (a-30°)2]*{-2s
in[(a+30°)2]sin[(a-30°)2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得：
tana=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
3
四倍角公式
sina=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]
4
cosa=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
4

tana=(4*tana-4*tana^3)(1-6*tana^2+tana
4
^4 )
五倍角公式



n倍角公式
应用欧拉公式：

.
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：

所以，

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部
分．而

所以，


n倍角的三角函数

半角公式

（正负由所在的象限决定）
万能公式

辅助角公式

证明：
由于


，显然
，且


故有：

三角形定理
正弦定理
详见词条：正弦定理

在任意△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对的边长分别为
a
、
b
、
c
，三角形外接圆的
半径为
R
．则有：

正弦定理变形可得：


余弦定理

详见词条：余弦定理

在如图所示的在△
ABC
中，有


余弦定理
或