热效率计算公式导数公式的证明版

导数的定义：f'(x)=lim ΔyΔx
Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）
用定义求导数公式
（1）f(x)=x^n
证法一：（n为自然数）
f'(x)
=lim [(x+Δx)^n-x^n]Δx
=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x* (x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ
x)+x^(n-1)]Δx
=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)* (x+Δ
x)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)
=nx^(n-1)
证法二：（n为任意实数）
f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
(lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)f(x)=nx
f'(x)=nx*f(x)
f'(x)=nx*x^n
f'(x)=nx^(n-1)
（2）f(x)=sinx
f'(x)
=lim (sin(x+Δx)-sinx)Δx
=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)Δx
=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)Δx
=lim cosxsinΔxΔx
=cosx
（3）f(x)=cosx
f'(x)
=lim (cos(x+Δx)-cosx)Δx
=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx- cosx)Δx
=lim (cosx-sinxsinΔx-cos)Δx
=lim -sinxsinΔxΔx
=-sinx
（4）f(x)=a^x
证法一：
f'(x)
=lim (a^(x+Δx)-a^x)Δx
=lim a^x*(a^Δx-1)Δx
（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）
=lim a^x*mloga^(m+1)
=lim a^x*m[ln(m+1)lna]
=lim a^x*lna*mln(m+1)
=lim a^x*lna[(1m)*ln(m+1)]
=lim a^x*lnaln[(m+1)^(1m)]
=lim a^x*lnalne
=a^x*lna
证法二：
f(x)=a^x
lnf(x)=xlna
[lnf(x)] '=[xlna] '
f' (x)f(x)=lna
f' (x)=f(x)lna
f' (x)=a^xlna
若a=e，原函数f(x)=e^x
则f'(x)=e^x*lne=e^x
（5）f(x)=loga^x
f'(x)
=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)Δx
=lim loga^[(x+Δx)x]Δx
=lim loga^(1+Δxx)Δx
=lim ln(1+Δxx)(lna*Δx)
=lim x*ln(1+Δxx)(x*lna*Δx)
=lim (xΔx)*ln(1+Δxx)(x*lna)
=lim ln[(1+Δxx)^(xΔx)](x*lna)
=lim lne(x*lna)
=1(x*lna)
若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx
则f'(x)=1(x*lne)=1x
（6）f(x)=tanx
f'(x)
=lim (tan(x+Δx)-tanx)Δx
=lim (sin(x+Δx)cos(x+Δx)-sinxcosx)Δx
=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx- sinxcosxcosΔ
x+sinxsinxsinΔx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinΔx(Δxcosxcos(x+Δx))
=1(cosx)^2=secxcosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
（7）f(x)=cotx
f'(x)
=lim (cot(x+Δx)-cotx)Δx
=lim (cos(x+Δx)sin(x+Δx)-cosxsinx)Δx
=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx- cosxsinxcosΔx-cosxsinΔ
xcosx)(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔx(Δxsinxsin(x+Δx))
=-1(sinx)^2=-cscxsinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2
（8）f(x)=secx
f'(x)
=lim(sec(x+Δx)-secx)Δx
=lim (1cos(x+Δx)-1cosx)Δx
=lim (cosx- cos(x+Δx)(ΔxcosxcosΔx)
=lim (cosx- cosxcosΔx+sinxsinΔx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinxsinΔx(Δxcosxcos(x+Δx))
=sinx(cosx)^2=tanx*secx
（9）f(x)=cscx
f'(x)
=lim(csc(x+Δx)-cscx)Δx
=lim (1sin(x+Δx)-1sinx)Δx
=lim (sinx- sin(x+Δx))(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (sinx- sinxcosΔx-sinΔxcosx)(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔxcosx(Δxsinxsin(x+Δx))
=-cosx(sinx)^2=-cotx*cscx
（10）f(x)=x^x
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'=(xlnx)'
f'(x)f(x)=lnx+1
f'(x)=(lnx+1)*f(x)
f'(x)=(lnx+1)*x^x
（12）h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x )-g(x+Δ
x))*f(x)]Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g( x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δ
x)-f(x)*g( x+Δx)]Δx
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)Δx
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
（13）h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))Δx
=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g (x))*f(x)](Δ
xg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f (x))*g(x)-(g(x+Δ
x)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x )](Δxg(x)g(x+Δx))
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)(Δxg (x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)(Δ
xg(x)g(x+Δx))
=f'(x)g(x)(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)(g(x)*g(x))
=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)](g(x)*g(x))x
（14）h(x)=f(g(x))
h'(x)
=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]Δx
=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]Δx
（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）
=lim (f(u+Δu)-f(u))Δx
=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu(Δx*Δu)
=lim f'(u)*ΔuΔx
=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))Δx
=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)
(反三角函数的导数与三角函数的 导数的乘积为1，因为函数与反函
数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1 )
（15）y=f(x)=arcsinx
则siny=x
(siny)'=cosy
所以
(arcsinx)'=1(siny)'=1cosy
=1√1-(siny)^2
(siny=x)
=1√1-x^2
即f'(x)=1√1-x^2
(16)y=f(x)=arctanx
则tany=x
(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2
所以
(arctanx)'=11+x^2
即f'(x)= 11+x^2
总结一下
（x^n）'=nx^(n-1)
（sinx）'=cosx
（cosx）'=-sinx
（a^x）'=a^xlna
（e^x）'=e^x
（loga^x）'=1(xlna)
（lnx）'=1x
(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2
(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2
(secx)'=tanx*secx
(cscx)'=-cotx*cscx
(x^x)'=(lnx+1)*x^x
(arcsinx)'=1√1-x^2
(arctanx)'=11+x^2
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)](g(x)*g(x))
[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)