公式的运用导数的概念、几何意义及导数公式

本讲教育信息】

一. 教学内容：
导数的概念、几何意义及导数公式

[学习目标]

了解平均变化率的 概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思
想及其内涵。通过函数图象直观地理 解导数的几何意义。理解导数的定义，能根据导数的定
义，求函数的导数。了解基本初等函数的导数公式 ；了解导数的四则运算法则；能利用导数
公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。


[考点分析]
1. 的平均变化率：已知函数在点

则当时，比值
间的平均变化率。
2. 瞬时变化率：设函数
时，函数值相应 地改变
在点
叫做函数在到之
及其附近有定义，令，
附近有定义，当自变量在< br> ，如果当
附近改变
趋近于0时，平均变化率
在点的瞬时变化率。 趋近于一个常数L，则数L称为函数
记作：当
还可以说，当
记作：
3. 导数的定义：函数在
或，即
的瞬时速度就是路程函数
，则，当
时，
时，函数平均变化率的极限等于函数在
=L
的瞬时变化率，通常就定义为
。
在
在
的瞬时变化率 L.
处的导数，记作
注（1）变速运动在
（2）在定义式中，设
的导数
趋近于0时，趋近于
。
，
因此，导数的定义式可写成
（3）若极限
4. 函数
如果函数在开区间
在开区间
不存在，则称函数
内的导函数（导数）：
内可导，那么对于开区间
在点处不可导。
的每一个确定的值
都对应着一个确 定的导数，这样在开区间内构成一个新的函数，我们把这一新

函数叫做函数在开区间内的导函数（简称导数），记

或；即：
函数在处的导数就是函数在开区间上
的导数在处的函数值，即＝。
注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；
求一个函数在给定 点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数
的导数就是导函数
5. 求函数
在点的函数值。
在点处
的导数的一般方法：
。
。
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝。
6. 与连续的关系：如果函数y=f（x）在点x
0
处可导，那么函数y=f（x）在点x
0
处连续，
反之不成立。数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。
7. 数的几何意义：函数
的斜率。
在点处的导数，就是曲线在点处的切线
由此，可以利用导数求曲线的切线方程。体求法分两步：
（1）求出函数
（2）由切点坐标
特别地，如果曲线
定义，可得切线方程为：
8. 常见函数的导数：

在点处的导数，即曲线在点处的切线的斜率；
。 和切线斜率
在点
，得切线方程为：
处的切线平行于y轴，这时导数不存在 ，根据切线
（1）常函数的导数为0，即
（2）幂函数的导数为
，
，与此有关的如下：

（3），
9. 的和、差、积、商的导数：
（1）和、差的导数：
（2）积的导数：



（3）商的导数：
（4）


，（g(x)≠0）
【典型例题】


例1、物体的运动方程是
时的瞬时速度及物体在一段时间
解：∵
∴
∴
∴
即在
∴
即
∴ 物体在

例2、利用导数定义求函数

时的瞬时速度是

，即

，其中的单位是米，的单位是秒，求物体在
内相应的平均速度。
=


的一段时间内平均速度为

。
。
在处的导数。
解：
∴
∴
即

∴ 函数

例3、求曲线
解：∵
∴
∴
∴ 曲线
即

例4、求过曲线
解：由

在处的导数为
在点（2，4）处的切线方程。


在点（2，4）处的切线方程为

，
上的点
，得
，且与过这点的切线垂直的直线的方程。

∴ 曲线在点的切线的斜率是
故所求直线的斜率为
∴ 所求直线的方程为
即
反思：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，即。
已知曲线上一点的切线这一 条件具有双重含义，在确定与切线垂直的直线方程时，应注
意考察函数在切点处的导数是否为零，当导数 为零时，切线平行于x轴，过切点P垂直于
切线的直线斜率不存在。

例5、已知函数
解：
，判断在处是否可导。


∴
即函数

例6、求下列函数的导数。
（1）
（2）y=3x
2
+x cosx
（3）y=5x
10
sinx－2
（4）y=cotx
解：（1）

（2）y′=（3x
2
+ xcosx）′=（3x
2
）′+（xcosx）′
=3·2x+x′cosx+x（cosx）′=6x+cosx－xsinx
（3）y′=（5xsinx－2
1010
∴
在处不可导。
不存在

cosx－9

cosx－9）′=（5xsinx）′－（2cosx）′－9′

=5（x）′ sinx+5x（sinx）′－［2（
=5·10xsinx+5xcosx－（
910910
1010
）′·cosx+2（cosx）′］－0
·cosx－2sinx）
=50xsinx+5xcosx－
=（50x
9
+2
cosx+2sinx
）sinx+（5x
10
－
）′
）cosx


（4）y′=（cotx）′=（

例7、求y=·cosx的导数.
分 析：这道题可以看作两个函数的乘积，也可以看作两个函数的商，所以不同的看法有
不同的做法.这道题 可以用两种方法来求。
解法一：y′=（·cosx）′=（）′cosx+（cosx）′

解法二：y′=（·cosx）′=（）′



例8、已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－
的解析式。 1））处的切线方程为，求函数
解：由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
即


由在M（－1，f（－1））处的切线方程是
，即，
，知
即
解得b=c=－3
故所求的解析式是


。
【模拟试题】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1. 已知函数
等于（ ）
A. 4 B.
2. 已知曲线
A. B.
3. 如果质点按规律
A. 3 B. 9 C.
4. 曲线
A.
C.
5. 抛物线
A. B.
C.
的图象上一点（1，
D.
上一点P（1，
C. D.
D. 27
运动，则在
）及邻近一点

），过点P的切线的倾斜角为（ ）

时的瞬时速度为（ ）
，则
在点P（4，2）处的切线方程为（ ）
B.
D.
上何处的切线与直线
C.（1，1） D.
）且与曲线
B.
D.


的夹角是
与
（ ）

6. 过点P（
是（ ）
A.
C.
在点M（1，1）处的切线平行的直线方程



二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
7. 设
8. 函数
在点处可导，为常数，则
=________________。
= 。
的导数
9. 函数的导数=________________。
，则P
0
点的坐标为 。 10. 曲线在P
0
处的切线平行于直线

三、解答题（本大题共4题，共50分）

11. 利用导数定义求函数
12. 已知点为曲线
在处的导数。
上的一点，曲线在A点处的切线方程为
，曲线斜率为1的切线有几条？它们之间的距离是多少？
13. 已知抛物线
线相切，求的值。
，其中
时，判断是否有极值；
，为参数，且
（），通过点（1，1），且在点（）处与直
14. 已知函数
（1）当
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
，函数在区 间（）内（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数
都是增函数，求实数的取值范围。