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实验公式导数公式证明大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 05:00
tags:求导公式

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导数的定义:f'(x)=lim ΔyΔx Δx→0(下面就不再标明Δx→0了)
用定义求导数公式
(1)f(x)=x^n
证法一:(n为自然数)
f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]Δx
=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+ x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]Δx
=lim [(x+Δx)^(n-1)+x *(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)
证法二:(n为任意实数)
f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)f(x)=nx f'(x)=nx*f(x) f'(x)=nx*x^n f'(x)=nx^(n-1)
(2)f(x)=sinx
f'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx- sinx)Δx
=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)Δx=lim cosxsinΔxΔx=cosx
(3)f(x)=cosx
f'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx- cosx)Δx
=lim (cosx-sinxsinΔx-cos)Δx=lim -sinxsinΔxΔx=-sinx
(4)f(x)=a^x
f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)Δx=lim a^x*(a^Δx-1)Δx
(设a^Δx-1=m,则Δx=loga^(m+1))
=lim a^x*mloga^(m+1)=lim a^x*m[ln(m+1)lna]=lim a^x*lna*mln(m+1)
=lim a^x*lna[(1m)*ln(m+1)]=lim a^x*lnaln[(m+1)^(1m)]
=lim a^x*lnalne=a^x*lna 若a=e,原函数f(x)=e^x 则f'(x)=e^x*lne=e^x
(5)f(x)=loga^x f'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)Δx

=lim loga^[(x+Δx)x]Δx=lim loga^(1+Δxx)Δx=lim ln(1+Δxx)(lna*Δx)
=lim x*ln(1+Δxx)(x*lna*Δx)=lim (xΔx)*ln(1+Δxx)(x*lna)
=lim ln[(1+Δxx)^(xΔx)](x*lna)=lim lne(x*lna)=1(x*lna)
若a=e,原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1(x*lne)=1x

(6)f(x)=tanx
f'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)Δx=lim (sin(x+Δx)cos(x+Δx)-sinxcosx)Δx
=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx- sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)(Δ
xcosxcos(x+Δx))
=lim sinΔx(Δxcosxcos(x+Δx))=1(cosx)^2=secxcosx =(secx)^2=1+(tanx)^2
(7)f(x)=cotx
f'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)Δx=lim (cos(x+Δx)sin(x+Δx)-cosxsinx)Δx
=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx- cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)(Δ
xsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔx(Δxsinxsin(x+Δx))=-1(sinx)^2=-cscxs inx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2
(8)f(x)=secx f'(x)=lim (sec(x+Δx)-secx)Δx=lim (1cos(x+Δx)-1cosx)Δx
=lim (cosx- cos(x+Δx)(ΔxcosxcosΔx)
=lim (cosx- cosxcosΔx+sinxsinΔx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinxsinΔx(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx(cosx)^2=tanx*secx
(9)f(x)=cscx
f'(x)=lim (csc(x+Δx)-cscx)Δx=lim (1sin(x+Δx)-1sinx)Δx
=lim (sinx-sin(x+Δx))(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (sinx-sinxcosΔx- sinΔxcosx)(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔxcosx(Δx sinxsin(x+Δx))=-cosx(sinx)^2=-cotx*cscx

(10)f(x)=x^x lnf(x)=xlnx (lnf(x))'=(xlnx)'
f'(x)f(x)=lnx+1 f'(x)=(lnx+1)*f(x) f'(x)=(lnx+1)*x^x

(12)h(x)=f(x)g(x) h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x )+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f( x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δ
x)]Δx
=lim (f(x+ Δx)-f(x))*g(x+Δx)Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)Δ
x=f'(x )g(x)+f(x)g'(x)
(13)h(x)=f(x)g(x) h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))Δx
=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x) ](Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g( x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)](Δxg(x)g(x+
Δx))
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)(Δxg(x)g(x+Δx))-( g(x+Δx)-g(x))*f(x)(Δxg(x)g(x+Δ
x))
=f'(x)g( x)(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x) g'(x)](g(x)*g(x))x
(14)h(x)=f(g(x)) h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]Δx
=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]Δx (另g(x)=u,g(x+Δx)-g(x)=Δu)
=lim (f(u+Δu)-f(u))Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu(Δx*Δu)
=lim f'(u)*ΔuΔx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))Δx=f'( u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)

总结一下
(x^n)'=nx^(n-1) (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (a^x)'=a^xlna
(e^x)'=e^x (loga^x)'=1(xlna) (lnx)'=1x (tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2
(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx (cscx)'=-cotx*cscx
(x^x)'=(lnx+1)*x^x [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)](g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)

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