运用公式导数公式定理的证明(基础学习知识)

,.
导数的定义：f'(x)=lim ΔyΔx

用定义求导数公式
（1）f(x)=x
n












求：f'(x)
,.
（2）f(x)=sinx 求：f'(x)







（3）f(x)=cosx






求：f'(x)
,.
（4）f(x)=a
x
求：f'(x)







（5）f(x)=log
a
x









,.











（6）f(x)=tanx
f'(x)
=lim (tan(x+Δx)-tanx)Δx
=lim (sin(x+Δx)cos(x+Δx)-sinxcosx)Δx
=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx- sinxcosxcosΔ
x+sinxsinxsinΔx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinΔx(Δxcosxcos(x+Δx))
,.
=1(cosx)^2=secxcosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx
f'(x)
=lim (cot(x+Δx)-cotx)Δx
=lim (cos(x+Δx)sin(x+Δx)-cosxsinx)Δx
=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx- cosxsinxcosΔx-cosxsinΔ
xcosx)(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔx(Δxsinxsin(x+Δx))
=-1(sinx)^2=-cscxsinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx
f'(x)
=lim (sec(x+Δx)-secx)Δx
=lim (1cos(x+Δx)-1cosx)Δx
,.
=lim (cosx-cos(x+Δx)(ΔxcosxcosΔx)
=lim (cosx- cosxcosΔx+sinxsinΔx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinxsinΔx(Δxcosxcos(x+Δx))
=sinx(cosx)^2=tanx*secx

（9）f(x)=cscx
f'(x)
=lim (csc(x+Δx)-cscx)Δx
=lim (1sin(x+Δx)-1sinx)Δx
=lim (sinx- sin(x+Δx))(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (sinx- sinxcosΔx-sinΔxcosx)(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔxcosx(Δxsinxsin(x+Δx))
=-cosx(sinx)^2=-cotx*cscx

（10）f(x)=x^x
,.
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'=(xlnx)'
f'(x)f(x)=lnx+1
f'(x)=(lnx+1)*f(x)
f'(x)=(lnx+1)*x^x


（12）h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x )+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δ
x))*f(x)]Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f( x)+f(x)*g(x+Δ
x)-f(x)*g(x+Δx)]Δx
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)Δx
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
,.

（13）h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))Δx
=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x) ](Δ
xg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x) -(g(x+Δ
x)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)](Δxg(x) g(x+Δx))
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)(Δxg(x)g(x+Δx ))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)(Δ
xg(x)g(x+Δx))
=f'(x)g(x)(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)(g(x)*g(x))
=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)](g(x)*g(x))x

（14）h(x)=f(g(x))
h'(x)
,.
=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]Δx
=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]Δx
（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）
=lim (f(u+Δu)-f(u))Δx
=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu(Δx*Δu)
=lim f'(u)*ΔuΔx
=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))Δx
=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)


(反三角函 数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函
数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称 ，所以导数的乘积为1)
（15）y=f(x)=arcsinx
则siny=x
(siny)'=cosy
所以
(arcsinx)'=1(siny)'=1cosy
=1√1-(siny)^2
,.
(siny=x)
=1√1-x^2
即f'(x)=1√1-x^2


(16)y=f(x)=arctanx
则tany=x
(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2
所以
(arctanx)'=11+x^2
即f'(x)= 11+x^2



总结一下
（x^n）'=nx^(n-1)
（sinx）'=cosx
（cosx）'=-sinx
（a^x）'=a^xlna
（e^x）'=e^x
,.
（loga^x）'=1(xlna)
（lnx）'=1x
(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2
(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2
(secx)'=tanx*secx
(cscx)'=-cotx*cscx
(x^x)'=(lnx+1)*x^x
(arcsinx)'=1√1-x^2
(arctanx)'=11+x^2
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)](g(x)*g(x))
[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)