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增幅计算公式高中数学导数的概念、导数公式与应用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 05:19
tags:求导公式

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导数的概念及运算
知识点一:函数的平均变化率
(1)概念:
函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值y也相应的有增量△
y=f(x
0< br>+△x)-f(x
0
),其比值叫做函数从到+△x的平均变化率,即



,,则平均变化率可表示为,称为函数从
的平均变化率。
注意:
①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值;
②函数的平均变化率表现函数的变化趋势,当
情况。
③是自变量在处的改变量,;而是函数值的改变量,可以是0。函数
更小考虑。
取值越小,越能准确体现函数的变化
的平均变化率是0,并不一定说明函数

(2)平均变化率的几何意义
函数的平均变化率
没有变化,应取
的几何意义是表示连接函数图像
上两点割线的斜率。
如图所示,函数的平均变化率的几何意义是:直线AB的斜率。

事实上,。

作用:根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。

.

知识点二:导数的概念:
1.导数的定义:
对函数,在点处给自变量x以 增量,函数y相应有增量
。若极限
点处的导数,记作或,此时也称在点
存在,则此极限 称为
处可导。

即:
注意:
①增量可以是正数,也可以是负数;
(或)
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率。
2.导函数:
如果函数
应着一个确定的导数
在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个
, 称这个函数
,都对
为函数,从而构成了一个新的函数
在开区间内的导函数,简称导数。
注意:函数的导数与在点
处的函数值,反映函数在
处的导数不是同一概念,
附近的变化情况。
是常数,是函数在
3.导数几何意义:
(1)曲线的切线
曲线上一点P(x
0
,y
0
)及其附近一点 Q(x
0
+△x,y
0
+△y),经过点P、Q作曲线的割线PQ,
其倾斜角为当点Q(x
0
+△x,y
0
+△y)沿曲线无限接近于点P(x< br>0
,y
0
),
即△x→0时,割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在 点P处的切线。
若切线的倾斜角为,则当△x→0时,割线PQ斜率的极限,就是切线的斜率。
即:。




.

(2)导数的几何意义:
函数
注意:
①若曲线

在点处的导数不存在,但有切线,则切线与轴垂直。
,切线与轴正向夹角为钝角;
在点x
0
的导数是曲线上点()处的切线的斜率。
,切线与轴正向夹角为锐角;
,切线与轴平行。
(3)曲线的切线方程
如果

在点可导,则曲线

在点()处的切线方程为:
4.瞬时速度:
物体运动的速度等于位移与时间的比,而非匀速直线运动中这个比值是 变化的,如何了
解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度,我们采用瞬时速度这一概念。
如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式),那么物体在时刻t的瞬时速度v,就是物
体t到t +△t这段时间内,当△t→0时平均速度的极限,即

如果把函数看作是物体的位移公式),导数表示运动物体在时刻的瞬时速
度。
规律方法指导
1.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法:
①作差:求出和
②作商:对所求得的差作商,即
注意:

(1)
值不能为零,的值可以为零。若函数
,式子中、的值可正、可负,但


为常数函数时,
(2)在式子

中,与是相对应的“增量”,即在时,
(3)在式子中,当取定值,取不同的数值时,函数的平均
.

变化率不同;当取定值,取不同的数值时,函数的平均变化率也不一样。
2.如何求函数在一点处的导数
(1)利用导数定义求函数在一点处的导数,通常用“三步法”。
①计算函数的增量:;
②求平均变化率:;
③取极限得导数:
(2)利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。
3.导数的几何意义
①设函数
处的切线的斜率。
②设
③设
是位移关于时间的函数,则< br>是速度关于时间的函数,则
表示物体在
表示物体在
在点的导数是,则表示曲线< br>。
在点()
时刻的瞬时速度;
时刻的加速度;
4.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
①求出在处的导数;
。 ②利用直线方程的点斜式得切线方程为
类型一:求函数的平均变化率
1、求在到之间的平均变化率,并求,时平均变化
率的值.
思路点拨:求函数的平均变化率,要紧扣定义式





进行操作.
.

