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3次方公式几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 05:57
tags:求导公式

零的零次方等于多少-我的个人价值观怎么写


全国名校高中数学优质课时训练(附详解)

几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(优质试题·丽江高二检测)函数f(x)=
A. B.0 C.
)′=
,则f′(3)等于 ( )
D.
, 【解析】选A.因为f′(x)=(
所以f′(3)==.
【规律总结】求函数在某点处导数的方法
函数f(x)在点x
0
处的导数等 于f′(x)在点x=x
0
处的函数值.在求函
数在某点处的导数时可以先利用导数公 式求出导函数,再将x
0
代入导
函数求解,不能先代入后求导.
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是 ( )
A.1 B.0 C.2 D.
【解析】选D.因为y′=,所以当x=2时,y′=,
故图象在x=2处的切线斜率为.
3.已知函数f(x)=x
3
的切线的斜率等于3,则切线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定
【解析】选B.因为f ′(x)=3x
2
=3,解得x=±1.
切点有两个,即可得切线有两条.
【补偿训练】若曲线y=x
3
+x-2在点P
0
处的切线平行于直线4x- y+1=0,
则点P
0
的一个坐标是 ( )

1
全国名校高中数学优质课时训练(附详解)

A.(0,-2) B.(1,1)
C.(-1,-4) D.(1,4)
【解析】选C.因为y′=3x
2
+1=4,所以x=±1,
所以y=0或-4,
所以P
0
的坐标为(1,0)或(-1,-4).
4.给出下列四个导数
①′=cos;②(lox)′=-;③′=;④(x
4)′=4x
3
.
其中正确的导数共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.0个
【解析】选A.根据导数基本公式求导,再判断.
①sin=,而
②(lox)′=

′=0,①错;
=-,②对;
′=-,③错;
④(x
4
)′=4x
3
,④对,故②④正确.
【补偿训练】下列各式中正确的是 ( )
A.(lnx)′=x B.(cosx)′=sinx
C.(sinx)′=cosx D.(x
-8
)′=-x
-9

【解析】选C.因为(lnx)′= ,(cosx)′=-sinx,(x
-8
)′=-8x
-9
=-,所
以A,B,D均不正确,C正确.
5.对任意的x,有f′(x)=4x
3
,f(1)=-1,则此函数解析式为 ( )

2
全国名校高中数学优质课时训练(附详解)

A.f(x)=x
3
B.f(x)=x
4
-2
C.f(x)=x
3
+1 D.f(x)=x
4
-1 【解析】选B.由f′(x)=4x
3
知,f(x)中含有x
4
项,然后 将x=1代入选
项中验证可得.
6.(优质试题·许昌高二检测)已知y=x+1+lnx在 点A(1,2)处的切线

l
,若
l
与二次函数y=ax
2
+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值
为 ( )
A.12 B.8 C.0 D.4
【解析】选D.因为y′=1+,
所以曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2,
则切线方程为y-2=2x-2,即y=2x,
由于切线与曲线y=ax
2
+(a+2)x+1相切,
联立得ax
2
+ax+1=0,
又因为a≠0且两线相切有一切点,所以Δ=a
2
-4a=0,所以a=4.
7.若曲线y=在点(a,)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的
面积为18,则a= ( )
A.64 B.32 C.16 D.8
【解析】选A.由y′=-
所以k=-
令x=0,y=
,
=-(x-a). ,切线方程是y-
;令y=0,x=3a.
所以三角形的面积S=·3a·=18,解得a=64.

3
全国名校高中数学优质课时训练(附详解)

8.(优质试题·宝鸡高二检测)已知 直线y=kx是曲线y=e
x
的切线,则实
数k的值为
( )
A. B.- C.-e D.e
【解析】选D.设切点为(x
0
,
当x=x
0
时,y′=,
=(x-x
0
),
).y′=e
x
,
所以过切点的切线方程为y-
即y=x+(1-x
0
),
又y=kx是切线,所以所以
【延伸探究】若将本题中的曲线“y=e
x
”改为“y=lnx”,则实数k=
( )
A. B.- C.-e D.e
【解析】选A.设切点为(x
0
,lnx
0
).y′=,
当x=x
0
时,y′=,
所以过切点的切线方程为y- lnx
0
=(x-x
0
),
即y=x+lnx
0
-1,所以
所以
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(优质试题·兴义高二检测)设曲线y=x
n+1
(n∈N
*
)在点(1,1)处的切
线与x轴的交点的横坐标为x< br>n
,令a
n
=lgx
n
,则a
1
+a
2
+…+a
99
的值

4
全国名校高中数学优质课时训练(附详解)

为 .
【解析】y′ =(n+1)x
n
,曲线在点(1,1)处的切线方程为
y-1=(n+1)(x-1 ),令y=0,得x
n
=
a
n
=lgx
n
=lg= lgn-lg(n+1),
.
则a
1
+a
2
+…+a< br>99
=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.
答案:-2
10.(优质试题·广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线
y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,
则实数a的值为 .
【解析】因为y=lnx的导数为y′=,
即曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=,
由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a·=-1,
解得a=-e.
答案:-e
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.求下列函数的导数.
(1)y=
(2)y=.
(3)y=-2sin
(4)y=log
2
x
2
-log
2
x.
【解析】(1)y′=()′=()′===.
.
.

5
全国名校高中数学优质课时训练(附详解)

(2)y′=
=-.
′=(x
-5
)′=-5x
-6

(3)因为y=-2sin
=2sin

=2sincos=sinx,
所以y′=(sinx)′=cosx.
(4)因为y=log
2
x
2
-log
2
x=log
2
x,所以y′=(log
2< br>x)′=
【方法总结】
1.公式记忆:对于公式(a
x
)′=ax
lna与(log
a
x)′=记忆较难,又易
.
混淆,要注 意区分公式的结构特征,既要从纵的方面(lnx)′与
(log
a
x)′和(ex
)′与(a
x
)′区分,又要从横的方面(log
a
x)′与 (a
x
)′
区分,找出差异记忆公式.
2.求导注意点:
(1)应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变
化规律直接应用即可.
(2)需要根据所给函数的特征,恰当地选择公式.
(3)对一些函数求导时,要弄清一些函 数的内部关系,合理转化后再求
导,如y=,y=,可以转化为y=,y=x
-3
后再 求导.
【补偿训练】求下列函数的导数.
(1)y=a
2
(a为常数).
(2)y=x
12
.
(3)y=x
-5
.
(4)y=lgx.

6

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