举一反三:
【变式1】求函数y=5x
2
+6在区间[2,2+



【变式2】已知函数
(1)[1,3];
(2)[1,2];
(3)[1,1.1];
(4)[1,1.001].


,分别计算在下列区间上的平均变化率:
]内的平均变化率。
【变式3】自由落体运动的运动方程为
内的平均速度(位移s的单位为m)。





【变式4】过曲线
时割线的斜率.




上两点和
,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.00 1s各段
作曲线的割线,求出当
.

类型二:利用定义求导数






举一反三:
【变式1】已知函数
2、用导数的定义,求函数在x=1处的导数。
(1)求函数在x=4处的导数.
(2)求曲线





【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)



上一点处的切线方程。
(4)



.


3、求曲线y=x
3
+2x在x=1处的切线方程.
思路点拨:从函 数在一点处的导数定义可求得函数y=x+2x在x=1处的导数值,再由导
数的几何意义,得所求切线 的斜率,将x=1代入函数可得切点坐标,从而建立切线方程.





举一反三:
【变式】在曲线y=x
2
上过哪一点的切线:
(1)平行于直线y=4x―5;
(2)垂直于直线2x―6y+5=0;
(3)与x轴成135°的倾斜角。




3





知识点三:常见基本函数的导数公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5),
(C为常数),
(n为有理数),







.

(6),
(7),
(8),
知识点四:函数四则运算求导法则
设,均可导


(1)和差的导数:
(2)积的导数:
(3)商的导数:
知识点五:复合函数的求导法则

即复合函数


对自变量的导数

()
,等于已知函数对中间变量的导
,乘以中间变量对自变量的导数
注意:选择中间变 量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量,逐层求导,不
遗漏。求导后,要把中间变量转换成 自变量的函数。
规律方法指导
1.求复合函数的导数的一般步骤
①适当选定中间变量,正确分解复合关系;
②分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);
③把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代,熟练 以后,可以省略中间过程。若遇多重复
合,可以相应地多次用中间变量。
类型一:利用公式及运算法则求导数
1、求下列函数的导数:
; (2) (1)



.

(3)




举一反三:
; (4)y=2x
3
―3x
2
+5x+4
【变式】求下列函数的导数:
(1)






; (2) (3)y=6x
3
―4x
2
+9x―6
2、求下列各函数的导函数
(1)




; (2)y=x
2
sinx;
(3)y=



.
; (4)y=

举一反三:
【变式1】函数在处的导数等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式2】下列函数的导数
(1); (2)





【变式3】求下列函数的导数.
(1);




类型四:复合函数的求导
3、求下列函数导数.
(1);




.
(2);
(2);
3). (

(3)





举一反三:
; (4).
【变式1】求下列函数的导数:
(1)





(3)y=ln(x+



类型五:求曲线的切线方程





4、求曲线y=x
3
+2x在x=1处的切线方程.
); (4)
; (2)
.

举一反三:
【变式1】求曲线



【变式2】已知
切线方程是________.




【变式3】已知曲线
(1)求曲线
.
,是曲线上的两点,则与直线平行的曲线的
在点处的切线的斜率,并写出切线方程.
上横坐标为1的点处的切线的方程;
是否还有其他的公共点? (2)第(1)小题中的切线与曲线




【变式4】如果曲线
线方程



的某一切线与直线平行,求切点坐标与切
.

5、已知直线为曲线
且.
在点(1,0)处的切线,为该曲线的另一条切线,
(1)求直线的方程;
(2)求由直线、和轴所围成的三角形的面积.





举一反三:
【变式1】曲线
________.




【变式2】曲线






在点(1,1)处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为
在(0,1)处的切线 与的距离为,求的方程.
.

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